Zkouška

Metrické prostory Kompaktní prostory Reálné funkce více proměnných Parciální derivace Věty o implicitních funkcích Riemannův integrál v jedné proměnné Riemannův integrál ve více proměnných

Metrické prostory

Definice: Metrický prostor, příklady, $\mathbb E_n$ $E_{n}$
- metrický prostor je uspořádaná dvojice $(X,d)$ $(X, d)$ , kde $X$ $X$ je množina a $d:X\times X\to\mathbb R$ $d : X \times X \to R$ je funkce, pro níž platí ( $\forall x,y,z\in X$ $\forall x, y, z \in X$ )
  - $d(x,y)\geq 0$
  - $d(x,y)=0\iff x=y$
  - $d(x,y)=d(y,x)$
  - $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ … trojúhelníková nerovnost
- příklady
  - $(\mathbb R,|x-y|)$
  - $(\mathbb C,|x-y|)$
  - euklidovský prostor $\mathbb E_n$ $E_{n}$ je metrický prostor $(\mathbb R^n,d)$ $(R^{n}, d)$ , kde $d(x,y)=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}$ $d (x, y) = \sum_{i} (x_{i} - y_{i})^{2}$
    - tzn. $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$ , kde $\lVert u\rVert=\sqrt{\braket{u|u}}$
  - diskrétní prostor $(X,d)$ , kde $d(x,y)=1$ pro $x\neq y$
  - prostor funkcí $(F(a,b),d)$ $(F (a, b), d)$
    - $F(a,b)$ … množina všech omezených funkcí na intervalu $\braket{a,b}$
    - $d(f,g)=\sup\Set{|f(x)-g(x)|\mid a\leq x\leq b}$
Definice: Podprostor metrického prostoru
- mějme $(X,d)$ metrický prostor a podmnožinu $Y\subseteq X$
- tato podmnožina tvoří podprostor $(Y,d')$ , kde $d'(x,y)=d(x,y)$
Definice: Spojité zobrazení, konvergence
- zobrazení $f:(X,d)\to (Y,d')$ $f : (X, d) \to (Y, d^{'})$ je spojité, platí-li $(\forall x,y\in X)(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists\delta\gt 0):d(x,y)\lt\delta\implies d'(f(x),f(y))\lt\varepsilon$ $(\forall x, y \in X) (\forall ε > 0) (\exists δ > 0) : d (x, y) < δ ⟹ d^{'} (f (x), f (y)) < ε$
  - složení spojitých zobrazení je spojité
- pro posloupnost $(x_n)_n$ $(x_{n})_{n}$ definujeme $\lim_n x_n=x$ $lim_{n} x_{n} = x$ takto: $(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists n_0):n\geq n_0\implies d(x,x_n)\lt\varepsilon$ $(\forall ε > 0) (\exists n_{0}) : n \geq n_{0} ⟹ d (x, x_{n}) < ε$
  - pokud limita existuje, jde o konvergentní posloupnost
Věta: Spojitost a konvergence
- věta: zobrazení $f:(X_1,d_1)\to (X_2,d_2)$ je spojité, právě když pro každou konvergentní posloupnost $(x_n)_n$ v $(X_1,d_1)$ posloupnost $(f(x_n))_n$ konverguje v $(X_2,d_2)$ a platí $\lim_nf(x_n)=f(\lim_nx_n)$
- důkaz
  - $\implies$ $⟹$
    - mějme $f$ spojitou a konvergentní posloupnost $(x_n)_n$ , kde $\lim_n x_n=x$
    - ze spojitosti můžeme pro $\varepsilon\gt 0$ zvolit $\delta\gt0$ tak, aby $d_1(x,y)\lt\delta\implies d_2(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
    - podle konvergence existuje $n_0$ takové, že pro $n\geq n_0$ je $d_1(x_n,x)\lt\delta$
    - tedy pro $n\geq n_0$ máme $d_2(f(x_n),f(x))\lt\varepsilon$
    - tudíž $\lim_nf(x_n)=f(\lim_nx_n)$
  - $\impliedby$ $⟸$ obměnou
    - nechť $f$ není spojitá
    - tzn. $(\exists x\in X_1)(\exists\varepsilon_0\gt 0)(\forall\delta\gt 0)(\exists x(\delta)):$ $d_1(x,x(\delta))\lt\delta\land d_2(f(x),f(x(\delta)))\geq\varepsilon_0$
    - položme $x_n=x(\frac1n)$
    - pak $\lim_nx_n=x$ , ale $(f(x_n))_n$ nemůže konvergovat k $f(x)$
Definice: Okolí, otevřené a uzavřené množiny
- epsilonové okolí … $\Omega(x,\varepsilon)=\set{y\mid d(x,y)\lt\varepsilon}$
- obecné okolí $U$ $U$ bodu $x$ $x$ je taková podmnožina, že existuje $\varepsilon\gt0$ $ε > 0$ takové, že $\Omega(x,\varepsilon)\subseteq U$ $Ω (x, ε) \subseteq U$
  - nadmnožina okolí je okolí
  - průnik dvou okolí je okolí
- $U\subseteq(X,d)$ $U \subseteq (X, d)$ je otevřená, je-li okolím každého svého bodu
  - $\emptyset$ a $X$ jsou otevřené
  - sjednocení otevřených množin je otevřené
  - průnik dvou otevřených množin je otevřený
- $A\subseteq(X,d)$ je uzavřená v $(X,d)$ , jestliže každá posloupnost $(x_n)_n\subseteq A$ konvergentní v $X$ má $\lim_n x_n\in A$
- nejde o dichotomii
- tvrzení: $A\subseteq (X,d)$ $A \subseteq (X, d)$ je uzavřená v $(X,d)$ $(X, d)$ , právě když $X\setminus A$ $X ∖ A$ je otevřená
  - když $X\setminus A$ není otevřená (má nějaký „problémový bod“ $x$ , jehož libovolně malé epsilonové okolí není celé v $X\setminus A$ ), tak se dá najít posloupnost v $A$ s limitou v $x\notin A$
  - když $X\setminus A$ je otevřená a kdyby existovala posloupnost v $A$ s limitou v $x\notin A$ , tak epsilonové okolí $x$ není v $A$ , tedy pro dost velké $n$ se prvky posloupnosti musí dostat mimo $A$ , což je spor
Definice: Uzávěr
- vzdálenost bodu od množiny
  - $d(x,A)=\inf\set{d(x,a)\mid a\in A}$
- uzávěr množiny $A$ $A$
  - $\overline A=\set{x\mid d(x,A)=0}$
- uzávěr je množina všech limit konvergentních posloupností v dané množině
- uzávěr je uzavřená množina (dokonce nejmenší uzavřená množina obsahující původní množinu)
Věta: Spojitost a vzory otevřených a uzavřených podmnožin
- věta
  - mějme metrické prostory $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ a zobrazení $f:X_1\to X_2$
  - potom jsou následující tvrzení ekvivalentní
    1. $f$ je spojité
    2. pro každý bod $x\in X_1$ a každé okolí $V$ bodu $f(x)$ existuje okolí $U$ bodu $x$ takové, že $f[U]\subseteq V$
    3. pro každou otevřenou $U$ v $X_2$ je vzor $f^{-1}[U]$ otevřený v $X_1$
    4. pro každou uzavřenou $A$ v $X_2$ je vzor $f^{-1}[A]$ uzavřený v $X_1$
    5. pro každou $A\subseteq X_1$ je $f[\overline A]\subseteq\overline{f[A]}$
- důkaz
  - $1.\iff2.$ $1. ⟺ 2.$
    - definice spojitosti říká, že ke každému okolí $\Omega(f(x),\varepsilon)$ existuje okolí $\Omega(x,\delta)$ takové, že $f[\Omega(x,\delta)]\subseteq\Omega(f(x),\varepsilon)$
    - dále rozšíříme na obecné okolí
  - $2.\implies 3.$ $2. ⟹ 3.$
    - máme otevřenou množinu $V$
    - máme $x\in f^{-1}[V]$ , tedy $f(x)\in V$ , kde $V$ je okolí $f(x)$
    - existuje $U$ okolí $x$ takové, že $f[U]\subseteq V$
    - $U\subseteq f^{-1}f[U]\subseteq f^{-1}[V]$
    - takže $f^{-1}[V]$ je okolí $x$
    - otevřenost plyne z toho, že to platí pro všechny $f(x)\in V$ (respektive $x\in f^{-1}[V]$ )
  - $3.\iff 4.$ $3. ⟺ 4.$
    - vzorové zobrazení $M\mapsto f^{-1}[M]$ zachovává doplňky podmnožin
  - $4.\implies 5.$ $4. ⟹ 5.$
    - $\overline M\subseteq f^{-1}[\overline{f[M]}]$ (vzor uzávěru je uzavřený)
    - $f[\overline M]\subseteq\overline{f[M]}$
  - $5.\implies 2.$ $5. ⟹ 2.$
    - použijeme to, že vzor zachovává doplňky
Definice: Topologické pojmy
- vzájemně jednoznačné spojité zobrazení $f:(X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ takové, že i inverzní $f^{-1}$ je spojité, se nazývá homeomorfismus a o $X_1,X_2$ mluvíme jako o homeomorfních prostorech
- vlastnost, pojem nebo definice je topologická, zachovává-li se při homeomorfismech
- příklady topologických vlastností a pojmů: konvergence, otevřenost a uzavřenost, uzávěr, okolí, spojitost (stejnoměrná nikoliv)
Definice: Ekvivalentní a silně ekvivalentní metriky; silně ekvivalentní metriky v $\mathbb E_n$ $E_{n}$
- $d_1,d_2$ jsou ekvivalentní, pokud je zobrazení $(X,d_1)\to(X,d_2)$ homeomorfismus
- $d_1,d_2$ jsou silně ekvivalentní, existují-li kladné konstanty $\alpha,\beta$ takové, že $\alpha\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq\beta\cdot d_1(x,y)$
- silně ekvivalentní metriky v $\mathbb E_n$ $E_{n}$
  - $d(x,y)=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}$
  - $\sigma(x,y)=\max_i{|x_i-y_i|}$
- důkaz silné ekvivalence $d$ $d$ a $\sigma$ $σ$
  - triviálně $\sigma\leq d$ … stačí vzít největší sčítanec pod odmocninou
  - nahrazením všech sčítanců tím největším získáme $d(x,y)\leq\sqrt n\cdot\sigma(x,y)$
Definice: Stejnoměrná spojitost
- zobrazení $f:(X,d)\to(Y,d')$ $f : (X, d) \to (Y, d^{'})$ je stejnoměrně spojité, pokud…
  - $(\forall\varepsilon)(\exists\delta)(\forall x)(\forall y):d(x,y)\lt\delta\implies d'(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
- rozdíl vůči (klasické) spojitosti spočívá v pořadí kvantifikátorů – u spojitosti je to $(\forall x)(\forall y)(\forall\varepsilon)(\exists\delta)$
- např. $f(x)=x^2$ je spojitá funkce, ale není stejnoměrně spojitá
Věta: Součiny a projekce
- pro $(X_i,d_i),\,i=1,\dots,n$ definujme na kartézském součinu $\prod_{i=1}^n X_i$ vzdálenost $d(x,y)=\max_id_i(x_i,y_i)$
- takto získaný prostor $(\prod_iX_i,d)=\prod_i(X_i,d_i)$ nazýváme součinem prostorů $(X_i,d_i)$
- věta
  1. $\forall j\in\set{1,\dots,n}$ projekce $p_j:\prod_i(X_i,d_i)\to(X_j,d_j)$ , kde $p_j(x)=x_j$ , je spojité zobrazení
  2. jsou-li $f_j:(Y,d')\to(X_j,d_j)$ libovolná spojitá zobrazení, potom jednoznačně určené zobrazení $f:(Y,d')\to\prod_i(X_i,d_i)$ splňující $p_j\circ f=f_j$ , totiž zobrazení definované předpisem $f(y)=(f_1(y),\dots,f_n(y))$ , je spojité
- důkaz
  1. zjevně $\sigma(x_j,y_j)\leq\sigma((x_1,\dots,x_j,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_j,\dots,y_n))$
  2. plyne z použití zde zadefinované metriky $d(x,y)$

Kompaktní prostory

Věta: Kompaktní prostor, podprostor, součin
- definice: metrický prostor $(X,d)$ je kompaktní, obsahuje-li v něm každá posloupnost konvergentní podposloupnost
- tvrzení: podprostor kompaktního prostoru je kompaktní, právě když je uzavřený
  - mějme posloupnost v uzavřeném podprostoru, tato posloupnost má podposloupnost s limitou v kompaktním prostoru – z uzavřenosti tato limita musí být v podprostoru
  - mějme posloupnost v otevřeném podprostoru, ta má limitu mimo podprostor – každá její podposloupnost má tu stejnou limitu mimo podprostor, tedy daná posloupnost není konvergentní v podprostoru
- tvrzení: je-li podprostor $Y$ $Y$ metrického prostoru $(X,d)$ $(X, d)$ kompaktní, pak je $Y$ $Y$ uzavřený v $(X,d)$ $(X, d)$
  - mějme posloupnost v kompaktním podprostoru, která konverguje k $y\in X$ , potom každá její podposloupnost konverguje k $y$ , tudíž musí být $y\in Y$
- definice: metrický prostor $(X,d)$ je omezený, jestliže pro nějaké $K$ platí $\forall x,y\in X:d(x,y)\lt K$
- tvrzení: každý kompaktní prostor je omezený
  - posloupnost $(x_n)_n$ , kde $d(x_0,x_n)\gt n$ , nemá žádnou omezenou podposloupnost, tedy nemá konvergentní podposloupnost (neboť ta je vždy omezená), což je spor
- věta: součin konečně mnoha kompaktních prostorů je kompaktní
- důkaz – stačí pro součin dvou prostorů
  - mějme posloupnost $((x_n,y_n))_n$ v $X\times Y$
  - zvolíme konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})_n$ posloupnosti $(x_n)_n$ a konvergentní podposloupnost $(y_{k_{l_n}})_n$ posloupnosti $(y_{k_n})$
  - pak je posloupnost $((x_{k_{l_n}},y_{k_{l_n}}))_n$ zjevně konvergentní podposloupností původní posloupnosti
Věta: Kompaktní podprostory $\mathbb E_n$ $E_{n}$
- věta: podprostor euklidovského prostoru $\mathbb E_n$ je kompaktní, právě když je omezený a uzavřený
- důkaz
  - již jsme dokázali, že kompaktnost implikuje uzavřenost a omezenost
  - mějme $Y\subseteq\mathbb E_n$ omezený a uzavřený
  - z omezenosti vyplývá, že pro dostatečně velký součin (uzavřených) intervalů $J$ $J$ platí $Y\subseteq J\subseteq\mathbb E_n$ $Y \subseteq J \subseteq E_{n}$
    - intervaly jsou kompaktní, jejich součin je taky kompaktní (viz věta výše)
  - $Y$ je uzavřený v $\mathbb E_n$ , tedy je uzavřený i v $J$
Věta: Obraz kompaktního prostoru
- tvrzení: buď $f:(X,d)\to(Y,d')$ spojité zobrazení a buď $A\subseteq X$ kompaktní, potom je $f[A]$ kompaktní
- důkaz
  - buď $(y_n)_n$ posloupnost v $f[A]$
  - zvolme $x_n\in A$ , aby $y_n=f(x_n)$
  - posloupnost $(x_n)_n$ má konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})_n$
  - $(y_{k_n})_n=(f(x_{k_n}))_n$ je konvergentní podposloupnost posloupnosti $(y_n)_n$
Věta: Maxima a minima spojitých funkcí na kompaktních podmnožinách
- tvrzení: buď $(X,d)$ kompaktní, potom každá spojitá funkce $f:(X,d)\to\mathbb R$ nabývá maxima i minima
- důkaz
  - podprostor $Y=f[X]\subseteq\mathbb R$ je kompaktní
  - $Y$ je tedy omezená množina a musí mít supremum $a$ a infimum $b$
  - zřejmě $d(a,Y)=d(b,Y)=0$
  - $Y$ je uzavřená, proto $a,b\in Y$
Věta: Stejnoměrná spojitost v kompaktním kontextu
- věta: buď $f:X\to Y$ spojité zobrazení, $X$ kompaktní, potom $f$ je stejnoměrně spojité
- důkaz – obměnou (zobrazení není stejnoměrně spojité, pak není spojité)
  - uvažujme epsilon takové, že pro každé delta existuje dvojice $x,y$ takové, že jsou si blíž než delta, ale $d(f(x),f(y))\geq\varepsilon$
  - z dvojicí sestavíme posloupnosti $(x_n)_n$ a $(y_n)_n$ – obě mají konvergentní podposloupnosti, ty volíme tak, aby si odpovídaly (jako v důkazu kompaktnosti součinu), mají stejnou limitu
  - limity funkčních hodnot se zjevně nerovnají (to je negace tvrzení ekvivalentnímu spojitosti zobrazení)
- tvrzení: je-li $(X,d)$ kompaktní a je-li $f:(X,d)\to(Y,d')$ vzájemně jednoznačné spojité zobrazení, je to homeomorfismus
Věta: Cauchyovské posloupnosti a konvergence
- definice: posloupnost $(x_n)_n$ v metrickém prostoru $(X,d)$ je Cauchyovská, jestliže $(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists n_0):m,n\geq n_0\implies d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
- pozorování: každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská
- tvrzení: má-li Cauchyovská posloupnost konvergentní podposloupnost, potom konverguje (k limitě té posloupnosti)
- důkaz
  - nechť $(x_n)_n$ je Cauchyovská a nechť $x$ je limita její konvergentní podposloupnosti $(x_{k_n})_n$
  - od nějakého $n_1$ platí $d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
  - od nějakého $n_2$ platí $d(x_{k_n},x)\lt\varepsilon$
  - jako $n_0$ vezmeme to větší z nich, od něj pak platí $d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k_n})+d(x_{k_n},x)\lt 2\varepsilon$
Definice: Úplný prostor, kompaktnost implikuje úplnost
- definice: metrický prostor $(X,d)$ je úplný, jestliže v něm každá Cauchyovská posloupnost $(X,d)$ konverguje
- tvrzení: podprostor úplného prostoru je úplný, právě když je uzavřený
- tvrzení: každý kompaktní prostor je úplný
  - Cauchyovská posloupnost má z kompaktnosti konvergentní podposloupnost, a tedy konverguje (podle tvrzení výše)
- věta: součin úplných prostorů je úplný; speciálně, $\mathbb E_n$ je úplný
- důsledek: podprostor $Y$ euklidovského prostoru $\mathbb E_n$ je úplný, právě když je tam uzavřený

Reálné funkce více proměnných

Příklad: Proč se nemůžeme omezit na spojitost v jednotlivých proměnných
- mějme funkci $f(x,y)=\begin{cases}\frac{(x-y)^2}{x^2+y^2}&\text{pro }(x,y)\neq(0,0)\\ 1&\text{pro }(x,y)=(0,0)\end{cases}$
- pokud bychom $y$ vzali jako parametr a sledovali spojitost podle $x$ , funkce by byla spojitá – podobně pro $x$ jako parametr
- ale $f(x,x)$ se vždy rovná 0, kdežto $f(0,0)=1$
- nezajímá nás spojitost v jednotlivých proměnných – to jsou jen některé „procházky“ po hodnotách funkce, nás zajímají všechny takové „cesty“
Definice: Reálné funkce a jejich definiční obory (vhodné podprostory $\mathbb E_n$ $E_{n}$ )
- definice: reálná funkce v $n$ proměnných … $f:D\to\mathbb R,\;D\subseteq\mathbb E_n$
- definiční obory jsou často poměrně složité množiny

Parciální derivace

Definice: Parciální derivace a jejich slabost (ani spojitost není implikována)
- vezměme $\phi_k(t)=f(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n)$
- parciální derivace funkce $f$ podle $x_k$ (v bodě $(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n)$ ) je derivace funkce $\phi_k$ (v bodě $t$ )
- tzn. $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h}$
- značíme $\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}$ nebo $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x_1,\dots,x_n)$
- když $\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}$ existuje pro všechna $(x_1,\dots,x_n)$ v nějaké oblasti $D$ , máme funkci $\frac{\partial f}{\partial x_k}:D\to\mathbb R$
- parciální derivace tedy může být číslo (hodnota limity výše) nebo tato funkce
- parciální derivace geometricky odpovídá tečně funkce v daném bodě rovnoběžné s příslušnou osou
- existence parciálních derivací neimplikuje spojitost (viz protipříklad na spojitost v jednotlivých proměnných)
Definice: Totální diferenciál, geometrická interpretace (lineární aproximace)
- v případě jedné proměnné existence totálního diferenciálu a derivace je totéž
- tvrzení ekvivalentní s existencí standardní derivace
  - existuje $\mu$ konvergující k 0 při $h\to 0$ a $A$ takové, že $f(x+h)-f(x)=Ah+|h|\cdot\mu(h)$
- geometrický pohled: $f(x+h)-f(x)=Ah$ vyjadřuje tečnu ke grafu funkce v bodě $(x,f(x))$
- aproximační pohled: $|h|\cdot\mu(h)$ je jakási malá chyba při aproximaci funkce $f$ v okolí bodu $x$ jako lineární funkce v $h$
- parciální derivace vyjadřují směry dvou tečných přímek – my chceme tečnou rovinu (tu dostaneme z totálního diferenciálu)
- pro $x\in\mathbb E_n$ definujme $\lVert x\rVert=\max_i|x_i|$
- funkce $f$ $f$ má totální diferenciál v bodě $a$ $a$ , existuje-li funkce $\mu$ $μ$ spojitá v okolí $U$ $U$ bodu $o$ $o$ taková, že $\mu(o)=0$ $μ (o) = 0$ , a čísla $A_1,\dots,A_n$ $A_{1}, \dots, A_{n}$ , pro která $f(a+h)-f(a)=\sum_{k=1}^nA_kh_k+\lVert h\rVert\mu(h)$ $f (a + h) - f (a) = \sum_{k = 1}^{n} A_{k} h_{k} + ∥ h ∥ μ (h)$
  - pomocí skalárního součinu také $f(a+h)-f(a)=\braket{A|h}+\lVert h\rVert\mu(h)$
- tvrzení: nechť má funkce $f$ totální diferenciál v bodě $a$ , potom je spojitá v $a$ a má všechny parciální derivace v $a$ s hodnotami $\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}=A_k$
- důkaz spojitosti
  - chceme $\lim_{x\to y} f(x)=f(y)$ , tedy $\lim_{x\to y} f(x)-f(y)=0$
  - dosadíme do rovnice totálního diferenciálu (a+h … x, a … y)
  - $|f(x)-f(y)|\leq|A(x-y)|+|\mu(x-y)|\cdot\lVert x-y\rVert$
  - limita $|A(x-y)|+|\mu(x-y)|\cdot\lVert x-y\rVert$ pro $x\to y$ je rovna nule
- důkaz hodnot parciálních derivací
  - z rovnice totálního diferenciálu máme $\frac{f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h}=A_k+\frac{\lVert(0,\dots,h,\dots,0)\rVert\cdot\mu((0,\dots,h,\dots,0))}{h}$
  - limita pravé strany je zjevně $A_k$
Věta: Spojité parciální derivace a totální diferenciál
- věta: nechť má $f$ spojité parciální derivace v okolí bodu $a$ , potom má v bodě $a$ totální diferenciál
- důkaz
  - položme $h^{(0)}=h,\;h^{(1)}=(0,h_2,\dots,h_n),\;h^{(2)}=(0,0,h_3,\dots,h_n),\;\dots,\;h^{(n)}=o$
  - máme $f(a+h)-f(a)=\sum_{k=1}^n(f(a+h^{(k-1)})-f(a+h^{(k)}))=M$ $f (a + h) - f (a) = \sum_{k = 1}^{n} (f (a + h^{(k - 1)}) - f (a + h^{(k)})) = M$
    - v té sumě se většina členů odečte, proto se to rovná výrazu nalevo
  - podle Lagrangeovy věty (v jedné proměnné) existují $0\leq\theta_k\leq 1$ takové, že $f(a+h^{(k-1)})-f(a+h^{(k)})=\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}\cdot h_k$
  - tedy $M=\sum\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}h_k=$
  - $=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}h_k+\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right)h_k=$
  - $=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}h_k+\lVert h\rVert\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right){h_k\over\lVert h\rVert}$
  - položme $\mu(h)=\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right){h_k\over\lVert h\rVert}$
  - jelikož $\left|\frac{h_k}{\lVert h\rVert}\right|\leq 1$ a jelikož jsou funkce $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ spojité, $\lim_{h\to o}\mu(h)=0$
- máme tedy implikace: spojité parciální derivace $\implies$ totální diferenciál $\implies$ parciální derivace
Příklad: Výpočet parciálních derivací – aritmetická pravidla
- jsou stejná jako pro obyčejné derivace
- pravidlo pro skládání se liší (viz věta níže)
- aritmetická pravidla lze odvodit z řetězového
  - odvodíme pravidlo pro násobení
  - $f(u,v)=u\cdot v$
  - potom ${\partial f\over\partial u}=v,\;{\partial f\over\partial v}=u$
  - uvažujme $u=\phi(x),\;v=\psi(x)$
  - pak $(\phi(x)\cdot\psi(x))'={\partial f\over\partial u}\phi'(x)+{\partial f\over\partial v}\psi'(x)=\psi(x)\phi'(x)+\phi(x)\psi'(x)$
Věta: Složená zobrazení a řetězové pravidlo
- věta
  - nechť má $f(x)$ totální diferenciál v bodě $a$
  - pro $k=1,\dots,n$ $k = 1, \dots, n$
    - nechť mají $g_k(t)$ derivace v bodě $b$
    - nechť je $g_k(b)=a_k$
  - položme $F(t)=f(g(t))=f(g_1(t),\dots,g_n(t))$
  - potom má $F$ derivaci v $b$ , totiž $F'(b)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot g'_k(b)$
- důkaz
  - $\frac1h(F(b+h)-F(b))=\frac1h(f(g(b+h))-f(g(b)))=$
  - $=\frac1h\biggl(f\Bigl(g(b)+(g(b+h)-g(b))\Bigl)-f(g(b))\biggr)=$ $= \frac{1}{h} (f (g (b) + (g (b + h) - g (b))) - f (g (b))) =$
    - do rovnice totálního diferenciálu dosazujeme: x … g(b), h … (g(b+h)-g(b))
  - $=\sum_{k=1}^n A_k\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h+\mu(g(b+h)-g(b))\cdot\max_k\frac{|g_k(b+h)-g_k(b)|}h$
  - ze spojitosti funkcí $g_k$ v $b$ vyplývá $\lim_{h\to 0}\mu(g(b+h)-g(b))=0$
  - z toho, že $g_k$ mají derivace, vyplývá, že $\max_k\dots$ je omezené v dostatečně malém okolí nuly
  - limita posledního sčítance je tedy nula
  - $F'(b)=\lim_{h\to 0}\frac1h(F(b+h)-F(b))=\lim_{h\to0}\sum_{k=1}^nA_k\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h=$
  - $=\sum A_k\lim\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot g'_k(b)$ $= \sum A_{k} lim \frac{g _{k} ( b + h ) - g _{k} ( b )}{h} = \sum \frac{\partial f ( a )}{\partial x _{k}} \cdot g_{k}^{'} (b)$
    - tady vycházíme z tvrzení o hodnotách parciálních derivací
- důsledek – řetězové pravidlo
  - nechť má $f(x)$ totální diferenciál v bodě $a$
  - pro $k=1,\dots,n$ $k = 1, \dots, n$
    - nechť mají funkce $g_k(t_1,\dots,t_r)$ parciální derivace v $b=(b_1,\dots,b_r)$
    - nechť je $g_k(b)=a_k$
  - potom má funkce $(f\circ g)(t_1,\dots,t_r)=f(g(t))=f(g_1(t),\dots,g_n(t))$ všechny parciální derivace v $b$ a platí $\frac{\partial(f\circ g)(b)}{\partial t_j}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot\frac{\partial g_k(b)}{\partial t_j}$
Věta: Lagrangeova formule
- definice: podmnožina $U\subseteq\mathbb E_n$ $U \subseteq E_{n}$ je konvexní, jestliže $x,y\in U\implies(\forall t,\,0\leq t\leq 1)\bigl((1-t)x+ty=x+t(y-x)\in U\bigr)$ $x, y \in U ⟹ (\forall t, 0 \leq t \leq 1) ((1 - t) x + t y = x + t (y - x) \in U)$
  - tzn. úsečka mezi libovolnými dvěma body $x,y\in U$ bude celá v $U$
- Lagrangeova věta v jedné proměnné: nechť $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$ a má na $(a,b)$ derivaci, pak existuje bod $c\in(a,b)$ takový, že platí $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
- Lagrangeova věta ve více proměnných
  - nechť má $f$ spojité parciální derivace v konvexní otevřené množině $U\subseteq\mathbb E_n$
  - potom pro libovolné dva vrcholy $x,y\in D$ existuje $\theta,\,0\leq\theta\leq 1,$ takové, že $f(y)-f(x)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(x+\theta(y-x))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
  - nebo ekvivalentně $f(y)-f(x)=\nabla f(c)(y-x)$ , kde $c=x+\theta(y-x)$
  - alternativní tvar (kde $y=x+h$ ): $f(x+h)-f(x)=\sum\frac{\partial f(x+\theta h)}{\partial x_j}h_j$
- důkaz
  - položme
    - $F(t)=f(x+t(y-x))$
    - $g_j(t)=x_j+t(y_j-x_j)$
  - potom $F(t)=(f\circ g)(t)=f(x+t(y-x))$
  - tudíž $F'(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(g(t))}{\partial x_j}g'_j(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(g(t))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
  - podle klasické Lagrangeovy věty $\exists\theta:0\leq\theta\leq 1$ a díky tomu, že $f(x)=F(0)$ a $f(y)=F(1)$ , dostáváme $f(y)-f(x)=F(1)-F(0)=F'(\theta)(1-0)=F'(\theta)$
Definice: Parciální derivace vyšších řádů
- když derivujeme parciální derivaci (prvního řádu), dostaneme parciální derivaci druhého řádu (apod.)
- $\frac{\partial^3f(x,y,z)}{\partial x\partial y\partial z}$ a $\frac{\partial^3f(x,y,z)}{\partial x\partial x\partial x}$ jsou parciální derivace třetího řádu
Věta: Záměnnost u parciálních derivací vyšších řádů
- tvrzení
  - buď $f(x,y)$ funkce taková, že parciální derivace $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ a $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ jsou definovány a jsou spojité v nějakém okolí bodu $(x,y)$
  - potom máme $\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}$
- důkaz
  - uvažujme funkci $F(h)=\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y+h)-f(x+h,y)+f(x,y)}{h^2}$
  - položíme
    - $\varphi_h(y)=f(x+h,y)-f(x,y)$
    - $\psi_h(x)=f(x,y+h)-f(x,y)$
  - pak dostaneme pro $F(h)$ $F (h)$ dva výrazy
    - $F(h)=\frac1{h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))$
    - $F(h)=\frac1{h^2}(\psi_h(x+h)-\psi_h(x))$
  - $\varphi_h$ má derivaci $\varphi'_h(y)=\frac{\partial f(x+h,y)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$
  - $F(h)={1\over h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))=\frac1h \varphi_h'(y+\theta_1h)$ $F (h) = \frac{1}{h ^{2}} (φ_{h} (y + h) - φ_{h} (y)) = \frac{1}{h} φ_{h}^{'} (y + θ_{1} h)$
    - podle Lagrangeovy věty (viz alternativní tvar)
  - tedy $F(h)=\frac1h\left(\frac{\partial f(x+h,y+\theta_1h)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y+\theta_1h)}{\partial y}\right)$
  - znova použijeme Lagrangeovu větu a dostaneme $F(h)=\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial f(x+\theta_2h,y+\theta_1h)}{\partial y}\right)$ $F (h) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f ( x + θ _{2} h , y + θ _{1} h )}{\partial y})$
    - kde $\theta_1,\theta_2$ jsou mezi 0 a 1
  - podobně z vyjádření $F(h)$ pomocí $\psi_h$ dostaneme $F(h)=\frac\partial{\partial y}\left(\frac{\partial f(x+\theta_4h,y+\theta_3h)}{\partial x}\right)$
  - $\lim_{h\to 0}F(h)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x}$
- iterováním výměn z tohoto tvrzení dostaneme následující důsledek:
  - nechť má funkce $f$ v $n$ proměnných spojité parciální derivace do řádu $k$
  - potom hodnoty těchto derivací záleží jen na tom, kolikrát bylo derivováno v každé z individuálních proměnných $x_1,\dots,x_n$

Věty o implicitních funkcích

Příklad: Úloha implicitních funkcí, porozumění problému
- jsou dány spojité reálné funkce $F_i(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)$ v $m+n$ proměnných pro $i=1,\dots,n$
- pokoušíme se řešit soustavu $n$ rovnic $F_i(\dots)=0$ v $n$ neznámých $y_i$
- parametry $x_i$ se stanou proměnnými, takže očekáváme řešení jako funkce $f_i\equiv y_i(x_1,\dots,x_m)$
- kde mohou být potíže? uvažujme $x^2+y^2=1$ $x^{2} + y^{2} = 1$
  - pro $x_0\lt -1$ řešení $F(x_0,y)=0$ vůbec neexistuje
  - abychom mohli mluvit o funkci, potřebujeme „okénko“ kolem řešení $(x_0,y_0)$ vymezující kromě okolí $x_0$ i $y_0$
  - pro $x_0=1$ nelze nalézt okénko, kde by $y$ bylo jednoznačné
- v případě jedné rovnice $F(x,y)=0$ žádné jiné potíže nenastanou
Věta: Nejjednodušší případ $F(x, y) = 0$ $F (x, y) = 0$ , role $\partial F\over\partial y$ $\frac{\partial F}{\partial y}$
- věta
  - buď $F(x,y)$ reálná funkce ve 2 proměnných definovaná v nějakém okolí bodu $(x_0,y_0)$
  - nechť má $F$ spojité parciální derivace do řádu $k\geq 1$ a nechť je $F(x_0,y_0)=0$ a $\left|\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y}\right|\neq 0$
  - potom existují $\delta\gt 0$ a $\Delta\gt 0$ takové, že ke každému $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ existuje právě jedno $y\in (y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ splňující $F(x,y)=0$
  - dále, označíme-li toto jediné $y$ jako $y=f(x)$ , potom získaná $f:(x_0-\delta,x_0+\delta)\to\mathbb R$ má spojité derivace do řádu $k$
- důkaz
  - buď třeba $\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y}\gt 0$
  - vzhledem ke spojitosti existují $\delta_1,\Delta\gt 0$ taková, že v obdélníku $\braket{x_0-\delta_1,x_0+\delta_1}\times \braket{y_0-\Delta,y_0+\Delta}$ je ${\partial F\over\partial y}(x,y)$ stále kladná
  - tento obdélník je kompaktní, tedy na něm spojité funkce nabývají extrémů a tudíž existují $a,K\gt 0$ taková, že $\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\gt a$ a $\left|\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\right|\lt K$
  - zvlášť dokážeme existenci funkce $f$ a její vlastnosti
  - existence funkce $f$ $f$
    - pro pevné $x\in(x_0-\delta_1,x_0+\delta_1)$ definujme funkci $\varphi_x$ na $y\in (y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ předpisem $\varphi_x(y)=F(x,y)$
    - tak jsme dostali funkci jedné proměnné
    - její derivace je kladná
      - protože $\varphi'_x(y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\gt 0$
      - takže $\varphi_x$ na intervalu roste
      - proto $\varphi_{x_0}(y_0-\Delta)\lt \varphi_{x_0}(y_0)\lt\varphi_{x_0}(y_0+\Delta)$
    - z $F(x_0,y_0)$ $F (x_{0}, y_{0})$ víme, že $\varphi_{x_0}(y_0)=0$ $φ_{x_{0}} (y_{0}) = 0$
      - tedy $\varphi_{x_0}(y_0-\Delta)\lt 0\lt\varphi_{x_0}(y_0+\Delta)$
    - funkce dvou proměnných $F$ $F$ je spojitá, a tedy pro nějaké $\delta,\;0\lt\delta\leq\delta_1$ $δ, 0 < δ \leq δ_{1}$ :
      - $\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta):\varphi_x(y_0-\Delta)\lt 0\lt\varphi_x(y_0+\Delta)$
    - funkce $\varphi_x$ roste, tudíž je prostá, takže existuje právě jedno $y\in(y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ takové, že $\varphi_x(y)=0$ (tj. $F(x,y)=0$ )
    - označme toto $y$ jako $f(x)$
  - vlastnosti funkce $f$ $f$
    - $0=F(x+h,f(x+h))-F(x,f(x))=$ $0 = F (x + h, f (x + h)) - F (x, f (x)) =$
      - protože $\forall t:F(t,f(t))=0$
    - $=F(x+h,f(x)+(f(x+h)-f(x)))-F(x,f(x))=$ $= F (x + h, f (x) + (f (x + h) - f (x))) - F (x, f (x)) =$
      - použijeme Lagrangeovu větu pro $h=(h,f(x+h)-f(x))$
    - $=\frac{\partial F}{\partial x}(x+\theta h,f(x)+\theta(f(x+h)-f(x)))\cdot h\;+$
    - $+\;\frac{\partial F}{\partial y}(x+\theta h,f(x)+\theta(f(x+h)-f(x)))\cdot (f(x+h)-f(x))$
    - upravíme na $f(x+h)-f(x)=-h\cdot\frac{\partial F(\dots)\over \partial x}{\partial F(\dots)\over\partial y}$
    - podle odvozených vlastností platí $|f(x+h)-f(x)|\lt|h|\cdot\frac Ka$ $∣ f (x + h) - f (x) ∣ < ∣ h ∣ \cdot \frac{K}{a}$
      - $f$ je tedy spojitá v bodě $x$
    - dále zjevně $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=-\frac{{\partial F\over \partial x}(x,f(x))}{{\partial F\over\partial y}(x,f(x))}$
    - tudíž $f'(t)=-\frac{{\partial F\over \partial x}(t,f(t))}{{\partial F\over\partial y}(t,f(t))}$
    - tuto formuli můžeme derivovat tak dlouho, jak to existence parciálních derivací na pravé straně dovolí
- stejnou úvahou se ukáže věta pro funkci v $m+1$ proměnných
Příklad: Substituční metoda aspoň pro dvě rovnice
- uvažujme dvojici rovnic ( $x$ $x$ může být vektor)
  - $F_1(x,y_1,y_2)=0$
  - $F_2(x,y_1,y_2)=0$
- hledáme dvě řešení v okolí bodu $(x^0,y_1^0,y_2^0)$
- na druhou rovnici aplikujeme větu o jedné rovnici pro $y_2$ , dostaneme $y_2$ jako funkci $\psi(x,y_1)$
- substituujeme do první rovnice, dostaneme $G(x,y_1)=F_1(x,y_1,\psi(x,y_1))=0$
- řešení $y_1=f_1(x)$ v nějakém okolí bodu $(x^0,y_1^0)$ může být substituováno do $\psi$ a získáme $y_1=f_2(x)=\psi(x,f_1(x))$
- co jsme všechno předpokládali
  - spojité parciální derivace funkcí $F_i$
  - ${\partial F_2\over\partial y_2}(x^0,y_1^0,y_2^0)\neq 0$ , abychom získali $\psi$
  - ${\partial G\over\partial y_1}(x^0,y_1^0)={\partial F_1\over\partial y_1}+{\partial F_1\over\partial y_2}{\partial \psi\over\partial y_1}\neq 0$ $\frac{\partial G}{\partial y _{1}} (x^{0}, y_{1}^{0}) = \frac{\partial F _{1}}{\partial y _{1}} + \frac{\partial F _{1}}{\partial y _{2}} \frac{\partial ψ}{\partial y _{1}} \neq = 0$
    - to vyplývá z řetízkového pravidla
    - pomocí formule $f'(t)=-\frac{{\partial F\over \partial x}(t,f(t))}{{\partial F\over\partial y}(t,f(t))}$ dostaneme z této rovnice nakonec vzorec pro determinant – konkrétně pro Jacobián, který má být nenulový
    - to stačí – druhý předpoklad vyplývá z nenulovosti Jacobiánu
Definice: Jacobián a jeho role
- pro konečnou posloupnost funkcí $F_1(x,y),\dots,F_m(x,y)$ $F_{1} (x, y), \dots, F_{m} (x, y)$ a pro $y=(y_1,\dots,y_m)$ $y = (y_{1}, \dots, y_{m})$ se definuje Jacobiho determinant (Jacobián) $\frac{D(F)}{D(y)}=\det{\left(\frac{\partial F_i}{\partial y_j}\right)}_{i,j=1,\dots,m}$ $\frac{D ( F )}{D ( y )} = det (\frac{\partial F _{i}}{\partial y _{j}})_{i, j = 1, \dots, m}$
  - řádky odpovídají funkcím $F_i$ , sloupce proměnným $y_j$
- u implicitních funkcí budeme požadovat nenulovost Jacobiánu
- geometrický význam: Jacobián určuje, jak vektorová funkce při transformaci oblasti na natahuje nebo stlačuje objemy malých kousků oblasti okolo v poměru (absolutní hodnoty) Jacobiánu
Věta: Obecná věta, porozumění tomu, co se děje
- věta
  - buďte $F_i(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m),\;i=1,\dots,m,$ funkce $n+m$ proměnných se spojitými parciálními derivacemi do řádu $k\geq 1$
  - buď $F(x^0,y^0)=o$ a $\frac{D(F)}{D(y)}(x^0,y^0)\neq 0$
  - potom existují $\delta\gt 0$ a $\Delta\gt 0$ takové, že pro každé $x\in (x^0_1-\delta,x_1^0+\delta)\times\dots\times(x_n^0-\delta,x_n^0+\delta)$ existuje právě jedno $y\in (y_1^0-\Delta,y_1^0+\Delta)\times\dots\times(y_m^0-\Delta,y_m^0+\Delta)$ takové, že $F(x,y)=o$
  - píšeme-li toto $y$ jako vektorovou funkci $f(x)=(f_1(x),\dots,f_m(x))$ , mají $f_i$ spojité parciální derivace do řádu $k$
- důkaz: v podstatě stačí kroky výše – ukázali jsme, jak pomocí substituce přejít od úlohy s $n+1$ rovnicemi k úloze s $n$ rovnicemi a jak se při tom podmínka o Jacobiánu v dimenzi $n+1$ přemění na podmínku o Jacobiánu v dimenzi $n$ (pak už je třeba jenom diskutovat, jak vhodně nahradit rozměry oken, tedy $\delta,\Delta$ )
Věta: Aplikace – lokální extrémy, věta o vázaných extrémech, jak se používá
- uvažujeme body, v nichž jsou všechny parciální derivace nulové, a body na okraji zkoumané oblasti (ale těch je nekonečně mnoho)
- když hledáme extrémy funkce $f(x_1,\dots,x_n)$ $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ , okraj oblasti vyjádříme podmínkami $g_i(x_1,\dots,x_n)$ $g_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})$ pro $i=1,\dots,k$ $i = 1, \dots, k$
  - pak hledáme extrémy na množině určené podmínkami – tedy jde o vázané extrémy
- věta
  - buďte $f,g_1,\dots,g_k$ reálné funkce definované na otevřené množině $D\subseteq\mathbb E_n$
  - nechť mají spojité parciální derivace
  - nechť je hodnost matice $M$ $M$ maximální, tedy $k$ $k$ , v každém bodě oboru $D$ $D$
    - kde $M_{ij}=\frac{\partial g_i}{\partial x_j}$ (tedy řádky odpovídají funkcím $g_i$ , sloupce proměnným $x_j$ )
  - jestliže funkce $f$ nabývá v bodě $a$ lokálního extrému podmíněného vazbami $g_i(x_1,\dots,x_n)=0$ pro $i=1,\dots,k$ , pak existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ taková, že pro každé $i=1,\dots,n$ platí $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$
- důkaz
  - z lineární algebry víme, že matice $M$ má hodnost $\geq k$ , právě když aspoň jedna její $k\times k$ podmatice je regulární (má nenulový determinant)
  - $M$ má $k$ řádků a $n$ sloupců, kde $n$ bude typicky (možná vždy?) větší než $k$
  - v matici $M$ $M$ máme tedy čtvercovou matici nalevo regulární, tedy její determinant je nenulový
    - pro jednoduchost uvažujeme přečíslování souřadnic, aby to vyšlo hezky na první až $k$ -tý sloupec matice
  - soustava rovnic $\forall i:g_i(x)=0$ pro neznámé funkce $x_1,\dots,x_k$ , v níž parametry $x_{k+1},\dots,x_n$ budou proměnnými, tedy splňuje předpoklady věty o implicitních funkcích a v okolí bodu $a$ dává funkce $\phi_i(x_{k+1},\dots,x_n)$ se spojitými parciálními derivacemi takové, že $\forall g_i(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x),\tilde x)=0$ , kde $\tilde x=(x_{k+1},\dots,x_n)$
  - tedy lokální extrém funkce $f(x)$ v $a$ podmíněný danými vazbami se mění na lokální extrém (nepodmíněné) funkce $F(\tilde x)=f(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x), \tilde x)$ v $\tilde a$
  - musí tedy platit ${\partial F\over\partial x_i}(\tilde a)=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
  - (1) tj. podle řetízkového pravidla $\sum_{r=1}^k\frac{\partial f(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}+\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
  - (2) po derivaci konstantní $g_i(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x),\tilde x)=0$ $g_{i} (ϕ_{1} (\tilde{x}), \dots, ϕ_{k} (\tilde{x}), \tilde{x}) = 0$ dostaneme pro $j=1,\dots,k:$ $j = 1, \dots, k :$ $\sum_{r=1}^k\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}+\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$ $\sum_{r = 1}^{k} \frac{\partial g _{j} ( a )}{\partial x _{r}} \cdot \frac{\partial ϕ _{r} ( a ~ )}{\partial x _{i}} + \frac{\partial g _{j} ( a )}{\partial x _{i}} = 0$ pro $i=k+1,\dots,n$ $i = k + 1, \dots, n$
    - poznámka: tenhle krok nenavazuje na ten předchozí
  - užijeme znovu nenulový determinant – následující systém lineárních rovnic má nutně jediné řešení $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ :
    - $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=1,\dots,k$
  - takhle jsme použili pouze prvních $k$ $k$ z $n$ $n$ rovnic, teď ještě musíme dokázat, že takto určená $\lambda_i$ $λ_{i}$ vyhovují i ostatním $n-k$ $n - k$ rovnicím
    - použijeme (1) a (2), první rovnost je oba kombinuje, navíc (2) sčítá přes všechna $j$
    - uvažujeme $i\gt k$
  - $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=-\sum_{r=1}^k\frac{\partial f(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}-\sum_{j=1}^k\lambda_j\sum_{r=1}^k\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=$
  - $=-\sum_{r=1}^k\left(\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot \frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}\right)\frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=-\sum_{r=1}^n0\cdot\frac{\partial\phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=0$ $= - \sum_{r = 1}^{k} (\frac{\partial f ( a )}{\partial x _{i}} + \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} \cdot \frac{\partial g _{j} ( a )}{\partial x _{i}}) \frac{\partial ϕ _{r} ( a ~ )}{\partial x _{i}} = - \sum_{r = 1}^{n} 0 \cdot \frac{\partial ϕ _{r} ( a ~ )}{\partial x _{i}} = 0$
    - výraz v závorce odpovídá soustavě rovnic (viz výše) – proto je nulový
- poznámky
  - čísla $\lambda_i$ jsou známa jako Lagrangeovy multiplikátory
  - síla tvrzení je v tom, že zaručuje existenci čísel $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ splňujících více než $k$ rovnic
Věta: Aplikace – regulární zobrazení
- definice
  - buď $U\subseteq\mathbb E_n$ otevřená a nechť mají funkce $f_i:U\to \mathbb E_n$ (pro $i=1,\dots,n$ ) spojité parciální derivace
  - řekneme, že výsledné zobrazení $f=(f_1,\dots,f_n):U\to\mathbb E_n$ je regulární, jestliže je Jacobián $\frac{D(f)}{D(x)}(x)\neq 0$ pro všechny body $x\in U$
- tvrzení: je-li $U\to\mathbb E_n$ regulární, je obraz $f[V]$ každé otevřené podmnožiny $V\subseteq U$ otevřený
- důkaz
  - vezměme $f(x^0)=y^0$
  - definujme $F:V\times\mathbb E_n\to\mathbb E_n$ předpisem $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i$
  - potom je $F(x^0,y^0)=0$ a $\frac{D(F)}{D(x)}\neq 0$
  - tudíž je možné použít větu o implicitních funkcích
  - dostaneme $\delta,\Delta\gt 0$ taková, že pro každé $y:\lVert y-y^0\rVert\lt\delta$ existuje $x:\lVert x-x^0\rVert\lt\Delta$ a $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i=0$
  - tzn. máme $f(x)=y$ (pozor, $y_i$ jsou proměnné, $x_j$ hledané funkce)
  - zároveň $\Omega(y^0,\delta)=\set{y\mid\lVert y-y^0\rVert\lt\delta}\subseteq f[V]$
- tvrzení
  - buď $f:U\to\mathbb E_n$ regulární
  - potom pro každé $x^0\in U$ existuje otevřené okolí $V$ takové, že restrikce $f|V$ je prosté zobrazení
  - navíc platí, že zobrazení $g:f[V]\to\mathbb E_n$ k $f|V$ inverzní je regulární
- důkaz
  - vezměme $f(x^0)=y^0$
  - znovu použijeme zobrazení $F$ , kde $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i$
  - řešíme úlohu $F_i(x,y)=0$ s proměnnými $y_1,\dots,y_n$ a neznámými funkcemi $x_i=g_i(y_1,\dots,y_n)$
  - pro dost malé $\Delta\gt 0$ máme jedno $x=g(y)$ takové, že $F(x,y)=0$ a $\lVert x-x^0\rVert\lt\Delta$
  - toto $g$ má navíc spojité parciální derivace
  - $\partial f\cdot\partial g=\partial(f\circ g)=\partial (id)=\mathbb E$
  - tedy ${D(f)\over D(x)}\cdot{D(g)\over D(y)}=1$
  - $\frac{D(g)}{D(y)}$ proto musí být nenulový
- důsledek: prosté regulární zobrazení $f:U\to V=f[U]\subseteq\mathbb E_n$ má regulární inverzní zobrazení $g:f[U]\to\mathbb E_n$

Riemannův integrál v jedné proměnné

Definice: Opakování, geometrická interpretace, obsahy atd.
- některým podmnožinám $A\subseteq\mathbb E_n$ $A \subseteq E_{n}$ umíme přiřadit objem $\text{vol}(A)$ $vol (A)$ , přičemž požadujeme vlastnosti…
  - $\text{vol}(\emptyset)=0$
  - $A\subseteq B\implies\text{vol}(A)\leq\text{vol}(B)$
  - $\text{vol}(A\cup B)=\text{vol}(A)+\text{vol}(B)-\text{vol}(A\cap B)$
  - objem je zachován isometrií
  - objem cihly $\braket{a_1,b_1}\times\dots\times\braket{a_n,b_n}$ v $\mathbb E_n$ je $(\prod_i\braket{a_i,b_i})=(b_1-a_1)\cdot\ldots\cdot(b_n-a_n)$
- když má nějaká cihla degenerovanou hranu ( $a_i=b_i$ pro některé $i$ ), pak je její objem nulový
- objem útvarů složených z cihel, jimž se protínají jen povrchy, je stejný, jako by cihly byly disjunktní
Definice: Rozdělení intervalu
- rozdělení intervalu $\braket{a,b}$ je posloupnost $P:a=t_0\lt t_1\lt\dots\lt t_{n-1}\lt t_n=b$
- zjemnění $P$ je rozdělení $P':a=t'_0\lt t'_1\lt\dots\lt t'_{m-1}\lt t'_m=b$ takové, že $\set{t_j\mid j=1,\dots,n-1}\subseteq\set{t'_j\mid j=1,\dots,m-1}$
- jemnost rozdělení je $\mu(P)=\max_j(t_j-t_{j-1})$
- rozdělení intervalů je vhodnější než jako posloupnost bodů vnímat rozdělení intervalu na menší intervaly
- pro omezenou funkci $f:J=\braket{a,b}\to\mathbb R$ $f : J = ⟨ a, b ⟩ \to R$ a rozdělení $P$ $P$ definujeme
  - dolní součet $s(f,P)=\sum_{j=1}^nm_j(t_j-t_{j-1})$ $s (f, P) = \sum_{j = 1}^{n} m_{j} (t_{j} - t_{j - 1})$
    - kde $m_j=\inf\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}$
  - horní součet $S(f,P)=\sum_{j=1}^n M_j(t_j-t_{j-1})$ $S (f, P) = \sum_{j = 1}^{n} M_{j} (t_{j} - t_{j - 1})$
    - kde $M_j=\sup\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}$
- když $P'$ zjemňuje $P$ , dostáváme $s(f,P)\leq s(f,P')$ a $S(f,P)\geq S(f,P')$
- pro každá dvě $P_1,P_2$ platí $s(f,P_1)\leq S(f,P_2)$
- dolní Riemannův integrál: $\underline\int_a^b f(x)dx=\sup\set{s(f,P)\mid P\text{ rozd\v{e}lení}}$
- horní Riemannův integrál: $\overline\int_a^b f(x)dx=\inf\set{S(f,P)\mid P\text{ rozd\v{e}lení}}$
- je-li $\underline\int_a^b f(x)dx=\overline\int_a^b f(x)dx$ $\underline{\int}_{a}^{b} f (x) d x = \overline{\int}_{a}^{b} f (x) d x$ , pak společnou hodnotu označujeme $\int_a^b f(x)dx$ $\int_{a}^{b} f (x) d x$
  - Riemannův integrál funkce $f$ přes $\braket{a,b}$
Věta: Existence pro spojité funkce, role stejnoměrné spojitosti
- tvrzení: Riemannův integrál $\int_a^b f(x)dx$ existuje, právě když pro každé $\varepsilon\gt 0$ existuje rozdělení $P$ takové, že $S(f,P)-s(f,P)\lt\varepsilon$
- důkaz
  - $\implies$ $⟹$
    - nechť $\int_a^b f(x)dx$ existuje a $\varepsilon\gt 0$
    - potom existují rozdělení $P_1,P_2$ taková, že $S(f,P_1)\lt \int_a^b f(x)dx+\frac\varepsilon2$ a $s(f,P_2)\gt\int_a^b f(x)dx-\frac\varepsilon2$
    - potom pro společné zjemnění $P$ těch dvou platí $S(f,P)-s(f,P)\lt \int_a^b f(x)dx+\frac{\varepsilon}2-\left(\int_a^b f(x)dx - \frac\varepsilon2\right)=\varepsilon$
  - $\impliedby$ $⟸$
    - zvolme $\varepsilon\gt 0$ takové, že $S(f,P)-s(f,P)\lt\varepsilon$
    - potom $\overline\int_a^b f(x)dx\leq S(f,P)\leq s(f,P)+\varepsilon\leq \underline\int_a^b f(x)dx+\varepsilon$
    - $\varepsilon$ je libovolně malé, takže $\overline\int_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx$
- věta: pro každou spojitou $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ Riemannův integrál $\int_a^b f$ existuje
- důkaz
  - pro $\varepsilon\gt 0$ zvolme $\delta\gt 0$ tak, aby $|x-y|\lt\delta\implies|f(x)-f(y)|\lt\frac{\varepsilon}{b-a}$
  - je-li $\mu(P)\lt\delta$ , máme $t_j-t_{j-1}\lt\delta$ pro všechna $j$
  - tedy pro všechna $j:$ $j :$
    - $M_j-m_j=\sup\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}-\inf\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}\leq$
    - $\leq\sup\set{|f(x)-f(y)|\mid t_{j-1}\leq x,y\leq t_j}\leq\frac\varepsilon{b-a}$
  - tudíž $S(f,P)-s(f,P)=\sum (M_j-m_j)(t_j-t_{j-1})\leq\frac\varepsilon{b-a}\sum(t_j-t_{j-1})=$
  - $=\frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon$
- ve více proměnných uvažujeme kompaktní interval, takže je funkce rovnou stejnoměrně spojitá (což potřebujeme)
Věta: Základní věta analýzy, Riemannův integrál a primitivní funkce
- integrální věta o střední hodnotě: buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá, potom existuje $c\in\braket{a,b}$ takové, že $\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$
- důkaz
  - položme $m,M$ jako minimum a maximum z funkčních hodnot na intervalu
  - zjevně $m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a)$
  - tedy existuje $K$ takové, že $m\leq K\leq M$ a $\int_a^b f(x)dx=K(b-a)$
  - ze spojitosti $f$ vyplývá, že existuje $c\in\braket{a,b}$ takové, že $K=f(c)$
- pozorování: pro $a\lt b\lt c:\int_a^b f+\int_b^cf=\int_a^c f$
- základní věta analýzy
  - buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá
  - pro $x\in\braket{a,b}$ definujme $F(x)=\int_a^x f(t)dt$
  - potom je $F'(x)=f(x)$
- důkaz
  - uvažujme $h\neq 0$
  - $\frac1h(F(x+h)-F(x))=\frac1h(\int_a^{x+h}f-\int_a^xf)=\frac 1h\int_x^{x+h} f=$
  - $=\frac 1h f(x+\theta h)h=f(x+\theta h)$ $= \frac{1}{h} f (x + θ h) h = f (x + θ h)$
    - kde $0\lt\theta\lt 1$
  - ve druhé úpravě jsme použili pozorování, ve třetí integrální větu o střední hodnotě
  - $f$ je spojitá, proto $\lim_{h\to 0}\frac1h(F(x+h)-F(x))=\lim_{h\to 0} f(x+\theta h)=f(x)$
- důsledek
  - buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá
  - potom má primitivní funkci na $(a,b)$ spojitou na $\braket{a,b}$
  - je-li $G$ primitivní funkce $f$ na $(a,b)$ spojitá na $\braket{a,b}$ , potom je $\int_a^bf(t)dt=G(b)-G(a)$

Riemannův integrál ve více proměnných

Definice: Až do existence pro spojité funkce zcela analogické s jednou proměnnou
- stačí pochopit podrozdělení jako rozklad na systém cihliček
- cihla … kompaktní interval v $\mathbb E_n$ , vypadá takto: $J=\braket{a_1,b_1}\times\dots\times\braket{a_n,b_n}$
- rozdělení cihly $J$ je posloupnost, jejímiž prvky jsou rozdělení jednotlivých intervalů
- tak jsou určeny menší intervaly, těm říkáme cihly rozdělení
- množina všech cihel rozdělení $\mathcal B(P)$ je soustava tvořící rozklad intervalu $J$ na skoro disjunktní sjednocení
- pozorování: $\text{vol}(J)=\sum\set{\text{vol}(B)\mid B\in\mathcal B(J)}$
- diametr intervalu $J$ … $\text{diam}(J)=\max_i(b_i-a_i)$
- jemnost rozdělení $P$ … $\mu(P)=\max\set{\text{diam}(B)\mid B\in\mathcal B(P)}$
- zjemnění je pak dodefinováno pomocí zjemnění jednotlivých intervalů v posloupnosti
- každá dvě rozdělení $P,Q$ $n$ -rozměrného kompaktního intervalu $J$ mají společné zjemnění
- Riemannův integrál funkce přes $J$ značíme $\int_Jf(x)dx$
- většina vět je stejná jako v jedné proměnné
- akorát nemáme protějšek základní věty analýzy, zejména pak její důsledek, že známe-li primitivní funkci $G$ funkce $f$ , můžeme Riemannův integrál funkce $f$ počítat jako $\int_a^b f(t)dt=G(b)-G(a)$
- místo toho budeme vícerozměrný Riemannův integrál počítat postupnými výpočty po jednotlivých souřadnicích (podle Fubiniovy věty)
Věta: Fubiniho věta, jak ji používáme
- věta
  - vezměme součin $J=J'\times J''\subseteq \mathbb E_{m+n}$ intervalů $J'\subseteq\mathbb E_m,\,J''\subseteq\mathbb E_n$
  - nechť $\int_Jf(x,y)dxy$ existuje
  - nechť pro každé $x\in J'$ existuje $\int_{J''}f(x,y)dy$
  - nechť pro každé $y\in J''$ existuje $\int_{J'}f(x,y)dx$
  - potom je $\int_J f(x,y)dxy=\int_{J'}(\int_{J''}f(x,y)dy)dx=\int_{J''}(\int_{J'}f(x,y)dx)dy$
- důkaz
  - položme $F(x)=\int_{J''}f(x,y)dy$
  - dokážeme, že $\int_{J'}F$ existuje a že $\int_J f=\int_{J'}F$
  - zvolme rozdělení $P$ intervalu $J$ tak, aby $\int f-\varepsilon\leq s(f,P)\leq S(f,P)\leq\int f+\varepsilon$
  - toto $P$ je tvořeno rozděleními $P'$ intervalu $J'$ a $P''$ intervalu $J''$
  - máme $\mathcal B(P)=\set{B'\times B''\mid B'\in\mathcal B(P'),B''\in\mathcal B(P'')}$
  - každá cihla rozdělení $P$ se objeví jako právě jedno $B'\times B''$
  - potom je $F(x)\leq \sum_{B''\in \mathcal B(P'')}\max_{y\in B''} f(x,y)\cdot \text{vol}(B'')$
  - tudíž $S(F,P')\leq$
  - $\leq\sum_{B'\in\mathcal B(P')}\max_{x\in B'}\left(\sum_{B''\in \mathcal B(P'')}\max_{y\in B''} f(x,y)\cdot \text{vol}(B'')\right)\cdot\text{vol}(B')\leq$
  - $\leq\sum_{B'\in\mathcal B(P')}\sum_{B''\in\mathcal B(P'')}\max_{(x,y)\in B'\times B''}f(x,y)\cdot\text{vol}(B'')\cdot \text{vol}(B')\leq$
  - $\leq\sum_{B'\times B''\in\mathcal B(P)}\max_{z\in B'\times B''}f(z)\cdot \text{vol}(B'\times B'')=S(f,P)$
  - takhle jsme dokázali $S(f,P)\geq S(F,P')$
  - podobně lze dojít k $s(f,P)\leq s(F,P')$
  - máme tedy $\int_Jf-\varepsilon\leq s(F,P')\leq \int_{J'}F\leq S(F,P')\leq \int_J f+\varepsilon$
  - proto $\int_{J'}F=\int_Jf$
Definice: Poznámky o Lebesgueově integrálu
- zejména praktická informace, že smíme počítat jako s Riemannovým integrálem plus pravidlo $\int\lim f_n=\lim\int f_n$ pro stejně omezené $f_n$
- několik Lebesgueovských pravidel
  1. je-li $J$ $n$ -dimenzionální interval a jestliže Riemannův integrál $\int_Jf$ existuje, potom Lebesgueův integrál je stejný
  2. jestliže $\int_{D_n}f$ existuje pro $n=1,2,\dots$ , potom existuje též $\int_{\cup D_n}f$
  3. jestliže $\int_Df_n$ existuje a posloupnost $(f_n)_n$ je monotónní, potom je $\int_D\lim_nf_n=\lim_n\int_Df_n$
  4. jestliže $\int_Df_n$ existuje a $|f_n|\leq g$ pro nějakou $g$ , pro kterou $\int_D g$ existuje a je konečný, potom $\int_D\lim_nf_n=\lim_n\int_Df_n$
  5. buď $U$ okolí bodu $t_0$ a buď $g$ taková, že $\int_Dg$ existuje a $\int_Df(t,x)dx$ existují a $|f(t,x)|\leq g(x)$ pro všechna $t\in U\setminus\set{t_0}$ , potom je $\int_Df(t_0,x)dx=\lim_{t\to t_0}\int_D f(t,x)dx$
  6. jestliže pro integrabilní $g$ platí $\left|\frac{\partial f(t,x)}{\partial t}\right|\leq g(x)$ a jestliže v nějakém okolí $U$ bodu $t_0$ všechny symboly v následující formuli dávají smysl, potom $\int_D\frac{\partial f(t_0,-)}{\partial t}={d\over dt}\int_Df(t_0,-)$
- nejdůležitější pravidlo: $\int\lim f_n=\lim\int f_n$ $\int lim f_{n} = lim \int f_{n}$ , je-li $|f_n(x)|\leq K$ $∣ f_{n} (x) ∣ \leq K$ pro nějaké pevné $K$ $K$
  - je speciální případem pravidla (4)
- princip Lebesgueova integrálu
  - Lebesgueův integrál je založen na spočetných součtech
  - tedy předpokládá, že pro posloupnost disjunktních množin $A_n\subseteq\mathbb E_k$ platí $\text{vol}(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty\text{vol}(A_n)$
Příklad: Co se dá udělat s kompaktními obory hodnot které nejsou intervaly
- Tietzova věta (bez důkazu): buď $Y$ uzavřený podprostor metrického prostoru $(X,d)$ , potom každá spojitá funkce $f:Y\to\braket{a,b}$ se dá rozšířit na spojitou $g:X\to\braket{a,b}$
- pro Lebesgueův integrál platí $\int\lim f_n=\lim\int f_n$ , je-li $|f_n(x)|\leq K$ pro nějaké pevné $K$
- co dělat s kompaktním oborem hodnot, který není cihla
  - mějme kompaktní $D\subseteq\mathbb E_n$
  - $D$ vložíme do cihly $J$
  - $f$ $f$ rozšíříme nulovými hodnotami na $J\setminus D$ $J ∖ D$
    - tak dostaneme funkci $g$
  - není jasné, zda má funkce $g$ Riemannův integrál, protože nemusí být spojitá
  - tedy použijeme Tietzovu větu a Lebesgueův integrál
    - definujme $J_n=\set{x\in J\mid d(x,D)\geq\frac1n}$
    - mějme podprostor $D\cup J_n$ uzavřený v $J$
    - na $D\cup J_n$ definujme $g'_n$ jako 0 na $J_n$ a jako $f$ na $D$
    - to je spojitá funkce, podle Tietzeovy věty ji můžeme rozšířit na stejně omezenou $g_n$ na $J$
    - zjevně $\lim g_n=g$
    - tady se nám hodí Lebesgueův integrál
Příklad: Substituce (jen intuitivně; role Jacobiánu)
- substituce v jedné proměnné
  - mějme rostoucí funkci $\phi$ definovanou na okolí kompaktního intervalu $\braket{a,b}$
  - podívejme se na jeho obraz $\braket{\phi(a),\phi(b)}$
  - nechť $\phi$ má derivaci $\phi'$
  - buď $f$ spojitá funkce a $F$ její primitivní funkce
  - potom máme pro složenou funkci $G=F\circ\phi:$ $G = F \circ ϕ :$
    - $G'(x)=F'(\phi(x))\phi'(x)$
  - podle základní věty analýzy:
    - $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)dx=F(\phi(b))-F(\phi(a))=G(b)-G(a)=\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x)dx$
  - tedy výsledné pravidlo vypadá takto: $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(x)dx=\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x)dx$
  - geometrická interpretace
    - rostoucí funkce $\phi$ popisuje deformaci intervalu $\braket{a,b}$ , která natahuje nebo smršťuje malé intervaly $\braket{x,x+h}$ v poměru přibližně $\phi'(x)$
    - integrál funkce $f$ chápeme jako součet objemů tenkých obdélníků o stranách $h$ a $f(x)$
    - sčítaný obdélník v integrálu před deformací $\braket{x,x+h}$ bude odpovídat obdélníku s délkou základny $h\cdot\phi'(x)$
    - násobení $\phi'(x)$ tedy zajišťuje jakousi kompenzaci
- substituce ve více proměnných
  - buď $U$ otevřené okolí kompaktní množiny $D\subseteq\mathbb E_n$
  - buď $\phi:U\to\mathbb E_n$ regulární zobrazení
  - potom pro (dejme tomu spojitou) funkci $f$ $f$ máme $\int_{\phi[D]}f=\int_Df(\phi(x))\left|\frac{D(\phi)}{D(x)}\right|dx$ $\int_{ϕ [D]} f = \int_{D} f (ϕ (x)) \frac{D ( ϕ )}{D ( x )} d x$
    - kde $\frac{D(\phi)}{D(x)}$ je Jacobián
  - krychlička $\braket{x_1,x_1+h}\times\dots\times\braket{x_n,x_n+h}$ o objemu $h^n$ bude deformována na rovnoběžnostěn definovaný vektory $\phi(x)+h\cdot\left(\frac{\partial\phi_i(x)}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial \phi_i(x)}{\partial x_n}\right)$ (pro $i=1,\dots,n$ ), jehož objem je $h^n\cdot\left|\frac{D(\phi(x))}{D(x)}\right|$
  - absolutní hodnota Jacobiánu tedy hraje tutéž kompenzační roli jako hodnota $\phi'(x)$ v případě jedné proměnné