Zápočtový test

Struktura testu

• funkce $f(x,y)=\_$
  • najděte definiční obor funkce $f$ a načrtněte jej
    • je tato množina otevřená nebo uzavřená?
  • vypočítejte $\nabla f(\_,\_)$
  • ukažte, že $f$ má v bodě $(\_,\_)$ totální diferenciál a určete ho
    • pomocí lineární aproximace určete přibližně hodnoty funkce $f(x,y)$ v okolí bodu $(\_,\_)$
  • napište rovnici tečné roviny a normály ke grafu $f$ v bodě $(\_,\_,\_)$
  • nabývá funkce $f$ globálních extrémů ve svém definičním oboru nebo lokálních extrémů uvnitř?
• rovnice o třech neznámých
  • ukažte, že touto rovnicí je definovaná implicitně funkce $z=f(x,y)\in C^2(U(\_,\_))$, pro kterou je $f(\_,\_)=\_$
  • určete $\frac{\partial f}{\partial x}(\_,\_)$ a $\frac{\partial f}{\partial y}(\_,\_)$
  • pomocí lineární aproximace určete přibližně hodnoty funkce $f(x,y)$ v okolí bodu $(\_,\_)$
  • určete $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(\_,\_)$
• vysvětlete, proč funkce $f$ nabývá na množině $M$ svých globálních extrémů (přičemž $M$ je část roviny)
  • tyto globální extrémy najděte
• výpočet integrálu nebo teoretická otázka (metriky, kompaktnost, …)

Poznámky

• nutné a postačující podmínky totálního diferenciálu (v bodě)
  • postačující: spojité parciální derivace
  • nutné: spojitost, lineární aproximovatelnost, tečná rovina, existence parciálních derivací
• $f$ je diferencovatelná $\equiv$ má totální diferenciál
• stacionární bod … $\nabla f=\vec o$
• totální diferenciál … $Df(x_0,y_0)(\vec h)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec h$
• lineární aproximace v zásadě odpovídá rovnici tečné roviny
  • vzorec lze odvodit pomocí $f'(x)=df/dx$, kde $df=f(x)-f(a)$ a $dx=x-a$
  • místo $f'(x)$ používáme gradient
  • směrový vektor normály ke grafu odpovídá normálovému vektoru tečné roviny
• hessián
  • determinant Hesseho matice (matice druhých parciálních derivací v daném bodě)
  • když je kladný, v daném bodě je extrém
  • když je záporný, v daném bodě není extrém
• Lagrangeovy multiplikátory
  • uvést, že používám větu o LM
  • máme množinu $M$, na které hledáme extrémy
  • $G(x,y)$ označíme funkci určující množinu $M$
    • musí platit $G(x,y)=0$
  • ověříme, že $\nabla G(x,y)\neq \vec o$ na množině $M$
  • ověříme spojitost parciálních derivací
  • k existující rovnici $G(x,y)=0$ přidáme dvě rovnice vzniklé z $\nabla f(x,y)=\lambda\cdot\nabla G(x,y)$
  • $x,y$, které najdeme, nám dají globální extrémy
• podmínka existence Riemannova integrálu
  • funkce musí být omezená na daném intervalu
• Fubiniova věta – lze prohodit pořadí integrace
• kompaktní množina – každá posloupnost má konvergentní podposloupnost
• hledání extrémů v neuzavřené množině – pomocí uzávěru
• hledání lokálních extrémů
  • v bodech nespojitosti
  • tam, kde neexistuje aspoň jedna derivace
  • tam, kde jsou všechny derivace rovny nule (ve stacionárním bodě)
• spojitá funkce na kompaktní množině má globální extrémy (podle věty)
• projít vzorce na derivace
• věta o implicitní funkci
  • ověříme, že po dosazení do levé strany rovnice opravdu vyjde nula
  • ověříme spojitost parciálních derivací
  • ověříme nenulovost parciální derivace podle $z$ v daném bodě