this dir | view | cards | source | edit | dark
top
Shrnutí některých vět
- implicitní funkce
- znění: pro funkci F(x,y)=0 definovanou v okolí nějakého bodu a rovnou nule v daném bodě, která má spojité parciální derivace (a derivace podle y není nulová), můžeme najít funkci, která odpovídá y a má spojité parciální derivace
- derivace podle y je nenulová, ať je BÚNO kladná
- v obdélníku jsou extrémy
- nejdříve najdeme funkci
- vezmeme funkci φx jedné proměnné (pro pevné x)
- ta má kladnou derivaci, takže roste, zároveň je prostá
- přesně uprostřed okna je nulová
- najdeme ostatní y, aby byla φx nulová
- tím dostaneme hledanou funkci
- pak dokážeme její spojitost a vzorec pro derivaci
- začneme s 0=F(x+h,f(x+h))−F(x,f(x))
- z f(x+h) uděláme f(x)+(f(x+h)−f(x))
- použijeme Lagrangeovu větu a chain rule
- nakonec dostaneme hf(x+h)−f(x)= minus podíl parciálních derivací
- z toho máme přímo derivaci a ta je spojitá, protože parciální derivace jsou spojité
- z toho můžeme odvodit i spojitost, přičemž jako ε použijeme ∣h∣⋅aK
- Fubiniho věta
- znění: když místo přes součin intervalů integrujeme postupně přes každý z nich zvlášť, dostaneme správný výsledek
- zvolíme rozdělení velkého intervalu (tedy součinu) takové, že máme ∫f−ε≤s(f,P)≤S(f,P)≤∫f+ε
- jako F(x) položíme integrál přes první proměnnou
- zjevně horní součet těchto integrálů bude menší než horní součet S(f,P)
- podobně dolní součet integrálů bude větší než dolní součet s(f,P)
- takže jsme tyhle součty narvali doprostřed té nerovnosti
- pro epsilon dostáváme rovnost integrálů ∫J′F∫Jf
- záměnnost parciálních derivací
- požadujeme spojitost parciálních derivací
- uvažujeme funkci F(h), kde jakoby derivujeme podle obou proměnných zároveň
- položíme φh(y) a ψh(x) a s jejich pomocí získáme dvě vyjádření pro F(h)
- pro ilustraci:
- φh(y)=f(x+h,y)−f(x,y)
- F(h)=h21(φh(y+h)−φh(y))
- dvakrát použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě
- nakonec limitíme
- chain rule
- znění: derivace složené funkce je součet přes jednotlivé proměnné vnější funkce – sčítanec je součin parciální derivace vnější funkce podle k-té proměnné a derivace k-té vnitřní funkce
- vnější funkce musí mít totální diferenciál
- začneme s h1(F(x+h)−F(x))
- přepíšeme jako f(g(…))
- g(x+h) rozepíšeme na g(x)+(g(x+h)−g(x))
- použijeme rovnici pro totální diferenciál
- limitíme
- nakonec zobecníme pro funkce více proměnných (z derivace složené funkce uděláme parciální derivaci složené funkce) a máme řetězové pravidlo
- spojitá funkce na kompaktním intervalu
- znění: spojité zobrazení z kompaktní množiny je stejnoměrně spojité
- důkaz obměnou – uvažujeme zobrazení, které není stejnoměrně spojité
- tzn. pro dvojici x,y blíž než delta jsou f(x),f(y) dál než epsilon
- pro každou deltu existuje nějaká taková dvojice x,y, uděláme z nich dvě posloupnosti (xn)n a (yn)n
- jejich limity se rovnají, limity jejich obrazů se nerovnají
- tedy zobrazení není spojité
- totální diferenciál a spojitost + hodnoty parciálních derivací
- spojitost
- chceme limx→yf(x)−f(y)
- zkusíme použít rovnici pro totální diferenciál (přičemž h=x−y, a+h=x, a=y)
- zlimitíme pro x→y
- hodnoty
- vezmeme h, co má nulové všechny složky kromě jedné
- dosadíme do rovnice pro totální diferenciál a podělíme tím hk
- limitíme
- na jedné straně dostaneme vzorec pro parciální derivaci, na druhé limitu Ak+μ(h), což je Ak
- spojité parciální derivace a totální diferenciál
- zadefinujeme si pomocné h(i) jako i nul a dál složky z původního h
- vyjádříme f(a+h)−f(a) jako součet mnoha dvojic členů, které se skoro všechny odečtou
- na jednu dvojici použijeme Lagrangeovu větu a zapíšeme ji jako parciální derivaci vynásobenou hk
- ze součtu „vytáhneme“ člen ∂xk∂f(a), který tam původně nebyl, takže ho musíme zase odečíst
- součet vynásobíme a vydělíme ∥h∥
- tím dostaneme μ(h) a zjistíme, že limití k nule
- vázané extrémy
- znění
- mějme funkce f,g1,…,gk definované na otevřené množině D⊆En, přičemž gi určují oblast (jsou tam rovny nule), kde hledáme extrémy funkce f
- požadujeme spojité parciální derivace všech funkcí
- mějme matici Mij=∂xj∂gi s maximální hodností (k) v každém bodě oboru D
- jestliže f nabývá lokálního extrému, tak existují lambdy takové, že pro i od jedné do n platí ∂xi∂f(a)+∑j=1kλj⋅∂xi∂gj(a)=0
- vezmeme regulární čtvercovou podmatici z M s rozměry k×k (BÚNO zleva)
- pomocí gi a věty o implicitních funkcích dostaneme k funkcí v n−k proměnných (při aplikaci používáme prvních k proměnných jako y a zbylých n−k proměnných jako x)
- těmi nahradíme prvních k proměnných v f, čímž dostaneme funkci F v n−k proměnných, jejíž parciální derivace musí být nulové, aby tam byl extrém
- použijeme chain rule na derivaci F a na derivaci všech gi, budeme to potřebovat v dalším kroku
- z regularity M (nenulovosti determinantu) vidíme, že rovnice s lambdami funguje pro prvních k sloupců, ale musíme to ještě dokázat pro zbylých n−k
- dosadíme výrazy, které nám vyšly z chain rule
- nakonec nám tam vyleze rovnice s lambdami, která je nulová, takže se celý výraz sečte na nulu
- Lagrangeova věta ve více proměnných
- znění: f(y)−f(x)=∑j∂xj∂f(x+θ(y−x))(yj−xj)
- položíme F(t)=f(x+t(y−x))
- to zderivujeme pomocí chain rule
- zjevně f(x)=F(0) a f(y)=F(1)
- použijeme Lagrangeovu větu na f(y)−f(x)=F(1)−F(0)=F′(θ)(1−0)=F′(θ)
- Lebesgueův integrál
- zásadní: pro funkce omezené K platí lim∫f=∫limf
- když existuje Riemannův integrál, tak je stejný jako Lebesgueův
- když existuje integrál pro jednotlivé množiny, tak existuje pro jejich sjednocení
- když existuje integrál pro každou funkci v posloupnosti a posloupnost je monotónní, tak limita integrálů je integrál limity
- když jsou funkce posloupnosti omezeny funkcí s konečným integrálem a jejich integrál existuje, tak je integrál limity limita integrálů