Shrnutí některých vět: kartičky

implicitní funkce

znění: pro funkci $F(x,y)=0$ definovanou v okolí nějakého bodu a rovnou nule v daném bodě, která má spojité parciální derivace (a derivace podle $y$ není nulová), můžeme najít funkci, která odpovídá $y$ a má spojité parciální derivace
derivace podle $y$ je nenulová, ať je BÚNO kladná
v obdélníku jsou extrémy
nejdříve najdeme funkci
- vezmeme funkci $\varphi_x$ jedné proměnné (pro pevné $x$ )
- ta má kladnou derivaci, takže roste, zároveň je prostá
- přesně uprostřed okna je nulová
- najdeme ostatní $y$ , aby byla $\varphi_x$ nulová
- tím dostaneme hledanou funkci
pak dokážeme její spojitost a vzorec pro derivaci
- začneme s $0=F(x+h,f(x+h))-F(x,f(x))$
- z $f(x+h)$ uděláme $f(x)+(f(x+h)-f(x))$
- použijeme Lagrangeovu větu a chain rule
- nakonec dostaneme $\frac{f(x+h)-f(x)}h=$ minus podíl parciálních derivací
- z toho máme přímo derivaci a ta je spojitá, protože parciální derivace jsou spojité
- z toho můžeme odvodit i spojitost, přičemž jako $\varepsilon$ použijeme $|h|\cdot\frac Ka$

Fubiniho věta

znění: když místo přes součin intervalů integrujeme postupně přes každý z nich zvlášť, dostaneme správný výsledek
zvolíme rozdělení velkého intervalu (tedy součinu) takové, že máme $\int f-\varepsilon\leq s(f,P)\leq S(f,P)\leq\int f+\varepsilon$
jako $F(x)$ položíme integrál přes první proměnnou
zjevně horní součet těchto integrálů bude menší než horní součet $S(f,P)$
podobně dolní součet integrálů bude větší než dolní součet $s(f,P)$
takže jsme tyhle součty narvali doprostřed té nerovnosti
pro epsilon dostáváme rovnost integrálů $\int_{J'}F\int_Jf$

záměnnost parciálních derivací

požadujeme spojitost parciálních derivací
uvažujeme funkci $F(h)$ , kde jakoby derivujeme podle obou proměnných zároveň
položíme $\varphi_h(y)$ $φ_{h} (y)$ a $\psi_h(x)$ $ψ_{h} (x)$ a s jejich pomocí získáme dvě vyjádření pro $F(h)$ $F (h)$
- pro ilustraci:
- $\varphi_h(y)=f(x+h,y)-f(x,y)$
- $F(h)=\frac1{h^2}(\varphi_h(y+h)-\varphi_h(y))$
dvakrát použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě
nakonec limitíme

chain rule

znění: derivace složené funkce je součet přes jednotlivé proměnné vnější funkce – sčítanec je součin parciální derivace vnější funkce podle $k$ -té proměnné a derivace $k$ -té vnitřní funkce
vnější funkce musí mít totální diferenciál
začneme s $\frac1h(F(x+h)-F(x))$
přepíšeme jako $f(g(\dots))$
$g(x+h)$ rozepíšeme na $g(x)+(g(x+h)-g(x))$
použijeme rovnici pro totální diferenciál
limitíme
nakonec zobecníme pro funkce více proměnných (z derivace složené funkce uděláme parciální derivaci složené funkce) a máme řetězové pravidlo

spojitá funkce na kompaktním intervalu

znění: spojité zobrazení z kompaktní množiny je stejnoměrně spojité
důkaz obměnou – uvažujeme zobrazení, které není stejnoměrně spojité
tzn. pro dvojici $x,y$ blíž než delta jsou $f(x),f(y)$ dál než epsilon
pro každou deltu existuje nějaká taková dvojice $x,y$ , uděláme z nich dvě posloupnosti $(x_n)_n$ a $(y_n)_n$
jejich limity se rovnají, limity jejich obrazů se nerovnají
tedy zobrazení není spojité

totální diferenciál a spojitost + hodnoty parciálních derivací

spojitost
- chceme $\lim_{x\to y}f(x)-f(y)$
- zkusíme použít rovnici pro totální diferenciál (přičemž $h=x-y$ , $a+h=x$ , $a=y$ )
- zlimitíme pro $x\to y$
hodnoty
- vezmeme $h$ , co má nulové všechny složky kromě jedné
- dosadíme do rovnice pro totální diferenciál a podělíme tím $h_k$
- limitíme
- na jedné straně dostaneme vzorec pro parciální derivaci, na druhé limitu $A_k+\mu(h)$ , což je $A_k$

spojité parciální derivace a totální diferenciál

zadefinujeme si pomocné $h^{(i)}$ jako $i$ nul a dál složky z původního $h$
vyjádříme $f(a+h)-f(a)$ jako součet mnoha dvojic členů, které se skoro všechny odečtou
na jednu dvojici použijeme Lagrangeovu větu a zapíšeme ji jako parciální derivaci vynásobenou $h_k$
ze součtu „vytáhneme“ člen $\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}$ , který tam původně nebyl, takže ho musíme zase odečíst
součet vynásobíme a vydělíme $\lVert h\rVert$
tím dostaneme $\mu(h)$ a zjistíme, že limití k nule

vázané extrémy

znění
- mějme funkce $f,g_1,\dots,g_k$ definované na otevřené množině $D\subseteq\mathbb E_n$ , přičemž $g_i$ určují oblast (jsou tam rovny nule), kde hledáme extrémy funkce $f$
- požadujeme spojité parciální derivace všech funkcí
- mějme matici $M_{ij}=\frac{\partial g_i}{\partial x_j}$ s maximální hodností ( $k$ ) v každém bodě oboru $D$
- jestliže $f$ nabývá lokálního extrému, tak existují lambdy takové, že pro $i$ od jedné do $n$ platí $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^k\lambda_j\cdot\frac{\partial g_j(a)}{\partial x_i}=0$
vezmeme regulární čtvercovou podmatici z $M$ s rozměry $k\times k$ (BÚNO zleva)
pomocí $g_i$ a věty o implicitních funkcích dostaneme $k$ funkcí v $n-k$ proměnných (při aplikaci používáme prvních $k$ proměnných jako $y$ a zbylých $n-k$ proměnných jako $x$ )
těmi nahradíme prvních $k$ proměnných v $f$ , čímž dostaneme funkci $F$ v $n-k$ proměnných, jejíž parciální derivace musí být nulové, aby tam byl extrém
použijeme chain rule na derivaci $F$ a na derivaci všech $g_i$ , budeme to potřebovat v dalším kroku
z regularity $M$ (nenulovosti determinantu) vidíme, že rovnice s lambdami funguje pro prvních $k$ sloupců, ale musíme to ještě dokázat pro zbylých $n-k$
dosadíme výrazy, které nám vyšly z chain rule
nakonec nám tam vyleze rovnice s lambdami, která je nulová, takže se celý výraz sečte na nulu

Lagrangeova věta ve více proměnných

znění: $f(y)-f(x)=\sum_j\frac{\partial f(x+\theta(y-x))}{\partial x_j}(y_j-x_j)$
položíme $F(t)=f(x+t(y-x))$
to zderivujeme pomocí chain rule
zjevně $f(x)=F(0)$ a $f(y)=F(1)$
použijeme Lagrangeovu větu na $f(y)-f(x)=F(1)-F(0)=F'(\theta)(1-0)=F'(\theta)$

Lebesgueův integrál

zásadní: pro funkce omezené $K$ platí $\lim\int f=\int\lim f$
když existuje Riemannův integrál, tak je stejný jako Lebesgueův
když existuje integrál pro jednotlivé množiny, tak existuje pro jejich sjednocení
když existuje integrál pro každou funkci v posloupnosti a posloupnost je monotónní, tak limita integrálů je integrál limity
když jsou funkce posloupnosti omezeny funkcí s konečným integrálem a jejich integrál existuje, tak je integrál limity limita integrálů