Zápočtový test

• najděte definiční obor funkce $f$ a načrtněte jej
  • je tato množina otevřená nebo uzavřená?
• vypočítejte $\nabla f(\_,\_)$
• ukažte, že $f$ má v bodě $(\_,\_)$ totální diferenciál a určete ho
  • pomocí lineární aproximace určete přibližně hodnoty funkce $f(x,y)$ v okolí bodu $(\_,\_)$
• napište rovnici tečné roviny a normály ke grafu $f$ v bodě $(\_,\_,\_)$
• nabývá funkce $f$ globálních extrémů ve svém definičním oboru nebo lokálních extrémů uvnitř?

• ukažte, že touto rovnicí je definovaná implicitně funkce $z=f(x,y)\in C^2(U(\_,\_))$, pro kterou je $f(\_,\_)=\_$
• určete $\frac{\partial f}{\partial x}(\_,\_)$ a $\frac{\partial f}{\partial y}(\_,\_)$
• pomocí lineární aproximace určete přibližně hodnoty funkce $f(x,y)$ v okolí bodu $(\_,\_)$
• určete $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(\_,\_)$

tyto globální extrémy najděte

• postačující: spojité parciální derivace
• nutné: spojitost, lineární aproximovatelnost, tečná rovina, existence parciálních derivací

• vzorec lze odvodit pomocí $f'(x)=df/dx$, kde $df=f(x)-f(a)$ a $dx=x-a$
• místo $f'(x)$ používáme gradient
• směrový vektor normály ke grafu odpovídá normálovému vektoru tečné roviny

• determinant Hesseho matice (matice druhých parciálních derivací v daném bodě)
• když je kladný, v daném bodě je extrém
• když je záporný, v daném bodě není extrém

• uvést, že používám větu o LM
• máme množinu $M$, na které hledáme extrémy
• $G(x,y)$ označíme funkci určující množinu $M$
  • musí platit $G(x,y)=0$
• ověříme, že $\nabla G(x,y)\neq \vec o$ na množině $M$
• ověříme spojitost parciálních derivací
• k existující rovnici $G(x,y)=0$ přidáme dvě rovnice vzniklé z $\nabla f(x,y)=\lambda\cdot\nabla G(x,y)$
• $x,y$, které najdeme, nám dají globální extrémy

funkce musí být omezená na daném intervalu

• v bodech nespojitosti
• tam, kde neexistuje aspoň jedna derivace
• tam, kde jsou všechny derivace rovny nule (ve stacionárním bodě)

• ověříme, že po dosazení do levé strany rovnice opravdu vyjde nula
• ověříme spojitost parciálních derivací
• ověříme nenulovost parciální derivace podle $z$ v daném bodě