metrický prostor je uspořádaná dvojice (X,d), kde X je množina a d:X×X→R je funkce, pro níž platí (∀x,y,z∈X)
d(x,y)≥0
d(x,y)=0⟺x=y
d(x,y)=d(y,x)
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) … trojúhelníková nerovnost
příklady
(R,∣x−y∣)
(C,∣x−y∣)
euklidovský prostor En je metrický prostor (Rn,d), kde d(x,y)=∑i(xi−yi)2
tzn. d(x,y)=∥x−y∥, kde ∥u∥=⟨u∣u⟩
diskrétní prostor (X,d), kde d(x,y)=1 pro x=y
prostor funkcí (F(a,b),d)
F(a,b) … množina všech omezených funkcí na intervalu ⟨a,b⟩
d(f,g)=sup{∣f(x)−g(x)∣∣a≤x≤b}
Definice: Podprostor metrického prostoru
mějme (X,d) metrický prostor a podmnožinu Y⊆X
tato podmnožina tvoří podprostor (Y,d′), kde d′(x,y)=d(x,y)
Definice: Spojité zobrazení, konvergence
zobrazení f:(X,d)→(Y,d′) je spojité, platí-li (∀x,y∈X)(∀ε>0)(∃δ>0):d(x,y)<δ⟹d′(f(x),f(y))<ε
složení spojitých zobrazení je spojité
pro posloupnost (xn)n definujeme limnxn=x takto: (∀ε>0)(∃n0):n≥n0⟹d(x,xn)<ε
pokud limita existuje, jde o konvergentní posloupnost
Věta: Spojitost a konvergence
věta: zobrazení f:(X1,d1)→(X2,d2) je spojité, právě když pro každou konvergentní posloupnost (xn)n v (X1,d1) posloupnost (f(xn))n konverguje v (X2,d2) a platí limnf(xn)=f(limnxn)
důkaz
⟹
mějme f spojitou a konvergentní posloupnost (xn)n, kde limnxn=x
ze spojitosti můžeme pro ε>0 zvolit δ>0 tak, aby d1(x,y)<δ⟹d2(f(x),f(y))<ε
podle konvergence existuje n0 takové, že pro n≥n0 je d1(xn,x)<δ
tedy pro n≥n0 máme d2(f(xn),f(x))<ε
tudíž limnf(xn)=f(limnxn)
⟸ obměnou
nechť f není spojitá
tzn. (∃x∈X1)(∃ε0>0)(∀δ>0)(∃x(δ)):d1(x,x(δ))<δ∧d2(f(x),f(x(δ)))≥ε0
položme xn=x(n1)
pak limnxn=x, ale (f(xn))n nemůže konvergovat k f(x)
Definice: Okolí, otevřené a uzavřené množiny
epsilonové okolí … Ω(x,ε)={y∣d(x,y)<ε}
obecné okolí U bodu x je taková podmnožina, že existuje ε>0 takové, že Ω(x,ε)⊆U
nadmnožina okolí je okolí
průnik dvou okolí je okolí
U⊆(X,d) je otevřená, je-li okolím každého svého bodu
∅ a X jsou otevřené
sjednocení otevřených množin je otevřené
průnik dvou otevřených množin je otevřený
A⊆(X,d) je uzavřená v (X,d), jestliže každá posloupnost (xn)n⊆A konvergentní v X má limnxn∈A
nejde o dichotomii
tvrzení: A⊆(X,d) je uzavřená v (X,d), právě když X∖A je otevřená
když X∖A není otevřená (má nějaký „problémový bod“ x, jehož libovolně malé epsilonové okolí není celé v X∖A), tak se dá najít posloupnost v A s limitou v x∈/A
když X∖A je otevřená a kdyby existovala posloupnost v A s limitou v x∈/A, tak epsilonové okolí x není v A, tedy pro dost velké n se prvky posloupnosti musí dostat mimo A, což je spor
Definice: Uzávěr
vzdálenost bodu od množiny
d(x,A)=inf{d(x,a)∣a∈A}
uzávěr množiny A
A={x∣d(x,A)=0}
uzávěr je množina všech limit konvergentních posloupností v dané množině
uzávěr je uzavřená množina (dokonce nejmenší uzavřená množina obsahující původní množinu)
Věta: Spojitost a vzory otevřených a uzavřených podmnožin
věta
mějme metrické prostory (X1,d1),(X2,d2) a zobrazení f:X1→X2
potom jsou následující tvrzení ekvivalentní
f je spojité
pro každý bod x∈X1 a každé okolí V bodu f(x) existuje okolí U bodu x takové, že f[U]⊆V
pro každou otevřenou U v X2 je vzor f−1[U] otevřený v X1
pro každou uzavřenou A v X2 je vzor f−1[A] uzavřený v X1
pro každou A⊆X1 je f[A]⊆f[A]
důkaz
1.⟺2.
definice spojitosti říká, že ke každému okolí Ω(f(x),ε) existuje okolí Ω(x,δ) takové, že f[Ω(x,δ)]⊆Ω(f(x),ε)
dále rozšíříme na obecné okolí
2.⟹3.
máme otevřenou množinu V
máme x∈f−1[V], tedy f(x)∈V, kde V je okolí f(x)
existuje U okolí x takové, že f[U]⊆V
U⊆f−1f[U]⊆f−1[V]
takže f−1[V] je okolí x
otevřenost plyne z toho, že to platí pro všechny f(x)∈V (respektive x∈f−1[V])
vzájemně jednoznačné spojité zobrazení f:(X1,d1)→(X2,d2) takové, že i inverzní f−1 je spojité, se nazývá homeomorfismus a o X1,X2 mluvíme jako o homeomorfních prostorech
vlastnost, pojem nebo definice je topologická, zachovává-li se při homeomorfismech
příklady topologických vlastností a pojmů: konvergence, otevřenost a uzavřenost, uzávěr, okolí, spojitost (stejnoměrná nikoliv)
Definice: Ekvivalentní a silně ekvivalentní metriky; silně ekvivalentní metriky v En
d1,d2 jsou ekvivalentní, pokud je zobrazení (X,d1)→(X,d2) homeomorfismus
d1,d2 jsou silně ekvivalentní, existují-li kladné konstanty α,β takové, že α⋅d1(x,y)≤d2(x,y)≤β⋅d1(x,y)
silně ekvivalentní metriky v En
d(x,y)=∑i(xi−yi)2
σ(x,y)=maxi∣xi−yi∣
důkaz silné ekvivalence d a σ
triviálně σ≤d … stačí vzít největší sčítanec pod odmocninou
nahrazením všech sčítanců tím největším získáme d(x,y)≤n⋅σ(x,y)
Definice: Stejnoměrná spojitost
zobrazení f:(X,d)→(Y,d′) je stejnoměrně spojité, pokud…
(∀ε)(∃δ)(∀x)(∀y):d(x,y)<δ⟹d′(f(x),f(y))<ε
rozdíl vůči (klasické) spojitosti spočívá v pořadí kvantifikátorů – u spojitosti je to (∀x)(∀y)(∀ε)(∃δ)
např. f(x)=x2 je spojitá funkce, ale není stejnoměrně spojitá
Věta: Součiny a projekce
pro (Xi,di),i=1,…,n definujme na kartézském součinu ∏i=1nXi vzdálenost d(x,y)=maxidi(xi,yi)
takto získaný prostor (∏iXi,d)=∏i(Xi,di) nazýváme součinem prostorů (Xi,di)
věta
∀j∈{1,…,n} projekce pj:∏i(Xi,di)→(Xj,dj), kde pj(x)=xj, je spojité zobrazení
jsou-li fj:(Y,d′)→(Xj,dj) libovolná spojitá zobrazení, potom jednoznačně určené zobrazení f:(Y,d′)→∏i(Xi,di) splňující pj∘f=fj, totiž zobrazení definované předpisem f(y)=(f1(y),…,fn(y)), je spojité
definice: metrický prostor (X,d) je kompaktní, obsahuje-li v něm každá posloupnost konvergentní podposloupnost
tvrzení: podprostor kompaktního prostoru je kompaktní, právě když je uzavřený
mějme posloupnost v uzavřeném podprostoru, tato posloupnost má podposloupnost s limitou v kompaktním prostoru – z uzavřenosti tato limita musí být v podprostoru
mějme posloupnost v otevřeném podprostoru, ta má limitu mimo podprostor – každá její podposloupnost má tu stejnou limitu mimo podprostor, tedy daná posloupnost není konvergentní v podprostoru
tvrzení: je-li podprostor Y metrického prostoru (X,d) kompaktní, pak je Y uzavřený v (X,d)
mějme posloupnost v kompaktním podprostoru, která konverguje k y∈X, potom každá její podposloupnost konverguje k y, tudíž musí být y∈Y
definice: metrický prostor (X,d) je omezený, jestliže pro nějaké K platí ∀x,y∈X:d(x,y)<K
tvrzení: každý kompaktní prostor je omezený
posloupnost (xn)n, kde d(x0,xn)>n, nemá žádnou omezenou podposloupnost, tedy nemá konvergentní podposloupnost (neboť ta je vždy omezená), což je spor
věta: součin konečně mnoha kompaktních prostorů je kompaktní
pak je posloupnost ((xkln,ykln))n zjevně konvergentní podposloupností původní posloupnosti
Věta: Kompaktní podprostory En
věta: podprostor euklidovského prostoru En je kompaktní, právě když je omezený a uzavřený
důkaz
již jsme dokázali, že kompaktnost implikuje uzavřenost a omezenost
mějme Y⊆En omezený a uzavřený
z omezenosti vyplývá, že pro dostatečně velký součin (uzavřených) intervalů J platí Y⊆J⊆En
intervaly jsou kompaktní, jejich součin je taky kompaktní (viz věta výše)
Y je uzavřený v En, tedy je uzavřený i v J
Věta: Obraz kompaktního prostoru
tvrzení: buď f:(X,d)→(Y,d′) spojité zobrazení a buď A⊆X kompaktní, potom je f[A] kompaktní
důkaz
buď (yn)n posloupnost v f[A]
zvolme xn∈A, aby yn=f(xn)
posloupnost (xn)n má konvergentní podposloupnost (xkn)n
(ykn)n=(f(xkn))n je konvergentní podposloupnost posloupnosti (yn)n
Věta: Maxima a minima spojitých funkcí na kompaktních podmnožinách
tvrzení: buď (X,d) kompaktní, potom každá spojitá funkce f:(X,d)→R nabývá maxima i minima
důkaz
podprostor Y=f[X]⊆R je kompaktní
Y je tedy omezená množina a musí mít supremum a a infimum b
zřejmě d(a,Y)=d(b,Y)=0
Y je uzavřená, proto a,b∈Y
Věta: Stejnoměrná spojitost v kompaktním kontextu
věta: buď f:X→Y spojité zobrazení, X kompaktní, potom f je stejnoměrně spojité
důkaz – obměnou (zobrazení není stejnoměrně spojité, pak není spojité)
uvažujme epsilon takové, že pro každé delta existuje dvojice x,y takové, že jsou si blíž než delta, ale d(f(x),f(y))≥ε
z dvojicí sestavíme posloupnosti (xn)n a (yn)n – obě mají konvergentní podposloupnosti, ty volíme tak, aby si odpovídaly (jako v důkazu kompaktnosti součinu), mají stejnou limitu
limity funkčních hodnot se zjevně nerovnají (to je negace tvrzení ekvivalentnímu spojitosti zobrazení)
tvrzení: je-li (X,d) kompaktní a je-li f:(X,d)→(Y,d′) vzájemně jednoznačné spojité zobrazení, je to homeomorfismus
Věta: Cauchyovské posloupnosti a konvergence
definice: posloupnost (xn)n v metrickém prostoru (X,d) je Cauchyovská, jestliže (∀ε>0)(∃n0):m,n≥n0⟹d(xm,xn)<ε
pozorování: každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská
tvrzení: má-li Cauchyovská posloupnost konvergentní podposloupnost, potom konverguje (k limitě té posloupnosti)
důkaz
nechť (xn)n je Cauchyovská a nechť x je limita její konvergentní podposloupnosti (xkn)n
od nějakého n1 platí d(xm,xn)<ε
od nějakého n2 platí d(xkn,x)<ε
jako n0 vezmeme to větší z nich, od něj pak platí d(xn,x)≤d(xn,xkn)+d(xkn,x)<2ε
v případě jedné proměnné existence totálního diferenciálu a derivace je totéž
tvrzení ekvivalentní s existencí standardní derivace
existuje μ konvergující k 0 při h→0 a A takové, že f(x+h)−f(x)=Ah+∣h∣⋅μ(h)
geometrický pohled: f(x+h)−f(x)=Ah vyjadřuje tečnu ke grafu funkce v bodě (x,f(x))
aproximační pohled: ∣h∣⋅μ(h) je jakási malá chyba při aproximaci funkce f v okolí bodu x jako lineární funkce v h
parciální derivace vyjadřují směry dvou tečných přímek – my chceme tečnou rovinu (tu dostaneme z totálního diferenciálu)
pro x∈En definujme ∥x∥=maxi∣xi∣
funkce f má totální diferenciál v bodě a, existuje-li funkce μ spojitá v okolí U bodu o taková, že μ(o)=0, a čísla A1,…,An, pro která f(a+h)−f(a)=∑k=1nAkhk+∥h∥μ(h)
pomocí skalárního součinu také f(a+h)−f(a)=⟨A∣h⟩+∥h∥μ(h)
tvrzení: nechť má funkce f totální diferenciál v bodě a, potom je spojitá v a a má všechny parciální derivace v a s hodnotami ∂xk∂f(a)=Ak
důkaz spojitosti
chceme limx→yf(x)=f(y), tedy limx→yf(x)−f(y)=0
dosadíme do rovnice totálního diferenciálu (a+h … x, a … y)
∣f(x)−f(y)∣≤∣A(x−y)∣+∣μ(x−y)∣⋅∥x−y∥
limita ∣A(x−y)∣+∣μ(x−y)∣⋅∥x−y∥ pro x→y je rovna nule
důkaz hodnot parciálních derivací
z rovnice totálního diferenciálu máme hf(x1,…,xk−1,xk+h,xk+1,…,xn)−f(x1,…,xn)=Ak+h∥(0,…,h,…,0)∥⋅μ((0,…,h,…,0))
limita pravé strany je zjevně Ak
Věta: Spojité parciální derivace a totální diferenciál
věta: nechť má f spojité parciální derivace v okolí bodu a, potom má v bodě a totální diferenciál
tady vycházíme z tvrzení o hodnotách parciálních derivací
důsledek – řetězové pravidlo
nechť má f(x) totální diferenciál v bodě a
pro k=1,…,n
nechť mají funkce gk(t1,…,tr) parciální derivace v b=(b1,…,br)
nechť je gk(b)=ak
potom má funkce (f∘g)(t1,…,tr)=f(g(t))=f(g1(t),…,gn(t)) všechny parciální derivace v b a platí ∂tj∂(f∘g)(b)=∑k=1n∂xk∂f(a)⋅∂tj∂gk(b)
Věta: Lagrangeova formule
definice: podmnožina U⊆En je konvexní, jestliže x,y∈U⟹(∀t,0≤t≤1)((1−t)x+ty=x+t(y−x)∈U)
tzn. úsečka mezi libovolnými dvěma body x,y∈U bude celá v U
Lagrangeova věta v jedné proměnné: nechť f je spojitá na intervalu [a,b] a má na (a,b) derivaci, pak existuje bod c∈(a,b) takový, že platí f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)
Lagrangeova věta ve více proměnných
nechť má f spojité parciální derivace v konvexní otevřené množině U⊆En
potom pro libovolné dva vrcholy x,y∈D existuje θ,0≤θ≤1, takové, že f(y)−f(x)=∑j=1n∂xj∂f(x+θ(y−x))(yj−xj)
nebo ekvivalentně f(y)−f(x)=∇f(c)(y−x), kde c=x+θ(y−x)
alternativní tvar (kde y=x+h): f(x+h)−f(x)=∑∂xj∂f(x+θh)hj
důkaz
položme
F(t)=f(x+t(y−x))
gj(t)=xj+t(yj−xj)
potom F(t)=(f∘g)(t)=f(x+t(y−x))
tudíž F′(t)=∑j=1n∂xj∂f(g(t))gj′(t)=∑j=1n∂xj∂f(g(t))(yj−xj)
podle klasické Lagrangeovy věty ∃θ:0≤θ≤1 a díky tomu, že f(x)=F(0) a f(y)=F(1), dostáváme f(y)−f(x)=F(1)−F(0)=F′(θ)(1−0)=F′(θ)
Definice: Parciální derivace vyšších řádů
když derivujeme parciální derivaci (prvního řádu), dostaneme parciální derivaci druhého řádu (apod.)
∂x∂y∂z∂3f(x,y,z) a ∂x∂x∂x∂3f(x,y,z) jsou parciální derivace třetího řádu
Věta: Záměnnost u parciálních derivací vyšších řádů
tvrzení
buď f(x,y) funkce taková, že parciální derivace ∂x∂y∂2f a ∂y∂x∂2f jsou definovány a jsou spojité v nějakém okolí bodu (x,y)
potom máme ∂x∂y∂2f(x,y)=∂y∂x∂2f(x,y)
důkaz
uvažujme funkci F(h)=h2f(x+h,y+h)−f(x,y+h)−f(x+h,y)+f(x,y)
položíme
φh(y)=f(x+h,y)−f(x,y)
ψh(x)=f(x,y+h)−f(x,y)
pak dostaneme pro F(h) dva výrazy
F(h)=h21(φh(y+h)−φh(y))
F(h)=h21(ψh(x+h)−ψh(x))
φh má derivaci φh′(y)=∂y∂f(x+h,y)−∂y∂f(x,y)
F(h)=h21(φh(y+h)−φh(y))=h1φh′(y+θ1h)
podle Lagrangeovy věty (viz alternativní tvar)
tedy F(h)=h1(∂y∂f(x+h,y+θ1h)−∂y∂f(x,y+θ1h))
znova použijeme Lagrangeovu větu a dostaneme F(h)=∂x∂(∂y∂f(x+θ2h,y+θ1h))
kde θ1,θ2 jsou mezi 0 a 1
podobně z vyjádření F(h) pomocí ψh dostaneme F(h)=∂y∂(∂x∂f(x+θ4h,y+θ3h))
limh→0F(h)=∂x∂y∂2f(x,y)=∂y∂x∂2f(x,y)
iterováním výměn z tohoto tvrzení dostaneme následující důsledek:
nechť má funkce f v n proměnných spojité parciální derivace do řádu k
potom hodnoty těchto derivací záleží jen na tom, kolikrát bylo derivováno v každé z individuálních proměnných x1,…,xn
jsou dány spojité reálné funkce Fi(x1,…,xm,y1,…,yn) v m+n proměnných pro i=1,…,n
pokoušíme se řešit soustavu n rovnic Fi(…)=0 v n neznámých yi
parametry xi se stanou proměnnými, takže očekáváme řešení jako funkce fi≡yi(x1,…,xm)
kde mohou být potíže? uvažujme x2+y2=1
pro x0<−1 řešení F(x0,y)=0 vůbec neexistuje
abychom mohli mluvit o funkci, potřebujeme „okénko“ kolem řešení (x0,y0) vymezující kromě okolí x0 i y0
pro x0=1 nelze nalézt okénko, kde by y bylo jednoznačné
v případě jedné rovnice F(x,y)=0 žádné jiné potíže nenastanou
Věta: Nejjednodušší případ F(x,y)=0, role ∂y∂F
věta
buď F(x,y) reálná funkce ve 2 proměnných definovaná v nějakém okolí bodu (x0,y0)
nechť má F spojité parciální derivace do řádu k≥1 a nechť je F(x0,y0)=0 a ∂y∂F(x0,y0)=0
potom existují δ>0 a Δ>0 takové, že ke každému x∈(x0−δ,x0+δ) existuje právě jedno y∈(y0−Δ,y0+Δ) splňující F(x,y)=0
dále, označíme-li toto jediné y jako y=f(x), potom získaná f:(x0−δ,x0+δ)→R má spojité derivace do řádu k
důkaz
buď třeba ∂y∂F(x0,y0)>0
vzhledem ke spojitosti existují δ1,Δ>0 taková, že v obdélníku ⟨x0−δ1,x0+δ1⟩×⟨y0−Δ,y0+Δ⟩ je ∂y∂F(x,y) stále kladná
tento obdélník je kompaktní, tedy na něm spojité funkce nabývají extrémů a tudíž existují a,K>0 taková, že ∂y∂F(x,y)>a a ∂x∂F(x,y)<K
zvlášť dokážeme existenci funkce f a její vlastnosti
existence funkce f
pro pevné x∈(x0−δ1,x0+δ1) definujme funkci φx na y∈(y0−Δ,y0+Δ) předpisem φx(y)=F(x,y)
tak jsme dostali funkci jedné proměnné
její derivace je kladná
protože φx′(y)=∂y∂F(x,y)>0
takže φx na intervalu roste
proto φx0(y0−Δ)<φx0(y0)<φx0(y0+Δ)
z F(x0,y0) víme, že φx0(y0)=0
tedy φx0(y0−Δ)<0<φx0(y0+Δ)
funkce dvou proměnných F je spojitá, a tedy pro nějaké δ,0<δ≤δ1:
∀x∈(x0−δ,x0+δ):φx(y0−Δ)<0<φx(y0+Δ)
funkce φx roste, tudíž je prostá, takže existuje právě jedno y∈(y0−Δ,y0+Δ) takové, že φx(y)=0 (tj. F(x,y)=0)
označme toto y jako f(x)
vlastnosti funkce f
0=F(x+h,f(x+h))−F(x,f(x))=
protože ∀t:F(t,f(t))=0
=F(x+h,f(x)+(f(x+h)−f(x)))−F(x,f(x))=
použijeme Lagrangeovu větu pro h=(h,f(x+h)−f(x))
=∂x∂F(x+θh,f(x)+θ(f(x+h)−f(x)))⋅h+
+∂y∂F(x+θh,f(x)+θ(f(x+h)−f(x)))⋅(f(x+h)−f(x))
upravíme na f(x+h)−f(x)=−h⋅∂y∂F(…)∂x∂F(…)
podle odvozených vlastností platí ∣f(x+h)−f(x)∣<∣h∣⋅aK
f je tedy spojitá v bodě x
dále zjevně limh→0hf(x+h)−f(x)=−∂y∂F(x,f(x))∂x∂F(x,f(x))
tudíž f′(t)=−∂y∂F(t,f(t))∂x∂F(t,f(t))
tuto formuli můžeme derivovat tak dlouho, jak to existence parciálních derivací na pravé straně dovolí
stejnou úvahou se ukáže věta pro funkci v m+1 proměnných
Příklad: Substituční metoda aspoň pro dvě rovnice
uvažujme dvojici rovnic (x může být vektor)
F1(x,y1,y2)=0
F2(x,y1,y2)=0
hledáme dvě řešení v okolí bodu (x0,y10,y20)
na druhou rovnici aplikujeme větu o jedné rovnici pro y2, dostaneme y2 jako funkci ψ(x,y1)
substituujeme do první rovnice, dostaneme G(x,y1)=F1(x,y1,ψ(x,y1))=0
řešení y1=f1(x) v nějakém okolí bodu (x0,y10) může být substituováno do ψ a získáme y1=f2(x)=ψ(x,f1(x))
co jsme všechno předpokládali
spojité parciální derivace funkcí Fi
∂y2∂F2(x0,y10,y20)=0, abychom získali ψ
∂y1∂G(x0,y10)=∂y1∂F1+∂y2∂F1∂y1∂ψ=0
to vyplývá z řetízkového pravidla
pomocí formule f′(t)=−∂y∂F(t,f(t))∂x∂F(t,f(t)) dostaneme z této rovnice nakonec vzorec pro determinant – konkrétně pro Jacobián, který má být nenulový
to stačí – druhý předpoklad vyplývá z nenulovosti Jacobiánu
Definice: Jacobián a jeho role
pro konečnou posloupnost funkcí F1(x,y),…,Fm(x,y) a pro y=(y1,…,ym) se definuje Jacobiho determinant (Jacobián) D(y)D(F)=det(∂yj∂Fi)i,j=1,…,m
u implicitních funkcí budeme požadovat nenulovost Jacobiánu
geometrický význam: Jacobián určuje, jak vektorová funkce při transformaci oblasti na natahuje nebo stlačuje objemy malých kousků oblasti okolo v poměru (absolutní hodnoty) Jacobiánu
Věta: Obecná věta, porozumění tomu, co se děje
věta
buďte Fi(x1,…,xn,y1,…,ym),i=1,…,m, funkce n+m proměnných se spojitými parciálními derivacemi do řádu k≥1
buď F(x0,y0)=o a D(y)D(F)(x0,y0)=0
potom existují δ>0 a Δ>0 takové, že pro každé x∈(x10−δ,x10+δ)×⋯×(xn0−δ,xn0+δ) existuje právě jedno y∈(y10−Δ,y10+Δ)×⋯×(ym0−Δ,ym0+Δ) takové, že F(x,y)=o
píšeme-li toto y jako vektorovou funkci f(x)=(f1(x),…,fm(x)), mají fi spojité parciální derivace do řádu k
důkaz: v podstatě stačí kroky výše – ukázali jsme, jak pomocí substituce přejít od úlohy s n+1 rovnicemi k úloze s n rovnicemi a jak se při tom podmínka o Jacobiánu v dimenzi n+1 přemění na podmínku o Jacobiánu v dimenzi n (pak už je třeba jenom diskutovat, jak vhodně nahradit rozměry oken, tedy δ,Δ)
Věta: Aplikace – lokální extrémy, věta o vázaných extrémech, jak se používá
uvažujeme body, v nichž jsou všechny parciální derivace nulové, a body na okraji zkoumané oblasti (ale těch je nekonečně mnoho)
když hledáme extrémy funkce f(x1,…,xn), okraj oblasti vyjádříme podmínkami gi(x1,…,xn) pro i=1,…,k
pak hledáme extrémy na množině určené podmínkami – tedy jde o vázané extrémy
věta
buďte f,g1,…,gk reálné funkce definované na otevřené množině D⊆En
nechť mají spojité parciální derivace
nechť je hodnost matice M maximální, tedy k, v každém bodě oboru D
kde Mij=∂xj∂gi (tedy řádky odpovídají funkcím gi, sloupce proměnným xj)
jestliže funkce f nabývá v bodě a lokálního extrému podmíněného vazbami gi(x1,…,xn)=0 pro i=1,…,k, pak existují čísla λ1,…,λk taková, že pro každé i=1,…,n platí ∂xi∂f(a)+∑j=1kλj⋅∂xi∂gj(a)=0
důkaz
z lineární algebry víme, že matice M má hodnost ≥k, právě když aspoň jedna její k×k podmatice je regulární (má nenulový determinant)
M má k řádků a n sloupců, kde n bude typicky (možná vždy?) větší než k
v matici M máme tedy čtvercovou matici nalevo regulární, tedy její determinant je nenulový
pro jednoduchost uvažujeme přečíslování souřadnic, aby to vyšlo hezky na první až k-tý sloupec matice
soustava rovnic ∀i:gi(x)=0 pro neznámé funkce x1,…,xk, v níž parametry xk+1,…,xn budou proměnnými, tedy splňuje předpoklady věty o implicitních funkcích a v okolí bodu a dává funkce ϕi(xk+1,…,xn) se spojitými parciálními derivacemi takové, že ∀gi(ϕ1(x~),…,ϕk(x~),x~)=0, kde x~=(xk+1,…,xn)
tedy lokální extrém funkce f(x) v a podmíněný danými vazbami se mění na lokální extrém (nepodmíněné) funkce F(x~)=f(ϕ1(x~),…,ϕk(x~),x~) v a~
musí tedy platit ∂xi∂F(a~)=0 pro i=k+1,…,n
(1) tj. podle řetízkového pravidla ∑r=1k∂xr∂f(a)⋅∂xi∂ϕr(a~)+∂xi∂f(a)=0 pro i=k+1,…,n
(2) po derivaci konstantní gi(ϕ1(x~),…,ϕk(x~),x~)=0 dostaneme pro j=1,…,k:∑r=1k∂xr∂gj(a)⋅∂xi∂ϕr(a~)+∂xi∂gj(a)=0 pro i=k+1,…,n
poznámka: tenhle krok nenavazuje na ten předchozí
užijeme znovu nenulový determinant – následující systém lineárních rovnic má nutně jediné řešení λ1,…,λk:
∂xi∂f(a)+∑j=1kλj⋅∂xi∂gj(a)=0 pro i=1,…,k
takhle jsme použili pouze prvních k z n rovnic, teď ještě musíme dokázat, že takto určená λi vyhovují i ostatním n−k rovnicím
použijeme (1) a (2), první rovnost je oba kombinuje, navíc (2) sčítá přes všechna j
tudíž S(f,P)−s(f,P)=∑(Mj−mj)(tj−tj−1)≤b−aε∑(tj−tj−1)=
=b−aε(b−a)=ε
ve více proměnných uvažujeme kompaktní interval, takže je funkce rovnou stejnoměrně spojitá (což potřebujeme)
Věta: Základní věta analýzy, Riemannův integrál a primitivní funkce
integrální věta o střední hodnotě: buď f:⟨a,b⟩→R spojitá, potom existuje c∈⟨a,b⟩ takové, že ∫abf(x)dx=f(c)(b−a)
důkaz
položme m,M jako minimum a maximum z funkčních hodnot na intervalu
zjevně m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
tedy existuje K takové, že m≤K≤M a ∫abf(x)dx=K(b−a)
ze spojitosti f vyplývá, že existuje c∈⟨a,b⟩ takové, že K=f(c)
pozorování: pro a<b<c:∫abf+∫bcf=∫acf
základní věta analýzy
buď f:⟨a,b⟩→R spojitá
pro x∈⟨a,b⟩ definujme F(x)=∫axf(t)dt
potom je F′(x)=f(x)
důkaz
uvažujme h=0
h1(F(x+h)−F(x))=h1(∫ax+hf−∫axf)=h1∫xx+hf=
=h1f(x+θh)h=f(x+θh)
kde 0<θ<1
ve druhé úpravě jsme použili pozorování, ve třetí integrální větu o střední hodnotě
f je spojitá, proto limh→0h1(F(x+h)−F(x))=limh→0f(x+θh)=f(x)
důsledek
buď f:⟨a,b⟩→R spojitá
potom má primitivní funkci na (a,b) spojitou na ⟨a,b⟩
je-li G primitivní funkce f na (a,b) spojitá na ⟨a,b⟩, potom je ∫abf(t)dt=G(b)−G(a)
Riemannův integrál ve více proměnných
Definice: Až do existence pro spojité funkce zcela analogické s jednou proměnnou
stačí pochopit podrozdělení jako rozklad na systém cihliček
cihla … kompaktní interval v En, vypadá takto: J=⟨a1,b1⟩×⋯×⟨an,bn⟩
rozdělení cihly J je posloupnost, jejímiž prvky jsou rozdělení jednotlivých intervalů
tak jsou určeny menší intervaly, těm říkáme cihly rozdělení
množina všech cihel rozdělení B(P) je soustava tvořící rozklad intervalu J na skoro disjunktní sjednocení
pozorování: vol(J)=∑{vol(B)∣B∈B(J)}
diametr intervalu J … diam(J)=maxi(bi−ai)
jemnost rozdělení P … μ(P)=max{diam(B)∣B∈B(P)}
zjemnění je pak dodefinováno pomocí zjemnění jednotlivých intervalů v posloupnosti
každá dvě rozdělení P,Qn-rozměrného kompaktního intervalu J mají společné zjemnění
Riemannův integrál funkce přes J značíme ∫Jf(x)dx
většina vět je stejná jako v jedné proměnné
akorát nemáme protějšek základní věty analýzy, zejména pak její důsledek, že známe-li primitivní funkci G funkce f, můžeme Riemannův integrál funkce f počítat jako ∫abf(t)dt=G(b)−G(a)
místo toho budeme vícerozměrný Riemannův integrál počítat postupnými výpočty po jednotlivých souřadnicích (podle Fubiniovy věty)
zejména praktická informace, že smíme počítat jako s Riemannovým integrálem plus pravidlo ∫limfn=lim∫fn pro stejně omezené fn
několik Lebesgueovských pravidel
je-li Jn-dimenzionální interval a jestliže Riemannův integrál ∫Jf existuje, potom Lebesgueův integrál je stejný
jestliže ∫Dnf existuje pro n=1,2,…, potom existuje též ∫∪Dnf
jestliže ∫Dfn existuje a posloupnost (fn)n je monotónní, potom je ∫Dlimnfn=limn∫Dfn
jestliže ∫Dfn existuje a ∣fn∣≤g pro nějakou g, pro kterou ∫Dg existuje a je konečný, potom ∫Dlimnfn=limn∫Dfn
buď U okolí bodu t0 a buď g taková, že ∫Dg existuje a ∫Df(t,x)dx existují a ∣f(t,x)∣≤g(x) pro všechna t∈U∖{t0}, potom je ∫Df(t0,x)dx=limt→t0∫Df(t,x)dx
jestliže pro integrabilní g platí ∂t∂f(t,x)≤g(x) a jestliže v nějakém okolí U bodu t0 všechny symboly v následující formuli dávají smysl, potom ∫D∂t∂f(t0,−)=dtd∫Df(t0,−)
nejdůležitější pravidlo: ∫limfn=lim∫fn, je-li ∣fn(x)∣≤K pro nějaké pevné K
je speciální případem pravidla (4)
princip Lebesgueova integrálu
Lebesgueův integrál je založen na spočetných součtech
tedy předpokládá, že pro posloupnost disjunktních množin An⊆Ek platí vol(⋃n=1∞An)=∑n=1∞vol(An)
Příklad: Co se dá udělat s kompaktními obory hodnot které nejsou intervaly
Tietzova věta (bez důkazu): buď Y uzavřený podprostor metrického prostoru (X,d), potom každá spojitá funkce f:Y→⟨a,b⟩ se dá rozšířit na spojitou g:X→⟨a,b⟩
pro Lebesgueův integrál platí ∫limfn=lim∫fn, je-li ∣fn(x)∣≤K pro nějaké pevné K
co dělat s kompaktním oborem hodnot, který není cihla
mějme kompaktní D⊆En
D vložíme do cihly J
f rozšíříme nulovými hodnotami na J∖D
tak dostaneme funkci g
není jasné, zda má funkce g Riemannův integrál, protože nemusí být spojitá
tedy použijeme Tietzovu větu a Lebesgueův integrál
definujme Jn={x∈J∣d(x,D)≥n1}
mějme podprostor D∪Jn uzavřený v J
na D∪Jn definujme gn′ jako 0 na Jn a jako f na D
to je spojitá funkce, podle Tietzeovy věty ji můžeme rozšířit na stejně omezenou gn na J
zjevně limgn=g
tady se nám hodí Lebesgueův integrál
Příklad: Substituce (jen intuitivně; role Jacobiánu)
substituce v jedné proměnné
mějme rostoucí funkci ϕ definovanou na okolí kompaktního intervalu ⟨a,b⟩
tedy výsledné pravidlo vypadá takto: ∫ϕ(a)ϕ(b)f(x)dx=∫abf(ϕ(x))ϕ′(x)dx
geometrická interpretace
rostoucí funkce ϕ popisuje deformaci intervalu ⟨a,b⟩, která natahuje nebo smršťuje malé intervaly ⟨x,x+h⟩ v poměru přibližně ϕ′(x)
integrál funkce f chápeme jako součet objemů tenkých obdélníků o stranách h a f(x)
sčítaný obdélník v integrálu před deformací ⟨x,x+h⟩ bude odpovídat obdélníku s délkou základny h⋅ϕ′(x)
násobení ϕ′(x) tedy zajišťuje jakousi kompenzaci
substituce ve více proměnných
buď U otevřené okolí kompaktní množiny D⊆En
buď ϕ:U→En regulární zobrazení
potom pro (dejme tomu spojitou) funkci f máme ∫ϕ[D]f=∫Df(ϕ(x))D(x)D(ϕ)dx
kde D(x)D(ϕ) je Jacobián
krychlička ⟨x1,x1+h⟩×⋯×⟨xn,xn+h⟩ o objemu hn bude deformována na rovnoběžnostěn definovaný vektory ϕ(x)+h⋅(∂x1∂ϕi(x),…,∂xn∂ϕi(x)) (pro i=1,…,n), jehož objem je hn⋅D(x)D(ϕ(x))
absolutní hodnota Jacobiánu tedy hraje tutéž kompenzační roli jako hodnota ϕ′(x) v případě jedné proměnné