Zkouška: kartičky | matematicka-analyza2

Metrické prostory

Definice: Metrický prostor, příklady, $\mathbb E_n$

metrický prostor je uspořádaná dvojice $(X,d)$ $(X, d)$ , kde $X$ $X$ je množina a $d:X\times X\to\mathbb R$ $d : X \times X \to R$ je funkce, pro níž platí ( $\forall x,y,z\in X$ $\forall x, y, z \in X$ )
- $d(x,y)\geq 0$
- $d(x,y)=0\iff x=y$
- $d(x,y)=d(y,x)$
- $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ … trojúhelníková nerovnost
příklady
- $(\mathbb R,|x-y|)$
- $(\mathbb C,|x-y|)$
- euklidovský prostor $\mathbb E_n$ $E_{n}$ je metrický prostor $(\mathbb R^n,d)$ $(R^{n}, d)$ , kde $d(x,y)=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}$ $d (x, y) = \sum_{i} (x_{i} - y_{i})^{2}$
  - tzn. $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$ , kde $\lVert u\rVert=\sqrt{\braket{u|u}}$
- diskrétní prostor $(X,d)$ , kde $d(x,y)=1$ pro $x\neq y$
- prostor funkcí $(F(a,b),d)$ $(F (a, b), d)$
  - $F(a,b)$ … množina všech omezených funkcí na intervalu $\braket{a,b}$
  - $d(f,g)=\sup\Set{|f(x)-g(x)|\mid a\leq x\leq b}$

Metrické prostory

Definice: Podprostor metrického prostoru

mějme $(X,d)$ metrický prostor a podmnožinu $Y\subseteq X$
tato podmnožina tvoří podprostor $(Y,d')$ , kde $d'(x,y)=d(x,y)$

Metrické prostory

Definice: Spojité zobrazení, konvergence

zobrazení $f:(X,d)\to (Y,d')$ $f : (X, d) \to (Y, d^{'})$ je spojité, platí-li $(\forall x,y\in X)(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists\delta\gt 0):d(x,y)\lt\delta\implies d'(f(x),f(y))\lt\varepsilon$ $(\forall x, y \in X) (\forall ε > 0) (\exists δ > 0) : d (x, y) < δ ⟹ d^{'} (f (x), f (y)) < ε$
- složení spojitých zobrazení je spojité
pro posloupnost $(x_n)_n$ $(x_{n})_{n}$ definujeme $\lim_n x_n=x$ $lim_{n} x_{n} = x$ takto: $(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists n_0):n\geq n_0\implies d(x,x_n)\lt\varepsilon$ $(\forall ε > 0) (\exists n_{0}) : n \geq n_{0} ⟹ d (x, x_{n}) < ε$
- pokud limita existuje, jde o konvergentní posloupnost

Metrické prostory

Věta: Spojitost a konvergence

věta: zobrazení $f:(X_1,d_1)\to (X_2,d_2)$ je spojité, právě když pro každou konvergentní posloupnost $(x_n)_n$ v $(X_1,d_1)$ posloupnost $(f(x_n))_n$ konverguje v $(X_2,d_2)$ a platí $\lim_nf(x_n)=f(\lim_nx_n)$
důkaz
- $\implies$ $⟹$
  - mějme $f$ spojitou a konvergentní posloupnost $(x_n)_n$ , kde $\lim_n x_n=x$
  - ze spojitosti můžeme pro $\varepsilon\gt 0$ zvolit $\delta\gt0$ tak, aby $d_1(x,y)\lt\delta\implies d_2(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
  - podle konvergence existuje $n_0$ takové, že pro $n\geq n_0$ je $d_1(x_n,x)\lt\delta$
  - tedy pro $n\geq n_0$ máme $d_2(f(x_n),f(x))\lt\varepsilon$
  - tudíž $\lim_nf(x_n)=f(\lim_nx_n)$
- $\impliedby$ $⟸$ obměnou
  - nechť $f$ není spojitá
  - tzn. $(\exists x\in X_1)(\exists\varepsilon_0\gt 0)(\forall\delta\gt 0)(\exists x(\delta)):$ $d_1(x,x(\delta))\lt\delta\land d_2(f(x),f(x(\delta)))\geq\varepsilon_0$
  - položme $x_n=x(\frac1n)$
  - pak $\lim_nx_n=x$ , ale $(f(x_n))_n$ nemůže konvergovat k $f(x)$

Metrické prostory

Definice: Okolí, otevřené a uzavřené množiny

epsilonové okolí … $\Omega(x,\varepsilon)=\set{y\mid d(x,y)\lt\varepsilon}$
obecné okolí $U$ $U$ bodu $x$ $x$ je taková podmnožina, že existuje $\varepsilon\gt0$ $ε > 0$ takové, že $\Omega(x,\varepsilon)\subseteq U$ $Ω (x, ε) \subseteq U$
- nadmnožina okolí je okolí
- průnik dvou okolí je okolí
$U\subseteq(X,d)$ $U \subseteq (X, d)$ je otevřená, je-li okolím každého svého bodu
- $\emptyset$ a $X$ jsou otevřené
- sjednocení otevřených množin je otevřené
- průnik dvou otevřených množin je otevřený
$A\subseteq(X,d)$ je uzavřená v $(X,d)$ , jestliže každá posloupnost $(x_n)_n\subseteq A$ konvergentní v $X$ má $\lim_n x_n\in A$
nejde o dichotomii
tvrzení: $A\subseteq (X,d)$ $A \subseteq (X, d)$ je uzavřená v $(X,d)$ $(X, d)$ , právě když $X\setminus A$ $X ∖ A$ je otevřená
- když $X\setminus A$ není otevřená (má nějaký „problémový bod“ $x$ , jehož libovolně malé epsilonové okolí není celé v $X\setminus A$ ), tak se dá najít posloupnost v $A$ s limitou v $x\notin A$
- když $X\setminus A$ je otevřená a kdyby existovala posloupnost v $A$ s limitou v $x\notin A$ , tak epsilonové okolí $x$ není v $A$ , tedy pro dost velké $n$ se prvky posloupnosti musí dostat mimo $A$ , což je spor

Metrické prostory

Definice: Uzávěr

vzdálenost bodu od množiny
- $d(x,A)=\inf\set{d(x,a)\mid a\in A}$
uzávěr množiny $A$ $A$
- $\overline A=\set{x\mid d(x,A)=0}$
uzávěr je množina všech limit konvergentních posloupností v dané množině
uzávěr je uzavřená množina (dokonce nejmenší uzavřená množina obsahující původní množinu)

Metrické prostory

Věta: Spojitost a vzory otevřených a uzavřených podmnožin

věta
- mějme metrické prostory $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ a zobrazení $f:X_1\to X_2$
- potom jsou následující tvrzení ekvivalentní
  1. $f$ je spojité
  2. pro každý bod $x\in X_1$ a každé okolí $V$ bodu $f(x)$ existuje okolí $U$ bodu $x$ takové, že $f[U]\subseteq V$
  3. pro každou otevřenou $U$ v $X_2$ je vzor $f^{-1}[U]$ otevřený v $X_1$
  4. pro každou uzavřenou $A$ v $X_2$ je vzor $f^{-1}[A]$ uzavřený v $X_1$
  5. pro každou $A\subseteq X_1$ je $f[\overline A]\subseteq\overline{f[A]}$
důkaz
- $1.\iff2.$ $1. ⟺ 2.$
  - definice spojitosti říká, že ke každému okolí $\Omega(f(x),\varepsilon)$ existuje okolí $\Omega(x,\delta)$ takové, že $f[\Omega(x,\delta)]\subseteq\Omega(f(x),\varepsilon)$
  - dále rozšíříme na obecné okolí
- $2.\implies 3.$ $2. ⟹ 3.$
  - máme otevřenou množinu $V$
  - máme $x\in f^{-1}[V]$ , tedy $f(x)\in V$ , kde $V$ je okolí $f(x)$
  - existuje $U$ okolí $x$ takové, že $f[U]\subseteq V$
  - $U\subseteq f^{-1}f[U]\subseteq f^{-1}[V]$
  - takže $f^{-1}[V]$ je okolí $x$
  - otevřenost plyne z toho, že to platí pro všechny $f(x)\in V$ (respektive $x\in f^{-1}[V]$ )
- $3.\iff 4.$ $3. ⟺ 4.$
  - vzorové zobrazení $M\mapsto f^{-1}[M]$ zachovává doplňky podmnožin
- $4.\implies 5.$ $4. ⟹ 5.$
  - $\overline M\subseteq f^{-1}[\overline{f[M]}]$ (vzor uzávěru je uzavřený)
  - $f[\overline M]\subseteq\overline{f[M]}$
- $5.\implies 2.$ $5. ⟹ 2.$
  - použijeme to, že vzor zachovává doplňky

Metrické prostory

Definice: Topologické pojmy

vzájemně jednoznačné spojité zobrazení $f:(X_1,d_1)\to(X_2,d_2)$ takové, že i inverzní $f^{-1}$ je spojité, se nazývá homeomorfismus a o $X_1,X_2$ mluvíme jako o homeomorfních prostorech
vlastnost, pojem nebo definice je topologická, zachovává-li se při homeomorfismech
příklady topologických vlastností a pojmů: konvergence, otevřenost a uzavřenost, uzávěr, okolí, spojitost (stejnoměrná nikoliv)

Metrické prostory

Definice: Ekvivalentní a silně ekvivalentní metriky; silně ekvivalentní metriky v $\mathbb E_n$

$d_1,d_2$ jsou ekvivalentní, pokud je zobrazení $(X,d_1)\to(X,d_2)$ homeomorfismus
$d_1,d_2$ jsou silně ekvivalentní, existují-li kladné konstanty $\alpha,\beta$ takové, že $\alpha\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq\beta\cdot d_1(x,y)$
silně ekvivalentní metriky v $\mathbb E_n$ $E_{n}$
- $d(x,y)=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}$
- $\sigma(x,y)=\max_i{|x_i-y_i|}$
důkaz silné ekvivalence $d$ $d$ a $\sigma$ $σ$
- triviálně $\sigma\leq d$ … stačí vzít největší sčítanec pod odmocninou
- nahrazením všech sčítanců tím největším získáme $d(x,y)\leq\sqrt n\cdot\sigma(x,y)$

Metrické prostory

Definice: Stejnoměrná spojitost

zobrazení $f:(X,d)\to(Y,d')$ $f : (X, d) \to (Y, d^{'})$ je stejnoměrně spojité, pokud…
- $(\forall\varepsilon)(\exists\delta)(\forall x)(\forall y):d(x,y)\lt\delta\implies d'(f(x),f(y))\lt\varepsilon$
rozdíl vůči (klasické) spojitosti spočívá v pořadí kvantifikátorů – u spojitosti je to $(\forall x)(\forall y)(\forall\varepsilon)(\exists\delta)$
např. $f(x)=x^2$ je spojitá funkce, ale není stejnoměrně spojitá

Metrické prostory

Věta: Součiny a projekce

pro $(X_i,d_i),\,i=1,\dots,n$ definujme na kartézském součinu $\prod_{i=1}^n X_i$ vzdálenost $d(x,y)=\max_id_i(x_i,y_i)$
takto získaný prostor $(\prod_iX_i,d)=\prod_i(X_i,d_i)$ nazýváme součinem prostorů $(X_i,d_i)$
věta
1. $\forall j\in\set{1,\dots,n}$ projekce $p_j:\prod_i(X_i,d_i)\to(X_j,d_j)$ , kde $p_j(x)=x_j$ , je spojité zobrazení
2. jsou-li $f_j:(Y,d')\to(X_j,d_j)$ libovolná spojitá zobrazení, potom jednoznačně určené zobrazení $f:(Y,d')\to\prod_i(X_i,d_i)$ splňující $p_j\circ f=f_j$ , totiž zobrazení definované předpisem $f(y)=(f_1(y),\dots,f_n(y))$ , je spojité
důkaz
1. zjevně $\sigma(x_j,y_j)\leq\sigma((x_1,\dots,x_j,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_j,\dots,y_n))$
2. plyne z použití zde zadefinované metriky $d(x,y)$

Kompaktní prostory

Věta: Kompaktní prostor, podprostor, součin

definice: metrický prostor $(X,d)$ je kompaktní, obsahuje-li v něm každá posloupnost konvergentní podposloupnost
tvrzení: podprostor kompaktního prostoru je kompaktní, právě když je uzavřený
- mějme posloupnost v uzavřeném podprostoru, tato posloupnost má podposloupnost s limitou v kompaktním prostoru – z uzavřenosti tato limita musí být v podprostoru
- mějme posloupnost v otevřeném podprostoru, ta má limitu mimo podprostor – každá její podposloupnost má tu stejnou limitu mimo podprostor, tedy daná posloupnost není konvergentní v podprostoru
tvrzení: je-li podprostor $Y$ $Y$ metrického prostoru $(X,d)$ $(X, d)$ kompaktní, pak je $Y$ $Y$ uzavřený v $(X,d)$ $(X, d)$
- mějme posloupnost v kompaktním podprostoru, která konverguje k $y\in X$ , potom každá její podposloupnost konverguje k $y$ , tudíž musí být $y\in Y$
definice: metrický prostor $(X,d)$ je omezený, jestliže pro nějaké $K$ platí $\forall x,y\in X:d(x,y)\lt K$
tvrzení: každý kompaktní prostor je omezený
- posloupnost $(x_n)_n$ , kde $d(x_0,x_n)\gt n$ , nemá žádnou omezenou podposloupnost, tedy nemá konvergentní podposloupnost (neboť ta je vždy omezená), což je spor
věta: součin konečně mnoha kompaktních prostorů je kompaktní
důkaz – stačí pro součin dvou prostorů
- mějme posloupnost $((x_n,y_n))_n$ v $X\times Y$
- zvolíme konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})_n$ posloupnosti $(x_n)_n$ a konvergentní podposloupnost $(y_{k_{l_n}})_n$ posloupnosti $(y_{k_n})$
- pak je posloupnost $((x_{k_{l_n}},y_{k_{l_n}}))_n$ zjevně konvergentní podposloupností původní posloupnosti

Kompaktní prostory

Věta: Kompaktní podprostory $\mathbb E_n$

věta: podprostor euklidovského prostoru $\mathbb E_n$ je kompaktní, právě když je omezený a uzavřený
důkaz
- již jsme dokázali, že kompaktnost implikuje uzavřenost a omezenost
- mějme $Y\subseteq\mathbb E_n$ omezený a uzavřený
- z omezenosti vyplývá, že pro dostatečně velký součin (uzavřených) intervalů $J$ $J$ platí $Y\subseteq J\subseteq\mathbb E_n$ $Y \subseteq J \subseteq E_{n}$
  - intervaly jsou kompaktní, jejich součin je taky kompaktní (viz věta výše)
- $Y$ je uzavřený v $\mathbb E_n$ , tedy je uzavřený i v $J$

Kompaktní prostory

Věta: Obraz kompaktního prostoru

tvrzení: buď $f:(X,d)\to(Y,d')$ spojité zobrazení a buď $A\subseteq X$ kompaktní, potom je $f[A]$ kompaktní
důkaz
- buď $(y_n)_n$ posloupnost v $f[A]$
- zvolme $x_n\in A$ , aby $y_n=f(x_n)$
- posloupnost $(x_n)_n$ má konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})_n$
- $(y_{k_n})_n=(f(x_{k_n}))_n$ je konvergentní podposloupnost posloupnosti $(y_n)_n$

Kompaktní prostory

Věta: Maxima a minima spojitých funkcí na kompaktních podmnožinách

tvrzení: buď $(X,d)$ kompaktní, potom každá spojitá funkce $f:(X,d)\to\mathbb R$ nabývá maxima i minima
důkaz
- podprostor $Y=f[X]\subseteq\mathbb R$ je kompaktní
- $Y$ je tedy omezená množina a musí mít supremum $a$ a infimum $b$
- zřejmě $d(a,Y)=d(b,Y)=0$
- $Y$ je uzavřená, proto $a,b\in Y$

Kompaktní prostory

Věta: Stejnoměrná spojitost v kompaktním kontextu

věta: buď $f:X\to Y$ spojité zobrazení, $X$ kompaktní, potom $f$ je stejnoměrně spojité
důkaz – obměnou (zobrazení není stejnoměrně spojité, pak není spojité)
- uvažujme epsilon takové, že pro každé delta existuje dvojice $x,y$ takové, že jsou si blíž než delta, ale $d(f(x),f(y))\geq\varepsilon$
- z dvojicí sestavíme posloupnosti $(x_n)_n$ a $(y_n)_n$ – obě mají konvergentní podposloupnosti, ty volíme tak, aby si odpovídaly (jako v důkazu kompaktnosti součinu), mají stejnou limitu
- limity funkčních hodnot se zjevně nerovnají (to je negace tvrzení ekvivalentnímu spojitosti zobrazení)
tvrzení: je-li $(X,d)$ kompaktní a je-li $f:(X,d)\to(Y,d')$ vzájemně jednoznačné spojité zobrazení, je to homeomorfismus

Kompaktní prostory

Věta: Cauchyovské posloupnosti a konvergence

definice: posloupnost $(x_n)_n$ v metrickém prostoru $(X,d)$ je Cauchyovská, jestliže $(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists n_0):m,n\geq n_0\implies d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
pozorování: každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská
tvrzení: má-li Cauchyovská posloupnost konvergentní podposloupnost, potom konverguje (k limitě té posloupnosti)
důkaz
- nechť $(x_n)_n$ je Cauchyovská a nechť $x$ je limita její konvergentní podposloupnosti $(x_{k_n})_n$
- od nějakého $n_1$ platí $d(x_m,x_n)\lt\varepsilon$
- od nějakého $n_2$ platí $d(x_{k_n},x)\lt\varepsilon$
- jako $n_0$ vezmeme to větší z nich, od něj pak platí $d(x_n,x)\leq d(x_n,x_{k_n})+d(x_{k_n},x)\lt 2\varepsilon$

Kompaktní prostory

Definice: Úplný prostor, kompaktnost implikuje úplnost

definice: metrický prostor $(X,d)$ je úplný, jestliže v něm každá Cauchyovská posloupnost $(X,d)$ konverguje
tvrzení: podprostor úplného prostoru je úplný, právě když je uzavřený
tvrzení: každý kompaktní prostor je úplný
- Cauchyovská posloupnost má z kompaktnosti konvergentní podposloupnost, a tedy konverguje (podle tvrzení výše)
věta: součin úplných prostorů je úplný; speciálně, $\mathbb E_n$ je úplný
důsledek: podprostor $Y$ euklidovského prostoru $\mathbb E_n$ je úplný, právě když je tam uzavřený

Reálné funkce více proměnných

Příklad: Proč se nemůžeme omezit na spojitost v jednotlivých proměnných

mějme funkci $f(x,y)=\begin{cases}\frac{(x-y)^2}{x^2+y^2}&\text{pro }(x,y)\neq(0,0)\\ 1&\text{pro }(x,y)=(0,0)\end{cases}$
pokud bychom $y$ vzali jako parametr a sledovali spojitost podle $x$ , funkce by byla spojitá – podobně pro $x$ jako parametr
ale $f(x,x)$ se vždy rovná 0, kdežto $f(0,0)=1$
nezajímá nás spojitost v jednotlivých proměnných – to jsou jen některé „procházky“ po hodnotách funkce, nás zajímají všechny takové „cesty“

Reálné funkce více proměnných

Definice: Reálné funkce a jejich definiční obory (vhodné podprostory $\mathbb E_n$ )

definice: reálná funkce v $n$ proměnných … $f:D\to\mathbb R,\;D\subseteq\mathbb E_n$
definiční obory jsou často poměrně složité množiny

Parciální derivace

Definice: Parciální derivace a jejich slabost (ani spojitost není implikována)

vezměme $\phi_k(t)=f(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n)$
parciální derivace funkce $f$ podle $x_k$ (v bodě $(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n)$ ) je derivace funkce $\phi_k$ (v bodě $t$ )
tzn. $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h}$
značíme $\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}$ nebo $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x_1,\dots,x_n)$
když $\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}$ existuje pro všechna $(x_1,\dots,x_n)$ v nějaké oblasti $D$ , máme funkci $\frac{\partial f}{\partial x_k}:D\to\mathbb R$
parciální derivace tedy může být číslo (hodnota limity výše) nebo tato funkce
parciální derivace geometricky odpovídá tečně funkce v daném bodě rovnoběžné s příslušnou osou
existence parciálních derivací neimplikuje spojitost (viz protipříklad na spojitost v jednotlivých proměnných)

Parciální derivace

Definice: Totální diferenciál, geometrická interpretace (lineární aproximace)

v případě jedné proměnné existence totálního diferenciálu a derivace je totéž
tvrzení ekvivalentní s existencí standardní derivace
- existuje $\mu$ konvergující k 0 při $h\to 0$ a $A$ takové, že $f(x+h)-f(x)=Ah+|h|\cdot\mu(h)$
geometrický pohled: $f(x+h)-f(x)=Ah$ vyjadřuje tečnu ke grafu funkce v bodě $(x,f(x))$
aproximační pohled: $|h|\cdot\mu(h)$ je jakási malá chyba při aproximaci funkce $f$ v okolí bodu $x$ jako lineární funkce v $h$
parciální derivace vyjadřují směry dvou tečných přímek – my chceme tečnou rovinu (tu dostaneme z totálního diferenciálu)
pro $x\in\mathbb E_n$ definujme $\lVert x\rVert=\max_i|x_i|$
funkce $f$ $f$ má totální diferenciál v bodě $a$ $a$ , existuje-li funkce $\mu$ $μ$ spojitá v okolí $U$ $U$ bodu $o$ $o$ taková, že $\mu(o)=0$ $μ (o) = 0$ , a čísla $A_1,\dots,A_n$ $A_{1}, \dots, A_{n}$ , pro která $f(a+h)-f(a)=\sum_{k=1}^nA_kh_k+\lVert h\rVert\mu(h)$ $f (a + h) - f (a) = \sum_{k = 1}^{n} A_{k} h_{k} + ∥ h ∥ μ (h)$
- pomocí skalárního součinu také $f(a+h)-f(a)=\braket{A|h}+\lVert h\rVert\mu(h)$
tvrzení: nechť má funkce $f$ totální diferenciál v bodě $a$ , potom je spojitá v $a$ a má všechny parciální derivace v $a$ s hodnotami $\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}=A_k$
důkaz spojitosti
- chceme $\lim_{x\to y} f(x)=f(y)$ , tedy $\lim_{x\to y} f(x)-f(y)=0$
- dosadíme do rovnice totálního diferenciálu (a+h … x, a … y)
- $|f(x)-f(y)|\leq|A(x-y)|+|\mu(x-y)|\cdot\lVert x-y\rVert$
- limita $|A(x-y)|+|\mu(x-y)|\cdot\lVert x-y\rVert$ pro $x\to y$ je rovna nule
důkaz hodnot parciálních derivací
- z rovnice totálního diferenciálu máme $\frac{f(x_1,\dots,x_{k-1},x_k+h,x_{k+1},\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h}=A_k+\frac{\lVert(0,\dots,h,\dots,0)\rVert\cdot\mu((0,\dots,h,\dots,0))}{h}$
- limita pravé strany je zjevně $A_k$

Parciální derivace

Věta: Spojité parciální derivace a totální diferenciál

věta: nechť má $f$ spojité parciální derivace v okolí bodu $a$ , potom má v bodě $a$ totální diferenciál
důkaz
- položme $h^{(0)}=h,\;h^{(1)}=(0,h_2,\dots,h_n),\;h^{(2)}=(0,0,h_3,\dots,h_n),\;\dots,\;h^{(n)}=o$
- máme $f(a+h)-f(a)=\sum_{k=1}^n(f(a+h^{(k-1)})-f(a+h^{(k)}))=M$ $f (a + h) - f (a) = \sum_{k = 1}^{n} (f (a + h^{(k - 1)}) - f (a + h^{(k)})) = M$
  - v té sumě se většina členů odečte, proto se to rovná výrazu nalevo
- podle Lagrangeovy věty (v jedné proměnné) existují $0\leq\theta_k\leq 1$ takové, že $f(a+h^{(k-1)})-f(a+h^{(k)})=\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}\cdot h_k$
- tedy $M=\sum\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}h_k=$
- $=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}h_k+\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right)h_k=$
- $=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}h_k+\lVert h\rVert\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right){h_k\over\lVert h\rVert}$
- položme $\mu(h)=\sum\left(\frac{\partial f(a_1,\dots,a_{k-1},a_k+\theta_kh_k,a_{k+1}+h_{k+1},\dots,a_n+h_n)}{\partial x_k}-\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\right){h_k\over\lVert h\rVert}$
- jelikož $\left|\frac{h_k}{\lVert h\rVert}\right|\leq 1$ a jelikož jsou funkce $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ spojité, $\lim_{h\to o}\mu(h)=0$
máme tedy implikace: spojité parciální derivace $\implies$ totální diferenciál $\implies$ parciální derivace

Parciální derivace

Příklad: Výpočet parciálních derivací – aritmetická pravidla

jsou stejná jako pro obyčejné derivace
pravidlo pro skládání se liší (viz věta níže)
aritmetická pravidla lze odvodit z řetězového
- odvodíme pravidlo pro násobení
- $f(u,v)=u\cdot v$
- potom ${\partial f\over\partial u}=v,\;{\partial f\over\partial v}=u$
- uvažujme $u=\phi(x),\;v=\psi(x)$
- pak $(\phi(x)\cdot\psi(x))'={\partial f\over\partial u}\phi'(x)+{\partial f\over\partial v}\psi'(x)=\psi(x)\phi'(x)+\phi(x)\psi'(x)$

Parciální derivace

Věta: Složená zobrazení a řetězové pravidlo

věta
- nechť má $f(x)$ totální diferenciál v bodě $a$
- pro $k=1,\dots,n$ $k = 1, \dots, n$
  - nechť mají $g_k(t)$ derivace v bodě $b$
  - nechť je $g_k(b)=a_k$
- položme $F(t)=f(g(t))=f(g_1(t),\dots,g_n(t))$
- potom má $F$ derivaci v $b$ , totiž $F'(b)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot g'_k(b)$
důkaz
- $\frac1h(F(b+h)-F(b))=\frac1h(f(g(b+h))-f(g(b)))=$
- $=\frac1h\biggl(f\Bigl(g(b)+(g(b+h)-g(b))\Bigl)-f(g(b))\biggr)=$ $= \frac{1}{h} (f (g (b) + (g (b + h) - g (b))) - f (g (b))) =$
  - do rovnice totálního diferenciálu dosazujeme: x … g(b), h … (g(b+h)-g(b))
- $=\sum_{k=1}^n A_k\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h+\mu(g(b+h)-g(b))\cdot\max_k\frac{|g_k(b+h)-g_k(b)|}h$
- ze spojitosti funkcí $g_k$ v $b$ vyplývá $\lim_{h\to 0}\mu(g(b+h)-g(b))=0$
- z toho, že $g_k$ mají derivace, vyplývá, že $\max_k\dots$ je omezené v dostatečně malém okolí nuly
- limita posledního sčítance je tedy nula
- $F'(b)=\lim_{h\to 0}\frac1h(F(b+h)-F(b))=\lim_{h\to0}\sum_{k=1}^nA_k\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h=$
- $=\sum A_k\lim\frac{g_k(b+h)-g_k(b)}h=\sum\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot g'_k(b)$ $= \sum A_{k} lim \frac{g _{k} ( b + h ) - g _{k} ( b )}{h} = \sum \frac{\partial f ( a )}{\partial x _{k}} \cdot g_{k}^{'} (b)$
  - tady vycházíme z tvrzení o hodnotách parciálních derivací
důsledek – řetězové pravidlo
- nechť má $f(x)$ totální diferenciál v bodě $a$
- pro $k=1,\dots,n$ $k = 1, \dots, n$
  - nechť mají funkce $g_k(t_1,\dots,t_r)$ parciální derivace v $b=(b_1,\dots,b_r)$
  - nechť je $g_k(b)=a_k$
- potom má funkce $(f\circ g)(t_1,\dots,t_r)=f(g(t))=f(g_1(t),\dots,g_n(t))$ všechny parciální derivace v $b$ a platí $\frac{\partial(f\circ g)(b)}{\partial t_j}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}\cdot\frac{\partial g_k(b)}{\partial t_j}$

Parciální derivace

Věta: Lagrangeova formule

definice: podmnožina $U\subseteq\mathbb E_n$ $U \subseteq E_{n}$ je konvexní, jestliže $x,y\in U\implies(\forall t,\,0\leq t\leq 1)\bigl((1-t)x+ty=x+t(y-x)\in U\bigr)$ $x, y \in U ⟹ (\forall t, 0 \leq t \leq 1) ((1 - t) x + t y = x + t (y - x) \in U)$
- tzn. úsečka mezi libovolnými dvěma body $x,y\in U$ bude celá v $U$
Lagrangeova věta v jedné proměnné: nechť $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$ a má na $(a,b)$ derivaci, pak existuje bod $c\in(a,b)$ takový, že platí $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
Lagrangeova věta ve více proměnných
- nechť má $f$ spojité parciální derivace v konvexní otevřené množině $U\subseteq\mathbb E_n$
- potom pro libovolné dva vrcholy $x,y\in D$ existuje $\theta,\,0\leq\theta\leq 1,$ takové, že $f(y)-f(x)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(x+\theta(y-x))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
- nebo ekvivalentně $f(y)-f(x)=\nabla f(c)(y-x)$ , kde $c=x+\theta(y-x)$
- alternativní tvar (kde $y=x+h$ ): $f(x+h)-f(x)=\sum\frac{\partial f(x+\theta h)}{\partial x_j}h_j$
důkaz
- položme
  - $F(t)=f(x+t(y-x))$
  - $g_j(t)=x_j+t(y_j-x_j)$
- potom $F(t)=(f\circ g)(t)=f(x+t(y-x))$
- tudíž $F'(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(g(t))}{\partial x_j}g'_j(t)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f(g(t))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
- podle klasické Lagrangeovy věty $\exists\theta:0\leq\theta\leq 1$ a díky tomu, že $f(x)=F(0)$ a $f(y)=F(1)$ , dostáváme $f(y)-f(x)=F(1)-F(0)=F'(\theta)(1-0)=F'(\theta)$

Parciální derivace

Definice: Parciální derivace vyšších řádů

když derivujeme parciální derivaci (prvního řádu), dostaneme parciální derivaci druhého řádu (apod.)
$\frac{\partial^3f(x,y,z)}{\partial x\partial y\partial z}$ a $\frac{\partial^3f(x,y,z)}{\partial x\partial x\partial x}$ jsou parciální derivace třetího řádu

Parciální derivace

Věta: Záměnnost u parciálních derivací vyšších řádů

tvrzení
- buď $f(x,y)$ funkce taková, že parciální derivace $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ a $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ jsou definovány a jsou spojité v nějakém okolí bodu $(x,y)$
- potom máme $\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y\partial x}$
důkaz
- uvažujme funkci $F(h)=\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y+h)-f(x+h,y)+f(x,y)}{h^2}$
- položíme
  - $\varphi_h(y)=f(x+h,y)-f(x,y)$
  - $\psi_h(x)=f(x,y+h)-f(x,y)$
- pak dostaneme pro $F(h)$ $F (h)$ dva výrazy
  - $F(h)=\frac1{h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))$
  - $F(h)=\frac1{h^2}(\psi_h(x+h)-\psi_h(x))$
- $\varphi_h$ má derivaci $\varphi'_h(y)=\frac{\partial f(x+h,y)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$
- $F(h)={1\over h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))=\frac1h \varphi_h'(y+\theta_1h)$ $F (h) = \frac{1}{h ^{2}} (φ_{h} (y + h) - φ_{h} (y)) = \frac{1}{h} φ_{h}^{'} (y + θ_{1} h)$
  - podle Lagrangeovy věty (viz alternativní tvar)
- tedy $F(h)=\frac1h\left(\frac{\partial f(x+h,y+\theta_1h)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y+\theta_1h)}{\partial y}\right)$
- znova použijeme Lagrangeovu větu a dostaneme $F(h)=\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial f(x+\theta_2h,y+\theta_1h)}{\partial y}\right)$ $F (h) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f ( x + θ _{2} h , y + θ _{1} h )}{\partial y})$
  - kde $\theta_1,\theta_2$ jsou mezi 0 a 1
- podobně z vyjádření $F(h)$ pomocí $\psi_h$ dostaneme $F(h)=\frac\partial{\partial y}\left(\frac{\partial f(x+\theta_4h,y+\theta_3h)}{\partial x}\right)$
- $\lim_{h\to 0}F(h)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x}$
iterováním výměn z tohoto tvrzení dostaneme následující důsledek:
- nechť má funkce $f$ v $n$ proměnných spojité parciální derivace do řádu $k$
- potom hodnoty těchto derivací záleží jen na tom, kolikrát bylo derivováno v každé z individuálních proměnných $x_1,\dots,x_n$

Věty o implicitních funkcích

Příklad: Úloha implicitních funkcí, porozumění problému

jsou dány spojité reálné funkce $F_i(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)$ v $m+n$ proměnných pro $i=1,\dots,n$
pokoušíme se řešit soustavu $n$ rovnic $F_i(\dots)=0$ v $n$ neznámých $y_i$
parametry $x_i$ se stanou proměnnými, takže očekáváme řešení jako funkce $f_i\equiv y_i(x_1,\dots,x_m)$
kde mohou být potíže? uvažujme $x^2+y^2=1$ $x^{2} + y^{2} = 1$
- pro $x_0\lt -1$ řešení $F(x_0,y)=0$ vůbec neexistuje
- abychom mohli mluvit o funkci, potřebujeme „okénko“ kolem řešení $(x_0,y_0)$ vymezující kromě okolí $x_0$ i $y_0$
- pro $x_0=1$ nelze nalézt okénko, kde by $y$ bylo jednoznačné
v případě jedné rovnice $F(x,y)=0$ žádné jiné potíže nenastanou

Věty o implicitních funkcích

Věta: Nejjednodušší případ $F(x, y) = 0$ , role $\partial F\over\partial y$

věta
- buď $F(x,y)$ reálná funkce ve 2 proměnných definovaná v nějakém okolí bodu $(x_0,y_0)$
- nechť má $F$ spojité parciální derivace do řádu $k\geq 1$ a nechť je $F(x_0,y_0)=0$ a $\left|\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y}\right|\neq 0$
- potom existují $\delta\gt 0$ a $\Delta\gt 0$ takové, že ke každému $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ existuje právě jedno $y\in (y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ splňující $F(x,y)=0$
- dále, označíme-li toto jediné $y$ jako $y=f(x)$ , potom získaná $f:(x_0-\delta,x_0+\delta)\to\mathbb R$ má spojité derivace do řádu $k$
důkaz
- buď třeba $\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y}\gt 0$
- vzhledem ke spojitosti existují $\delta_1,\Delta\gt 0$ taková, že v obdélníku $\braket{x_0-\delta_1,x_0+\delta_1}\times \braket{y_0-\Delta,y_0+\Delta}$ je ${\partial F\over\partial y}(x,y)$ stále kladná
- tento obdélník je kompaktní, tedy na něm spojité funkce nabývají extrémů a tudíž existují $a,K\gt 0$ taková, že $\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\gt a$ a $\left|\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\right|\lt K$
- zvlášť dokážeme existenci funkce $f$ a její vlastnosti
- existence funkce $f$ $f$
  - pro pevné $x\in(x_0-\delta_1,x_0+\delta_1)$ definujme funkci $\varphi_x$ na $y\in (y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ předpisem $\varphi_x(y)=F(x,y)$
  - tak jsme dostali funkci jedné proměnné
  - její derivace je kladná
    - protože $\varphi'_x(y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\gt 0$
    - takže $\varphi_x$ na intervalu roste
    - proto $\varphi_{x_0}(y_0-\Delta)\lt \varphi_{x_0}(y_0)\lt\varphi_{x_0}(y_0+\Delta)$
  - z $F(x_0,y_0)$ $F (x_{0}, y_{0})$ víme, že $\varphi_{x_0}(y_0)=0$ $φ_{x_{0}} (y_{0}) = 0$
    - tedy $\varphi_{x_0}(y_0-\Delta)\lt 0\lt\varphi_{x_0}(y_0+\Delta)$
  - funkce dvou proměnných $F$ $F$ je spojitá, a tedy pro nějaké $\delta,\;0\lt\delta\leq\delta_1$ $δ, 0 < δ \leq δ_{1}$ :
    - $\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta):\varphi_x(y_0-\Delta)\lt 0\lt\varphi_x(y_0+\Delta)$
  - funkce $\varphi_x$ roste, tudíž je prostá, takže existuje právě jedno $y\in(y_0-\Delta,y_0+\Delta)$ takové, že $\varphi_x(y)=0$ (tj. $F(x,y)=0$ )
  - označme toto $y$ jako $f(x)$
- vlastnosti funkce $f$ $f$
  - $0=F(x+h,f(x+h))-F(x,f(x))=$ $0 = F (x + h, f (x + h)) - F (x, f (x)) =$
    - protože $\forall t:F(t,f(t))=0$
  - $=F(x+h,f(x)+(f(x+h)-f(x)))-F(x,f(x))=$ $= F (x + h, f (x) + (f (x + h) - f (x))) - F (x, f (x)) =$
    - použijeme Lagrangeovu větu pro $h=(h,f(x+h)-f(x))$
  - $=\frac{\partial F}{\partial x}(x+\theta h,f(x)+\theta(f(x+h)-f(x)))\cdot h\;+$
  - $+\;\frac{\partial F}{\partial y}(x+\theta h,f(x)+\theta(f(x+h)-f(x)))\cdot (f(x+h)-f(x))$
  - upravíme na $f(x+h)-f(x)=-h\cdot\frac{\partial F(\dots)\over \partial x}{\partial F(\dots)\over\partial y}$
  - podle odvozených vlastností platí $|f(x+h)-f(x)|\lt|h|\cdot\frac Ka$ $∣ f (x + h) - f (x) ∣ < ∣ h ∣ \cdot \frac{K}{a}$
    - $f$ je tedy spojitá v bodě $x$
  - dále zjevně $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=-\frac{{\partial F\over \partial x}(x,f(x))}{{\partial F\over\partial y}(x,f(x))}$
  - tudíž $f'(t)=-\frac{{\partial F\over \partial x}(t,f(t))}{{\partial F\over\partial y}(t,f(t))}$
  - tuto formuli můžeme derivovat tak dlouho, jak to existence parciálních derivací na pravé straně dovolí
stejnou úvahou se ukáže věta pro funkci v $m+1$ proměnných

Věty o implicitních funkcích

Příklad: Substituční metoda aspoň pro dvě rovnice

uvažujme dvojici rovnic ( $x$ $x$ může být vektor)
- $F_1(x,y_1,y_2)=0$
- $F_2(x,y_1,y_2)=0$
hledáme dvě řešení v okolí bodu $(x^0,y_1^0,y_2^0)$
na druhou rovnici aplikujeme větu o jedné rovnici pro $y_2$ , dostaneme $y_2$ jako funkci $\psi(x,y_1)$
substituujeme do první rovnice, dostaneme $G(x,y_1)=F_1(x,y_1,\psi(x,y_1))=0$
řešení $y_1=f_1(x)$ v nějakém okolí bodu $(x^0,y_1^0)$ může být substituováno do $\psi$ a získáme $y_1=f_2(x)=\psi(x,f_1(x))$
co jsme všechno předpokládali
- spojité parciální derivace funkcí $F_i$
- ${\partial F_2\over\partial y_2}(x^0,y_1^0,y_2^0)\neq 0$ , abychom získali $\psi$
- ${\partial G\over\partial y_1}(x^0,y_1^0)={\partial F_1\over\partial y_1}+{\partial F_1\over\partial y_2}{\partial \psi\over\partial y_1}\neq 0$ $\frac{\partial G}{\partial y _{1}} (x^{0}, y_{1}^{0}) = \frac{\partial F _{1}}{\partial y _{1}} + \frac{\partial F _{1}}{\partial y _{2}} \frac{\partial ψ}{\partial y _{1}} \neq = 0$
  - to vyplývá z řetízkového pravidla
  - pomocí formule $f'(t)=-\frac{{\partial F\over \partial x}(t,f(t))}{{\partial F\over\partial y}(t,f(t))}$ dostaneme z této rovnice nakonec vzorec pro determinant – konkrétně pro Jacobián, který má být nenulový
  - to stačí – druhý předpoklad vyplývá z nenulovosti Jacobiánu

Věty o implicitních funkcích

Definice: Jacobián a jeho role

pro konečnou posloupnost funkcí $F_1(x,y),\dots,F_m(x,y)$ $F_{1} (x, y), \dots, F_{m} (x, y)$ a pro $y=(y_1,\dots,y_m)$ $y = (y_{1}, \dots, y_{m})$ se definuje Jacobiho determinant (Jacobián) $\frac{D(F)}{D(y)}=\det{\left(\frac{\partial F_i}{\partial y_j}\right)}_{i,j=1,\dots,m}$ $\frac{D ( F )}{D ( y )} = det (\frac{\partial F _{i}}{\partial y _{j}})_{i, j = 1, \dots, m}$
- řádky odpovídají funkcím $F_i$ , sloupce proměnným $y_j$
u implicitních funkcí budeme požadovat nenulovost Jacobiánu
geometrický význam: Jacobián určuje, jak vektorová funkce při transformaci oblasti na natahuje nebo stlačuje objemy malých kousků oblasti okolo v poměru (absolutní hodnoty) Jacobiánu

Věty o implicitních funkcích

Věta: Obecná věta, porozumění tomu, co se děje

věta
- buďte $F_i(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m),\;i=1,\dots,m,$ funkce $n+m$ proměnných se spojitými parciálními derivacemi do řádu $k\geq 1$
- buď $F(x^0,y^0)=o$ a $\frac{D(F)}{D(y)}(x^0,y^0)\neq 0$
- potom existují $\delta\gt 0$ a $\Delta\gt 0$ takové, že pro každé $x\in (x^0_1-\delta,x_1^0+\delta)\times\dots\times(x_n^0-\delta,x_n^0+\delta)$ existuje právě jedno $y\in (y_1^0-\Delta,y_1^0+\Delta)\times\dots\times(y_m^0-\Delta,y_m^0+\Delta)$ takové, že $F(x,y)=o$
- píšeme-li toto $y$ jako vektorovou funkci $f(x)=(f_1(x),\dots,f_m(x))$ , mají $f_i$ spojité parciální derivace do řádu $k$
důkaz: v podstatě stačí kroky výše – ukázali jsme, jak pomocí substituce přejít od úlohy s $n+1$ rovnicemi k úloze s $n$ rovnicemi a jak se při tom podmínka o Jacobiánu v dimenzi $n+1$ přemění na podmínku o Jacobiánu v dimenzi $n$ (pak už je třeba jenom diskutovat, jak vhodně nahradit rozměry oken, tedy $\delta,\Delta$ )

Věty o implicitních funkcích

Věta: Aplikace – lokální extrémy, věta o vázaných extrémech, jak se používá

uvažujeme body, v nichž jsou všechny parciální derivace nulové, a body na okraji zkoumané oblasti (ale těch je nekonečně mnoho)
když hledáme extrémy funkce $f(x_1,\dots,x_n)$ $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ , okraj oblasti vyjádříme podmínkami $g_i(x_1,\dots,x_n)$ $g_{i} (x_{1}, \dots, x_{n})$ pro $i=1,\dots,k$ $i = 1, \dots, k$
- pak hledáme extrémy na množině určené podmínkami – tedy jde o vázané extrémy
věta
- buďte $f,g_1,\dots,g_k$ reálné funkce definované na otevřené množině $D\subseteq\mathbb E_n$
- nechť mají spojité parciální derivace
- nechť je hodnost matice $M$ $M$ maximální, tedy $k$ $k$ , v každém bodě oboru $D$ $D$
  - kde $M_{ij}=\frac{\partial g_i}{\partial x_j}$ (tedy řádky odpovídají funkcím $g_i$ , sloupce proměnným $x_j$ )
- jestliže funkce $f$ nabývá v bodě $a$ lokálního extrému podmíněného vazbami $g_i(x_1,\dots,x_n)=0$ pro $i=1,\dots,k$ , pak existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ taková, že pro každé $i=1,\dots,n$ platí $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$
důkaz
- z lineární algebry víme, že matice $M$ má hodnost $\geq k$ , právě když aspoň jedna její $k\times k$ podmatice je regulární (má nenulový determinant)
- $M$ má $k$ řádků a $n$ sloupců, kde $n$ bude typicky (možná vždy?) větší než $k$
- v matici $M$ $M$ máme tedy čtvercovou matici nalevo regulární, tedy její determinant je nenulový
  - pro jednoduchost uvažujeme přečíslování souřadnic, aby to vyšlo hezky na první až $k$ -tý sloupec matice
- soustava rovnic $\forall i:g_i(x)=0$ pro neznámé funkce $x_1,\dots,x_k$ , v níž parametry $x_{k+1},\dots,x_n$ budou proměnnými, tedy splňuje předpoklady věty o implicitních funkcích a v okolí bodu $a$ dává funkce $\phi_i(x_{k+1},\dots,x_n)$ se spojitými parciálními derivacemi takové, že $\forall g_i(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x),\tilde x)=0$ , kde $\tilde x=(x_{k+1},\dots,x_n)$
- tedy lokální extrém funkce $f(x)$ v $a$ podmíněný danými vazbami se mění na lokální extrém (nepodmíněné) funkce $F(\tilde x)=f(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x), \tilde x)$ v $\tilde a$
- musí tedy platit ${\partial F\over\partial x_i}(\tilde a)=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
- (1) tj. podle řetízkového pravidla $\sum_{r=1}^k\frac{\partial f(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}+\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=k+1,\dots,n$
- (2) po derivaci konstantní $g_i(\phi_1(\tilde x),\dots,\phi_k(\tilde x),\tilde x)=0$ $g_{i} (ϕ_{1} (\tilde{x}), \dots, ϕ_{k} (\tilde{x}), \tilde{x}) = 0$ dostaneme pro $j=1,\dots,k:$ $j = 1, \dots, k :$ $\sum_{r=1}^k\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}+\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$ $\sum_{r = 1}^{k} \frac{\partial g _{j} ( a )}{\partial x _{r}} \cdot \frac{\partial ϕ _{r} ( a ~ )}{\partial x _{i}} + \frac{\partial g _{j} ( a )}{\partial x _{i}} = 0$ pro $i=k+1,\dots,n$ $i = k + 1, \dots, n$
  - poznámka: tenhle krok nenavazuje na ten předchozí
- užijeme znovu nenulový determinant – následující systém lineárních rovnic má nutně jediné řešení $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ :
  - $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$ pro $i=1,\dots,k$
- takhle jsme použili pouze prvních $k$ $k$ z $n$ $n$ rovnic, teď ještě musíme dokázat, že takto určená $\lambda_i$ $λ_{i}$ vyhovují i ostatním $n-k$ $n - k$ rovnicím
  - použijeme (1) a (2), první rovnost je oba kombinuje, navíc (2) sčítá přes všechna $j$
  - uvažujeme $i\gt k$
- $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=-\sum_{r=1}^k\frac{\partial f(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}-\sum_{j=1}^k\lambda_j\sum_{r=1}^k\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_r}\cdot \frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=$
- $=-\sum_{r=1}^k\left(\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot \frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}\right)\frac{\partial \phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=-\sum_{r=1}^n0\cdot\frac{\partial\phi_r(\tilde a)}{\partial x_i}=0$ $= - \sum_{r = 1}^{k} (\frac{\partial f ( a )}{\partial x _{i}} + \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} \cdot \frac{\partial g _{j} ( a )}{\partial x _{i}}) \frac{\partial ϕ _{r} ( a ~ )}{\partial x _{i}} = - \sum_{r = 1}^{n} 0 \cdot \frac{\partial ϕ _{r} ( a ~ )}{\partial x _{i}} = 0$
  - výraz v závorce odpovídá soustavě rovnic (viz výše) – proto je nulový
poznámky
- čísla $\lambda_i$ jsou známa jako Lagrangeovy multiplikátory
- síla tvrzení je v tom, že zaručuje existenci čísel $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ splňujících více než $k$ rovnic

Věty o implicitních funkcích

Věta: Aplikace – regulární zobrazení

definice
- buď $U\subseteq\mathbb E_n$ otevřená a nechť mají funkce $f_i:U\to \mathbb E_n$ (pro $i=1,\dots,n$ ) spojité parciální derivace
- řekneme, že výsledné zobrazení $f=(f_1,\dots,f_n):U\to\mathbb E_n$ je regulární, jestliže je Jacobián $\frac{D(f)}{D(x)}(x)\neq 0$ pro všechny body $x\in U$
tvrzení: je-li $U\to\mathbb E_n$ regulární, je obraz $f[V]$ každé otevřené podmnožiny $V\subseteq U$ otevřený
důkaz
- vezměme $f(x^0)=y^0$
- definujme $F:V\times\mathbb E_n\to\mathbb E_n$ předpisem $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i$
- potom je $F(x^0,y^0)=0$ a $\frac{D(F)}{D(x)}\neq 0$
- tudíž je možné použít větu o implicitních funkcích
- dostaneme $\delta,\Delta\gt 0$ taková, že pro každé $y:\lVert y-y^0\rVert\lt\delta$ existuje $x:\lVert x-x^0\rVert\lt\Delta$ a $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i=0$
- tzn. máme $f(x)=y$ (pozor, $y_i$ jsou proměnné, $x_j$ hledané funkce)
- zároveň $\Omega(y^0,\delta)=\set{y\mid\lVert y-y^0\rVert\lt\delta}\subseteq f[V]$
tvrzení
- buď $f:U\to\mathbb E_n$ regulární
- potom pro každé $x^0\in U$ existuje otevřené okolí $V$ takové, že restrikce $f|V$ je prosté zobrazení
- navíc platí, že zobrazení $g:f[V]\to\mathbb E_n$ k $f|V$ inverzní je regulární
důkaz
- vezměme $f(x^0)=y^0$
- znovu použijeme zobrazení $F$ , kde $F_i(x,y)=f_i(x)-y_i$
- řešíme úlohu $F_i(x,y)=0$ s proměnnými $y_1,\dots,y_n$ a neznámými funkcemi $x_i=g_i(y_1,\dots,y_n)$
- pro dost malé $\Delta\gt 0$ máme jedno $x=g(y)$ takové, že $F(x,y)=0$ a $\lVert x-x^0\rVert\lt\Delta$
- toto $g$ má navíc spojité parciální derivace
- $\partial f\cdot\partial g=\partial(f\circ g)=\partial (id)=\mathbb E$
- tedy ${D(f)\over D(x)}\cdot{D(g)\over D(y)}=1$
- $\frac{D(g)}{D(y)}$ proto musí být nenulový
důsledek: prosté regulární zobrazení $f:U\to V=f[U]\subseteq\mathbb E_n$ má regulární inverzní zobrazení $g:f[U]\to\mathbb E_n$

Riemannův integrál v jedné proměnné

Definice: Opakování, geometrická interpretace, obsahy atd.

některým podmnožinám $A\subseteq\mathbb E_n$ $A \subseteq E_{n}$ umíme přiřadit objem $\text{vol}(A)$ $vol (A)$ , přičemž požadujeme vlastnosti…
- $\text{vol}(\emptyset)=0$
- $A\subseteq B\implies\text{vol}(A)\leq\text{vol}(B)$
- $\text{vol}(A\cup B)=\text{vol}(A)+\text{vol}(B)-\text{vol}(A\cap B)$
- objem je zachován isometrií
- objem cihly $\braket{a_1,b_1}\times\dots\times\braket{a_n,b_n}$ v $\mathbb E_n$ je $(\prod_i\braket{a_i,b_i})=(b_1-a_1)\cdot\ldots\cdot(b_n-a_n)$
když má nějaká cihla degenerovanou hranu ( $a_i=b_i$ pro některé $i$ ), pak je její objem nulový
objem útvarů složených z cihel, jimž se protínají jen povrchy, je stejný, jako by cihly byly disjunktní

Riemannův integrál v jedné proměnné

Definice: Rozdělení intervalu

rozdělení intervalu $\braket{a,b}$ je posloupnost $P:a=t_0\lt t_1\lt\dots\lt t_{n-1}\lt t_n=b$
zjemnění $P$ je rozdělení $P':a=t'_0\lt t'_1\lt\dots\lt t'_{m-1}\lt t'_m=b$ takové, že $\set{t_j\mid j=1,\dots,n-1}\subseteq\set{t'_j\mid j=1,\dots,m-1}$
jemnost rozdělení je $\mu(P)=\max_j(t_j-t_{j-1})$
rozdělení intervalů je vhodnější než jako posloupnost bodů vnímat rozdělení intervalu na menší intervaly
pro omezenou funkci $f:J=\braket{a,b}\to\mathbb R$ $f : J = ⟨ a, b ⟩ \to R$ a rozdělení $P$ $P$ definujeme
- dolní součet $s(f,P)=\sum_{j=1}^nm_j(t_j-t_{j-1})$ $s (f, P) = \sum_{j = 1}^{n} m_{j} (t_{j} - t_{j - 1})$
  - kde $m_j=\inf\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}$
- horní součet $S(f,P)=\sum_{j=1}^n M_j(t_j-t_{j-1})$ $S (f, P) = \sum_{j = 1}^{n} M_{j} (t_{j} - t_{j - 1})$
  - kde $M_j=\sup\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}$
když $P'$ zjemňuje $P$ , dostáváme $s(f,P)\leq s(f,P')$ a $S(f,P)\geq S(f,P')$
pro každá dvě $P_1,P_2$ platí $s(f,P_1)\leq S(f,P_2)$
dolní Riemannův integrál: $\underline\int_a^b f(x)dx=\sup\set{s(f,P)\mid P\text{ rozd\v{e}lení}}$
horní Riemannův integrál: $\overline\int_a^b f(x)dx=\inf\set{S(f,P)\mid P\text{ rozd\v{e}lení}}$
je-li $\underline\int_a^b f(x)dx=\overline\int_a^b f(x)dx$ $\underline{\int}_{a}^{b} f (x) d x = \overline{\int}_{a}^{b} f (x) d x$ , pak společnou hodnotu označujeme $\int_a^b f(x)dx$ $\int_{a}^{b} f (x) d x$
- Riemannův integrál funkce $f$ přes $\braket{a,b}$

Riemannův integrál v jedné proměnné

Věta: Existence pro spojité funkce, role stejnoměrné spojitosti

tvrzení: Riemannův integrál $\int_a^b f(x)dx$ existuje, právě když pro každé $\varepsilon\gt 0$ existuje rozdělení $P$ takové, že $S(f,P)-s(f,P)\lt\varepsilon$
důkaz
- $\implies$ $⟹$
  - nechť $\int_a^b f(x)dx$ existuje a $\varepsilon\gt 0$
  - potom existují rozdělení $P_1,P_2$ taková, že $S(f,P_1)\lt \int_a^b f(x)dx+\frac\varepsilon2$ a $s(f,P_2)\gt\int_a^b f(x)dx-\frac\varepsilon2$
  - potom pro společné zjemnění $P$ těch dvou platí $S(f,P)-s(f,P)\lt \int_a^b f(x)dx+\frac{\varepsilon}2-\left(\int_a^b f(x)dx - \frac\varepsilon2\right)=\varepsilon$
- $\impliedby$ $⟸$
  - zvolme $\varepsilon\gt 0$ takové, že $S(f,P)-s(f,P)\lt\varepsilon$
  - potom $\overline\int_a^b f(x)dx\leq S(f,P)\leq s(f,P)+\varepsilon\leq \underline\int_a^b f(x)dx+\varepsilon$
  - $\varepsilon$ je libovolně malé, takže $\overline\int_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx$
věta: pro každou spojitou $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ Riemannův integrál $\int_a^b f$ existuje
důkaz
- pro $\varepsilon\gt 0$ zvolme $\delta\gt 0$ tak, aby $|x-y|\lt\delta\implies|f(x)-f(y)|\lt\frac{\varepsilon}{b-a}$
- je-li $\mu(P)\lt\delta$ , máme $t_j-t_{j-1}\lt\delta$ pro všechna $j$
- tedy pro všechna $j:$ $j :$
  - $M_j-m_j=\sup\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}-\inf\set{f(x)\mid t_{j-1}\leq x\leq t_j}\leq$
  - $\leq\sup\set{|f(x)-f(y)|\mid t_{j-1}\leq x,y\leq t_j}\leq\frac\varepsilon{b-a}$
- tudíž $S(f,P)-s(f,P)=\sum (M_j-m_j)(t_j-t_{j-1})\leq\frac\varepsilon{b-a}\sum(t_j-t_{j-1})=$
- $=\frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon$
ve více proměnných uvažujeme kompaktní interval, takže je funkce rovnou stejnoměrně spojitá (což potřebujeme)

Riemannův integrál v jedné proměnné

Věta: Základní věta analýzy, Riemannův integrál a primitivní funkce

integrální věta o střední hodnotě: buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá, potom existuje $c\in\braket{a,b}$ takové, že $\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$
důkaz
- položme $m,M$ jako minimum a maximum z funkčních hodnot na intervalu
- zjevně $m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a)$
- tedy existuje $K$ takové, že $m\leq K\leq M$ a $\int_a^b f(x)dx=K(b-a)$
- ze spojitosti $f$ vyplývá, že existuje $c\in\braket{a,b}$ takové, že $K=f(c)$
pozorování: pro $a\lt b\lt c:\int_a^b f+\int_b^cf=\int_a^c f$
základní věta analýzy
- buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá
- pro $x\in\braket{a,b}$ definujme $F(x)=\int_a^x f(t)dt$
- potom je $F'(x)=f(x)$
důkaz
- uvažujme $h\neq 0$
- $\frac1h(F(x+h)-F(x))=\frac1h(\int_a^{x+h}f-\int_a^xf)=\frac 1h\int_x^{x+h} f=$
- $=\frac 1h f(x+\theta h)h=f(x+\theta h)$ $= \frac{1}{h} f (x + θ h) h = f (x + θ h)$
  - kde $0\lt\theta\lt 1$
- ve druhé úpravě jsme použili pozorování, ve třetí integrální větu o střední hodnotě
- $f$ je spojitá, proto $\lim_{h\to 0}\frac1h(F(x+h)-F(x))=\lim_{h\to 0} f(x+\theta h)=f(x)$
důsledek
- buď $f:\braket{a,b}\to\mathbb R$ spojitá
- potom má primitivní funkci na $(a,b)$ spojitou na $\braket{a,b}$
- je-li $G$ primitivní funkce $f$ na $(a,b)$ spojitá na $\braket{a,b}$ , potom je $\int_a^bf(t)dt=G(b)-G(a)$