Zkouška

Definice Věty bez důkazů Věty s důkazy

Definice

definice funkce, funkce prostá, na a bijekce (př. 1)
- funkce $f$ $f$ z množiny $A$ $A$ do množiny $B$ $B$ je každá taková uspořádaná trojice $(A,B,f)$ $(A, B, f)$ , že $f\subset A\times B$ $f \subset A \times B$ a pro každé $a\in A$ $a \in A$ existuje právě jedno $b\in B$ $b \in B$ , že $afb$ $a f b$
  - píšeme, že $f:A\to B$ a že $f(a)=b$
- funkce $f:X\to Y$ je prostá, když $f(x)=f(x')\implies x=x'$
- funkce $f:X\to Y$ je na, když $f[X]=Y$
- $f$ je bijekce (vzájemně jednoznačná), když je na a je prostá
supremum a infimum v lineárním uspořádání (př. 1)
- $(A,\lt)$ buď lineární uspořádání a nechť $B\subset A$
- prvky $\sup(B):=\min(H(B))$ $sup (B) := min (H (B))$ a $\inf(B):=\max(D(B))$ $in f (B) := max (D (B))$ v $A$ $A$ , existují-li, nazveme supremem a infimem množiny $B$ $B$
  - $H(B)$ je množina horních mezí, tedy prvků $h\in A$ takových, že $\forall b\in B: b\leq h$
  - obdobně je $D(B)$ množina dolních mezí
(nejvýše) spočetná a nespočetná množina (př. 1)
- $X$ je nekonečná, když existuje prostá funkce $f:\mathbb N\to X$
- $X$ je konečná, když není nekonečná
- $X$ je spočetná, když existuje bijekce $f:\mathbb N\to X$
- $X$ je nejvýše spočetná, je-li konečná nebo spočetná
- $X$ je nespočetná, když není nejvýše spočetná
vlastní a nevlastní limita posloupnosti, podposloupnost (př. 2)
- nechť $(a_n)$ je reálná posloupnost a $L \in \mathbb R^*$
- pokud $\forall\varepsilon\,\exists n_0\,(n\geq n_0\implies a_n\in U(L,\varepsilon))$ , píšeme, že $\lim a_n=L$ nebo $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ nebo $a_n\to L$ , a řekneme, že posloupnost $(a_n)$ má limitu $L$
- pro $L\in \mathbb R$ mluvíme o vlastní limitě a pro $L=\pm\infty$ o limitě nevlastní
- posloupnost, která má vlastní limitu, konverguje (pokud ji nemá, tak diverguje)
liminf a limsup posloupnosti (př. 3)
- nechť $A\in \mathbb R^*$ a $(a_n)\subset\mathbb R$ ; řekneme, že $A$ je hromadný bod posloupnosti $(a_n)$ , je-li limitou nějaké její podposloupnosti; $H(a_n)$ je množina těchto hromadných bodů
- limes inferior a limes superior dané posloupnosti $(a_n)$ definujeme po řadě jako $\liminf a_n :=\min(H(a_n))$ a $\limsup a_n:=\max(H(a_n))$
řada, částečný součet řady, součet řady (př. 3)
- (nekonečnou) řadou rozumíme posloupnost $(a_n)\subset\mathbb R$
- jejím součtem rozumíme limitu $\sum a_n=\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+\dots := \lim(a_1+a_2+\dots+a_n)$ , když existuje
- posloupnost $(a_1+a_2+\dots+a_n)$ sestává z takzvaných částečných součtů (řady)
- má-li řada vlastní součet, pak konverguje, jinak diverguje
geometrická řada a její součet, absolutně konvergentní řada (př. 4)
- geometrické řady jsou řady $\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+\dots$ s parametrem $q\in\mathbb R$ zvaným kvocient
- mějme částečný součet $s_n:=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}$ $s_{n} := 1 + q + q^{2} + \dots + q^{n - 1}$
  - $qs_n=q+q^2+q^3+\dots+q^n$
  - $s_n=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}$
  - $qs_n-s_n=q^n-1$
  - $s_n=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac 1{1-q}+\frac{q^n}{q-1}$
  - pak stačí určit $\lim s_n$ pro dané $q$
- $\sum^\infty_{n=0}q^n\begin{cases} =+\infty & \text{pro }q\geq 1 \\ =\frac{1}{1-q} & \text{pro }|q|\lt 1 \\ \text{neexistuje} & \text{pro }q\leq -1 \end{cases}$
- řada $\sum a_n$ je absolutně konvergentní, konverguje-li řada $\sum |a_n|$
limita funkce, jednostranná limita funkce (př. 4 a 5)
- okolí, prstencové okolí, levé/pravé (prstencové) okolí (pro $b,\varepsilon\in\mathbb R$ $b, ε \in R$ )
  - $U(b,\varepsilon):=(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$
  - $P(b,\varepsilon):=(b-\varepsilon,b)\cup (b,b+\varepsilon)$
  - $U(+\infty,\varepsilon):=(1/\varepsilon,+\infty)$ , podobně pro $-\infty$ ( $P$ se definuje stejně)
  - $U^-(b,\varepsilon):=(b-\varepsilon,b]$ , podobně $U^+$ ( $P^-$ a $P^+$ mají otevřený interval)
- limitní bod
  - prvek $L\in\mathbb R^*$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ , když $\forall\varepsilon:P(L,\varepsilon)\cap M\neq\emptyset$
- jednostranný limitní bod
  - bod $b\in\mathbb R$ je levým limitním bodem množiny $M\subset\mathbb R$ , pokud $\forall\varepsilon: P^-(b,\varepsilon)\cap M\neq \emptyset$ (podobně se zavádí pravý limitní bod)
- oboustranný limitní bod
  - bod $b\in M$ je oboustranný limitní bod (OLB) množiny $M\in\mathbb R$ , pokud $\forall\varepsilon: P^-(b,\varepsilon)\cap M\neq\emptyset\land P^+(b,\varepsilon)\cap M\neq\emptyset$
- limita
  - nechť $A,L\in\mathbb R^*,\,M\subset\mathbb R,\,A$ je limitní bod množiny $M$ a $f:M\to\mathbb R$ je funkce
  - pokud $\forall\varepsilon\,\exists\delta:f[P(A,\delta)\cap M]\subset U(L,\varepsilon)$ , píšeme $\lim_{x\to A}f(x)=L$ a řekneme, že funkce $f$ má v $A$ limitu $L$
- limita zleva (obdobně zprava)
  - nechť $A,L\in\mathbb R^*,\,M\subset\mathbb R,\,A$ je levý limitní bod množiny $M$ a $f:M\to\mathbb R$ je funkce
  - pokud $\forall\varepsilon\,\exists\delta:f[P^-(A,\delta)\cap M]\subset U(L,\varepsilon)$ , píšeme $\lim_{x\to A^-}f(x)=L$ a řekneme, že funkce $f$ má v bodě $A$ limitu zleva rovnou $L$
exponenciála, logaritmus, kosinus a sinus (př. 4)
- pro každé $x\in\mathbb R$ položíme $e^x=\exp(x):=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+{x^2\over 2}+{x^3\over 6}+\dots:\mathbb R\to \mathbb R$
- $\log := \exp^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R$
- $\forall t\in\mathbb R$ nechť $\cos t:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}$ a $\sin t:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}$
spojitost funkce v bodě, jednostranná spojitost funkce v bodě (př. 5)
- nechť $a\in M\subset\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$
- funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ , když $\forall\varepsilon\,\exists\delta: f[U(a,\delta)\cap M]\subset U(f(a),\varepsilon)$
- jinak je $f$ v bodě $a$ nespojitá
- funkce $f$ je zleva spojitá v bodě $a$ , když $\forall\varepsilon\,\exists\delta:f[U^-(a,\delta)\cap M]\subset U(f(a),\varepsilon)$
- obdobně se definuje spojitost zprava
asymptotické symboly $O,\,o,\,\sim$ $O, o, \sim$ (př. 5)
- $O$ $O$
  - nechť je $M\subset\mathbb R,\,f,g:M\to\mathbb R$ a $N\subset M$
  - pokud $(\exists c\geq 0)(\forall x\in N)(|f(x)|\leq c\cdot |g(x)|)$ , píšeme $f(x)=O(g(x))\;(x\in N)$ a řekneme, že funkce $f$ je na množině $N$ velké $O$ z funkce $g$
- $o,\,\sim$ $o, \sim$
  - nechť $A\in\mathbb R^*$ je limitní bod množiny $M\in\mathbb R,\,f,:M\to\mathbb R$ jsou funkce a $(\exists\delta)(\forall x\in P(A,\delta)\cap M)(g(x)\neq 0)$
  - když $\lim_{x\to A}\frac{f(x)}{g(x)}=0\implies f(x)=o(g(x))\;(x\to A)$ $lim_{x \to A} \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 ⟹ f (x) = o (g (x)) (x \to A)$
    - pro $x$ jdoucí k $A$ je $f$ malé $o$ z $g$
  - když $\lim_{x\to A} \frac{f(x)}{g(x)}=1\implies f(x)\sim g(x)\;(x\to A)$ $lim_{x \to A} \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1 ⟹ f (x) \sim g (x) (x \to A)$
    - pro $x$ jdoucí k $A$ se $f$ asymptoticky rovná $g$
kompaktní, otevřená, uzavřená množina (př. 6)
- množina $M\subset\mathbb R$ je kompaktní, když každá posloupnost $(a_n)\subset M$ má konvergentní podposloupnost $(a_{m_n})$ s $\lim a_{m_n}\in M$
- množina $M\subset\mathbb R$ je otevřená, když $(\forall a\in M)(\exists\delta)(U(a,\delta)\subset M)$
- množina $M\subset\mathbb R$ je uzavřená, když je $\mathbb R\setminus M$ otevřená
globální, lokální a ostré extrémy funkce (př. 6)
- nechť je $a\in M\subset\mathbb R$ a nechť $f:M\to \mathbb R$
- funkce $f$ má na $M$ v bodu $a$ globální maximum, když $\forall x\in M: f(x)\leq f(a)$
- funkce $f$ má na $M$ v bodu $a$ lokální maximum, když $(\exists\delta)(\forall x\in U(a,\delta)\cap M)(f(x)\leq f(a))$
- obdobně se definují minima
- platí-li pro každé $x\neq a$ tyto nerovnosti jako ostré, jde o ostré globální/lokální maximum/minimum
derivace funkce, jednostranná derivace funkce (př. 7)
- nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ a $f:M\to \mathbb R$ je funkce
- definujeme $f'(a)=\frac{df}{dx}(a):=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a řekneme, že tato limita $f'(a)=\frac{df}{dx}(a)\in\mathbb R^*$ je derivace funkce $f$ v bodě $a$
- jednostranné derivace $f'_-,f'_+$ se definují podobně, akorát se používají limity zleva/zprava
standardní definice tečny (d. 9, př. 7)
- nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$ je diferencovatelná v $a$ (má tam vlastní derivaci)
- tečnou ke $G_f$ (grafu funkce $f$ ) v bodě $(a,f(a))\in G_f$ rozumíme přímku $\ell: y=f'(a)\cdot (x-a)+f(a)$
- je to jediná přímka se sklonem $f'(a)$ procházející bodem $(a,f(a))$
derivace vyšších řádů (d. 8, př. 8)
- nechť $\emptyset\neq M\subset\mathbb R$ $\emptyset \neq = M \subset R$ je otevřená množina, $f:M\to\mathbb R,\,f_0:=f$ $f : M \to R, f_{0} := f$ a pro $i=1,2,\dots,n\in\mathbb N$ $i = 1, 2, \dots, n \in N$ platí, že $D(f_{i-1})=M$ $D (f_{i - 1}) = M$ a $f_i:=(f_{i-1})'$ $f_{i} := (f_{i - 1})^{'}$
  - kde $D(f)$ je definiční obor $f'$
- pak každou funkci $f^{(i)}:=f_i:M\to\mathbb R,\,i=1,2,\dots,n$ nazveme derivací řádu $i$ funkce $f$ či její $i$ -tou derivací
(ryze) konvexní a konkávní funkce (d. 10, př. 8)
- $I\subset\mathbb R$ je interval
- $\kappa(a,f(a),c,f(c))$ je sečna $G_f$ jdoucí body $(a,f(a))$ a $(c,f(c))$
- funkce $f:I\to\mathbb R$ je na $I$ konvexní, pokud $\forall(a\lt b\lt c)\subset I: (b,f(b))\leq\kappa(a,f(a),c,f(c))$
- pomocí ostré nerovnosti se definuje ostře konvexní funkce
- pomocí opačné nerovnosti se definuje (ostře) konkávní funkce
inflexní bod (d. 14, př. 8)
- nechť $a\in M$ je oboustranný limitní bod $M\subset\mathbb R$ a $\ell$ je tečna ke $G_f$ v $(a,f(a))$
- tento bod je inflexním bodem grafu funkce $f$ , pokud $(\exists\delta)(x\in P^-(a,\delta)\cap M)(x'\in P^+(a,\delta)\cap M):$ $((x,f(x))\leq \ell\land (x',f(x'))\geq \ell)$
- nebo platí opačné nerovnosti
svislé asymptoty a asymptoty v nekonečnu (př. 8)
- svislé asymptoty
  - nechť $b\in \mathbb R$ je levý limitní bod $M\subset\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$
  - když $\lim_{x\to b^-}f(x)=\pm\infty$ , nazveme přímku $x=b$ levou asymptotou funkce $f$
  - pravé asymptoty se definují podobně
- asymptoty v nekonečnu
  - nechť $M\subset\mathbb R,\,+\infty$ je limitní bod $M,\,s,b,\in\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$
  - když $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-sx-b)=0$ , nazveme přímku $y=sx+b$ asymptotou funkce $f$ v $+\infty$
  - asymptoty v $-\infty$ se definují podobně
Taylorův polynom funkce (d. 1, př. 9), Taylorova řada funkce (d. 5, př. 9)
- Taylorův polynom
  - mějme $n\in\mathbb N$ , přičemž $f,f',f'',\dots,f^{(n-1)}:U(b,\delta)\to\mathbb R$ a $\exists f^{(n)}(b)\in\mathbb R$
  - polynom $T^{f,b}_n(x):=\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(b)}{j!}(x-b)^j$ nazveme Taylorovým polynomem funkce $f$ řádu $n$ se středem v čísle $b$
- Taylorova řada
  - nechť $f^{(n)}:U(a,\delta)\to\mathbb R$ pro každé $n\in\mathbb N_0$
  - pokud pro každé $x\in U(a,\delta)$ platí $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ – řekneme, že na $U(a,\delta)$ je funkce $f$ součtem své Taylorovy řady se středem $a$
primitivní funkce (d. 8, př. 9)
- nechť $I\subset\mathbb R$ je netriviální interval a $F,f:I\to\mathbb R$
- řekneme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ , symbolicky $F=\int f$ , pokud $F'=f$ na celém $I$
- někdy se $F$ také nazývá antiderivací funkce $f$
stejnoměrná spojitost (d. 19, př. 6)
- pro $M\subset \mathbb R$ je funkce $f:M\to\mathbb R$ (na $M$ ) stejnoměrně spojitá, pokud $\forall\varepsilon\,\exists\delta: a,b\in M\land |a-b|\leq\delta\implies |f(a)-f(b)|\leq\varepsilon$
(nevlastní) Newtonův integrál funkce (d. 7, př. 10 a d. 1, př. 11)
- když $f:(a,b)\to\mathbb R$ (přičemž $a\lt b$ ) má primitivní funkci $F$ a existují vlastní limity $F(a):=\lim_{x\to a}F(x)$ a $F(b):=\lim_{x\to b}F(x)$ , definujeme Newtonův integrál funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ jako jejich rozdíl $(\text{N})\int_a^bf:=F(b)-F(A)=\lim_{x\to b}F(x)-\lim_{x\to a}F(x)$
- pak plochu $A_f$ oblasti $G_{\leq f}$ definujeme jako $A_f:=(\text{N})\int_a^bf$
- pro $b\lt a$ klademe $(\text{N})\int_a^bf:=-(\text{N})\int_b^af$
- dále vždy definujeme $(\text{N})\int_a^af:=0$
- rozšířený (nevlastní) Newtonův integrál funkce $f:(a,b)\to\mathbb R$ definujeme jako $(\text{N}_e)\int_a^bf:=[F]_a^b$ pro libovolnou zobecněnou antiderivaci $F:(a,b)\to\mathbb R$ funkce $f$ , přičemž zobecněná antiderivace funkce $f:I\to\mathbb R$ pro netriviální interval $I$ se definuje jako $F:I\to\mathbb R$ , pokud $F$ je spojitá a $F'(x)=f(x)$ platí pro každé $x\in I$ s konečně mnoha výjimkami
Riemannův integrál (d. 1, př. 12) a množina míry 0 (d. 11, př. 12)
- dělením $\overline a$ $\overline{a}$ intervalu $I$ $I$ rozumíme každou takovou $(k+1)$ $(k + 1)$ -tici bodů $\overline a=(a_0,a_1,\dots,a_k),\,k\in\mathbb N$ $\overline{a} = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}), k \in N$ , že $a=a_0\lt a_1\lt\dots\lt a_{k-1}\lt a_k=b$ $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{k - 1} < a_{k} = b$
  - jeho norma $\Vert\overline a\Vert\in[0,+\infty)$ je největší délka $a_i-a_{i-1}$ podintervalu (formálně $\Vert\overline a\Vert=\max(\lbrace a_i-a_{i-1}\mid i\in [k]\rbrace)$ )
- dělení intervalu $I$ s body je každá taková dvojice $(\overline a, \overline t)$ , že $\overline a$ je dělení intervalu $I$ a $k$ -tice $\overline t=(t_1,\dots,t_k)$ splňuje $\forall i\in[k]:t_i\in [a_{i-1},a_i]$
- Riemannův součet pro $f$ $f$ a $(\overline a,\overline t)$ $(\overline{a}, \overline{t})$
  - $R(\overline a,\overline t,f):=\sum_{i=1}^k(a_i-a_{i-1})\cdot f(t_i)$
- Riemannův integrál
  - funkce $f:[a,b]\to\mathbb R$ (přičemž $a\lt b$ ) je riemannovsky integrovatelná, psáno $f\in \text{R}(a,b)$ , pokud $\exists c\,\forall\varepsilon\,\exists\delta\,\forall(\overline a,\overline t)$ platí, že $\Vert\overline a\Vert\lt\delta\implies|R(\overline a,\overline t,f)-c|\lt\varepsilon$
  - pak také píšeme $(\text{R})\int_a^bf=c$ nebo $(\text{R})\int_a^bf(x)\,dx=c$ a řekneme, že (Riemannův) integrál funkce $f$ přes interval $[a,b]$ se rovná $c$
- množina míry 0
  - množina $M\subset\mathbb R$ má míru nula, pokud pro každé $\varepsilon$ existují takové intervaly $[a_n,b_n],\,n\in\mathbb N$ a $a_n\lt b_n$ , že $M\subset\bigcup_{n=1}^\infty[a_n,b_n]\land\sum_{n=1}^\infty(b_n-a_n)\lt\varepsilon$
  - jinými slovy jde o množinu, kterou lze pokrýt spočetným sjednocením intervalů s libovolně malou celkovou délkou
  - každá nejvýše spočetná množina má míru 0
  - žádný netriviální interval nemá míru 0
Henstock-Kurzweilův integrál (d. 11, př. 13)
- kalibry
  - nechť $a\lt b$ jsou v $\mathbb R$
  - funkci $\delta_c:[a,b]\to(0,+\infty)$ nazveme kalibrem (na $[a,b]$ )
  - dělení s body $(\overline a,\overline t)$ intervalu $[a,b]$ nazveme $\delta_c$ -jemným, pokud $\forall i\in[k]:a_i-a_{i-1}\lt \delta_c(t_i)$
- $f:[a,b]\to\mathbb R$ je HK-integrovatelná, symbolicky psáno $f\in \text{HK}(a,b)$ , pokud $\exists c\,\forall\varepsilon\,\exists\delta_c$ , kalibr na $[a,b]$ , že pro všechna dělení s body $(\overline a,\overline t)$ na intervalu $[a,b]$ platí, že $(\overline a,\overline t)$ je $\delta_c$ -jemné $\implies |R(\overline a,\overline t,f)-c|\lt\varepsilon$
- pak také píšeme $(\text{HK})\int_a^bf=c$ nebo $(\text{HK})\int_a^bf(x)\,dx=c$ a řekneme, že Henstock-Kurzweilův integrál funkce $f$ přes interval $[a,b]$ se rovná $c$
délka grafu funkce, plocha mezi grafy, objem rotačního tělesa (př. 14)
- délka lomené čáry vepsané do $G_f$ $G_{f}$
  - $L(\overline a,f):=\sum_{i=1}^k|u_{i-1}u_i|$
  - přičemž $u_j := (a_j,f(a_j))$ , $|uv|=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2}$
- délka grafu funkce $f:[a,b]\to\mathbb R$ $f : [a, b] \to R$
  - $\ell(G_f):=\sup(\lbrace L(\overline a,f)\mid \overline a$ je dělení intervalu $[a,b]\rbrace)$
  - podle vzorce platí $\ell(G_f)=\int_a^b\sqrt{1+(f')^2}\in(0,+\infty)$
- plocha sloupcového grafu s nejnižšími sloupci, které pokrývají $G_{f,g}$ $G_{f, g}$
  - $M(f,g,\overline a):=\sum_{i=1}^k|I_i|\cdot(\sup(g[I_i])-\inf(f[I_i]))\in\mathbb R^*\,(\geq 0)$
  - přičemž $I_i:=[a_{i-1},a_i],\,|I_i|:=a_i-a_{i-1}$
- plocha mezi grafy funkcí $f,g:[a,b]\to\mathbb R,\,f\leq g$ $f, g : [a, b] \to R, f \leq g$
  - $A(G_{f,g}):=\inf(\lbrace M(f,g,\overline a)\mid\overline a$ je dělení intervalu $[a,b]\rbrace)$
  - podle vzorce platí $A(G_{f,g})=\int_a^b(g-f)$
- objem kotoučů
  - $K(\overline a,f):=\pi \sum_{i=1}^k|I_i|\cdot \sup(f[I_i])^2$
- objem tělesa vzniklého rotací funkce $f:[a,b]\to[0,+\infty)$ $f : [a, b] \to [0, + \infty)$
  - $V(T_f):=\inf(\lbrace K(f,\overline a)\mid\overline a$ je dělení intervalu $[a,b]\rbrace)$
  - podle vzorce platí $V(T_f)=\pi\int_a^bf^2$

Věty bez důkazů

definice a vlastnosti $\mathbb R$ $R$ (d. 10 a t. 11, př. 1)
- Reálná čísla tvoří množinu $\mathbb R:=C/\sim$ $R := C / \sim$
  - $C$ je množina všech Cauchyových posloupností zlomků
  - posloupnost $(a_n)\subset\mathbb Q$ $(a_{n}) \subset Q$ je Cauchyova, když $\forall k\,\exists n_0:m,n\geq n_0\implies|a_m-a_n|\leq 1/k$ $\forall k \exists n_{0} : m, n \geq n_{0} ⟹ ∣ a_{m} - a_{n} ∣ \leq 1/ k$
    - vzdálenost mezi členy posloupnosti se postupně zmenšuje na libovolně malou hodnotu
  - relaci shodnosti $\sim$ na $C$ definujeme takto: $(a_n)\sim(b_n)$ , když $(\forall k\,\exists n_0:n\geq n_0\implies|a_n-b_n|\leq 1/k)$
- $(\mathbb R,0,1,+,\cdot,\lt)$ je uspořádané těleso.
o podposloupnostech (t. 7, př. 2)
- $(a_n)$ $(a_{n})$ buď libovolná reálná posloupnost a $A\in\mathbb R^*$ $A \in R^{*}$ . Platí následující.
  - $(a_n)$ má podposloupnost, která má limitu.
  - $(a_n)$ nemá limitu $\iff (a_n)$ má dvě podposloupnosti s dvěma různými limitami.
  - Neplatí, že $\lim a_n=A\iff(a_n)$ má podposloupnost, jež má limitu různou od $A$ .
existence monotónní podposloupnosti (t. 13, př. 2)
- Každá posloupnost reálných čísel má monotónní podposloupnost.
geometrická posloupnost (t. 5, př. 3)
- Nechť $q\in\mathbb R$ . Potom $\lim_{n\to\infty}q^n\begin{cases}=0 & \text{pro }|q|\lt 1 \\ =1 & \text{pro }q=1 \\ =+\infty & \text{pro }q\gt 1 \\ \text{neexistuje} & \text{pro } q\leq -1\end{cases}$
liminf a limsup (v. 11, př. 3)
- Pro každou $(a_n)\subset\mathbb R$ je množina $H(a_n)$ neprázdná. V lineárním uspořádání $(\mathbb R^*,\lt)$ má minimum i maximum.
o harmonických číslech (v. 4, př. 4)
- Uvažme harmonická čísla $h_n=\sum_{j=1}^n1/j$ .
- Pak existuje konstanta $c\gt 0$ , že pro každé $n\in\mathbb N$ se $h_n=\log n+\gamma+\Delta_n,\;|\Delta_n|\leq\frac cn$ , kde $\gamma=0.577\dots$ je tzv. Eulerova konstanta.
Riemannova věta (v. 5, př. 4)
- Nechť pro řadu $\sum^\infty_{n=1}a_n$ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ platí:
  - $\lim a_n=0$
  - $\sum a_{k_n}=+\infty$ , kde $a_{k_n}$ jsou kladné sčítance řady
  - $\sum a_{z_n}=-\infty$ , kde $a_{z_n}$ jsou záporné sčítance řady
- Pak pro každé $S\in\mathbb R^*$ existuje taková bijekce $\pi:\mathbb N\to\mathbb N$ , že $\sum_{n=1}^\infty a_{\pi(n)}=S$ .
- Jinými slovy, přeházením sčítanců řady můžeme dostat libovolné číslo.
o Riemannově funkci (t. 8, př. 5)
- Riemannova funkce je spojitá právě a jenom v iracionálních číslech.
- přičemž Riemannova funkce $r:\mathbb R\to\set{0}\cup\set{\frac 1n\mid n\in\mathbb N}$ $r : R \to {0} \cup {\frac{1}{n} ∣ n \in N}$ je definovaná jako $r(x)=\begin{cases}0 & \text{pro iracionální } x \\ \frac 1n & \text{pro }x=\frac mn\in\mathbb Q\end{cases}$ $r (x) = {0 \frac{1}{n} pro iracion \overset{a}{ˊ} ln \overset{ı}{ˊ} x pro x = \frac{m}{n} \in Q$
  - $\frac mn$ je zlomek v základním tvaru
limita složené funkce (v. 14, př. 5)
- Nechť $A,K,L\in\mathbb R^*$ a $M,N\subset\mathbb R,\,A$ je limitní bod $M,\,K$ je limitní bod $N$ a funkce $g:M\to N$ a $f:N\to\mathbb R$ mají limity $\lim_{x\to A}g(x)=K$ a $\lim_{x\to K}f(x)=L$ .
- Pak složená funkce $f(g):M\to\mathbb R$ $f (g) : M \to R$ má limitu $\lim_{x\to A}f(g)(x)=L\iff$ $lim_{x \to A} f (g) (x) = L ⟺$ platí podmínka 1 nebo podmínka 2.
  - Podmínka 1: $K\in N\implies f(K)=L$
  - Podmínka 2: $\exists\delta: K\notin g[P(A,\delta)\cap M]$
- Neplatí-li ani 1, ani 2, pak limita $\lim_{x\to A}f(g)(x)$ neexistuje nebo se rovná $f(K)\neq L$ .
Heineho definice spojitosti (t. 1, př. 6)
- Funkce $f:M\to\mathbb R$ je spojitá v bodě $a\in M\subset\mathbb R$ , právě když $\forall (a_n)\subset M:\lim a_n=a\implies \lim f(a_n)=f(a)$ .
Blumbergova definice spojitosti (v. 5, př. 6)
- $\forall f:\mathbb R\to\mathbb R\;\exists M\subset\mathbb R$ , že $M$ je hustá v $\mathbb R$ a restrikce $f\mid M$ je spojitá funkce.
- přičemž množina $M$ je hustá v $\mathbb R$ , když $(\forall a\in \mathbb R)(\forall \delta)(U(a,\delta)\cap M\neq \emptyset)$
- restrikce je v podstatě omezení definičního oboru funkce
počet spojitých funkcí (v. 7, př. 6)
- věta: $\exists$ bijekce $h:\mathbb R\to C(\mathbb R)$
- přičemž $C(M):=\set{f:M\to\mathbb R\mid f \text{ je spojitá}}$ $C (M) := {f : M \to R ∣ f je spojit \overset{a}{ˊ}}$
  - tedy $C(M)$ je množina spojitých reálných funkcí definovaných na $M$
derivace složené funkce (v. 18, př. 7)
- Nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ , $g:M\to N$ je spojitá v $a$ , s derivací $g'(a)\in\mathbb R^*$ a taková, že $g(a)\in N$ je limitní bod množiny $N\subset \mathbb R$ , a nechť $f:N\to\mathbb R$ je funkce s derivací $f'(g(a))\in\mathbb R^*$ .
- Pak složená funkce $f(g):M\to\mathbb R$ má derivaci $(f(g))'(a)=f'(g(a))\cdot g'(a)$ , není-li součin neurčitý, tj. není ani $0\cdot (\pm\infty)$ , ani $(\pm\infty)\cdot 0$ .
derivace inverzní funkce (v. 19, př. 7)
- Nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ , $f:M\to\mathbb R$ je prostá funkce s derivací $f'(a)\in\mathbb R^*$ a inverzní funkce $f^{-1}:f[M]\to M$ je spojitá v $b:=f(a)$ .
- Potom platí následující.
  - Když $f'(a)\in\mathbb R\setminus\set{0}$ , pak $f^{-1}$ má derivaci $(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(a)}=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}$ .
  - Když $f'(a)=0$ a $f$ roste (resp. klesá) v bodě $a$ , pak $f^{-1}$ má derivaci $(f^{-1})'(b)=+\infty$ (resp. $-\infty$ ).
  - Když $f'(a)=\pm\infty$ a $b$ je limitní bod množiny $f[M]$ , pak $f^{-1}$ má derivaci $(f^{-1})'(b)=0$ .
l'Hospitalovo pravidlo (v. 7, př. 8)
- Nechť $A\in\mathbb R,\,f,g:P^+(A,\delta)\to\mathbb R$ mají vlastní derivace, $g'\neq 0$ a (1) $\lim_{x\to A}f(x)=\lim_{x\to A}g(x)=0$ nebo (2) $\lim_{x\to A}g(x)=\pm\infty$ .
- Pak $\lim_{x\to A}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to A}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ , pokud poslední limita existuje.
- Věta platí i pro $P^-(A,\delta)$ , $P(A,\delta)$ a pro $A=\pm\infty$ .
konvexita a konkavita a $f''$ $f^{''}$ (v. 12, př. 8)
- Nechť $I\subset\mathbb R$ je interval, $f:I\to\mathbb R$ je spojitá, $D(f)=I^0,\,\forall c\in I^0\,\exists f''(c)\in\mathbb R^*$ .
- $f''\geq 0\implies f$ je konvexní
- $f''\gt 0\implies f$ je ryze konvexní
- opačné nerovnosti $\implies$ (ryze) konkávní
- $I^0$ je vnitřek intervalu $I$ vzniklý vynecháním koncových bodů intervalu $I$
Lagrangeův a Cauchyův zbytek Taylorova polynomu (v. 6, př. 9)
- definujeme zbytek Taylorova polynomu jako $R^{f,a}_n(x):=f(x)-T^{f,a}_n(x),\,x\in U(a,\delta)$
- Mějme $f,f',\dots,f^{(n+1)}:U(a,\delta)\to\mathbb R$ , kde $n\in\mathbb N$ .
- Pak platí následující.
- Lagrangeův zbytek: $\forall x\in P(a,\delta)\,\exists c$ mezi $a$ a $x$ , že $R^{f,a}_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-a)^{n+1}$
- Cauchyův zbytek: $\forall x\in P(a,\delta)\,\exists c$ mezi $a$ a $x$ , že $R_n^{f,a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)\cdot(x-c)^n}{n!}\cdot(x-a)$
Bellova čísla (t. 7, př. 9)
- $\forall x\in(-1,1)$ platí rozvoj $e^{e^x-1}=\exp(\exp(x)-1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_nx^n}{n!}$ , kde $B_n$ je počet rozkladů $n$ -prvkové množiny ( $B_0:=1$ )
Riemann = Newton (dů. 6, př. 10)
- Když je $f:[a,b]\to\mathbb R$ spojitá a $F:[a,b]\to\mathbb R$ je k ní primitivní, pak $\lim_{\Vert\overline a\Vert\to0}R(\overline a,\overline t,f)=F(b)-F(a)$ .
integrace substitucí (v. 15, př. 10)
- Nechť $I,J\subset\mathbb R$ $I, J \subset R$ jsou netriviální intervaly, $g:I\to J,\,g':I\to\mathbb R$ $g : I \to J, g^{'} : I \to R$ a $f:J\to\mathbb R$ $f : J \to R$ . Pak
  - (1) $F=\int f$ na $J\implies F(g)=\int f(g)\cdot g'$ na $I$
  - (2) když $g$ $g$ je surjekce a $g'\neq 0$ $g^{'} \neq = 0$ , potom platí implikace
    - $G=\int f(g)\cdot g'$ na $I\implies G(g^{-1})=\int f$ na $J$
$(\text{N})\int_A^Bf$ $(N) \int_{A}^{B} f$ per partes (v. 4, př. 11)
- Mějme $f,g,F,G:(A,B)\to\mathbb R$ , kde $A\lt B$ jsou v $\mathbb R^*$ , $F$ je primitivní k $f$ , $G$ je primitivní ke $g$ .
- Pak $(\text{N}) \int_A^B fG=[FG]_A^B-(\text{N})\int_A^BFg$ platí vždy, když jsou definovány dva z těchto tří členů.
$\int r(x)$ $\int r (x)$ (v. 7, př. 11)
- Pro všechny racionální funkce $r(x)$ $r (x)$ existuje funkce $R(x)$ $R (x)$ tvaru $R(x)=r_0(x)+\sum_{i=1}^ks_i\cdot \log(|x-\alpha_i|)$ $R (x) = r_{0} (x) + \sum_{i = 1}^{k} s_{i} \cdot lo g (∣ x - α_{i} ∣)$ $+\sum_{i=1}^lt_i\cdot \log(a_i(x))+\sum_{i=1}^mu_i\cdot \arctan(b_i(x))$ $+ \sum_{i = 1}^{l} t_{i} \cdot lo g (a_{i} (x)) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} \cdot arctan (b_{i} (x))$ , kde…
  - $r_0(x)$ je racionální funkce
  - $k,l,m\in\mathbb N_0$
  - prázdné $\sum:=0$
  - $s_i,t_i,u_i\in\mathbb R$
  - $\alpha_i\in Z(r(x))$ (to je množina reálných kořenů jmenovatele)
  - $a_i(x)$ jsou ireducibilní trojčleny
  - $b_i(x)\in\mathbb R[x]$ jsou nekonstantní lineární polynomy
- … že na každém netriviálním intervalu $I\subset\mathbb R\setminus Z(r(x))$ platí $R(x)=\int r(x)$ .
o restrikcích (t. 5, př. 12)
- Jestliže $a\lt b\lt c$ jsou reálná čísla a $f:[a,c]\to\mathbb R$ , pak $f\in\text{R}(a,c)\iff f\in\text{R} (a,b)\land f\in\text{R}(b,c)$ .
- Když obě strany ekvivalence platí, pak $\int_a^cf=\int_a^bf+\int_b^cf$ .
- (výraz $f\in\text{R}(a,c)$ znamená, že funkce $f:[a,c]\to\mathbb R$ je riemannovsky integrovatelná)
Lebesgueova věta (v. 12, př. 12)
- Pro každou $f:[a,b]\to\mathbb R$ platí, že $f\in\text{R}(a,b)\iff f$ je omezená a $\text{BN}(f)$ má míru 0.
- přičemž $\text{BN}(f)$ je množina bodů nespojitosti funkce $f$
ZVA 2 (v. 17, př. 12)
- základní věta analýzy 2
- Nechť $f,F:(a,b)\to\mathbb R$ , kde $a\lt b$ , $F$ je primitivní k $f$ a $f\in\text{R}(a,b)$ .
- Pak existují vlastní limity $F_a:=\lim_{x\to a}F(x)$ a $F_b:=\lim_{x\to b}F(x)$ a $(\text{R})\int_a^bf=F_b-F_a=(\text{N})\int_a^bf$ .
Riemann = Darboux (t. 8, př. 13)
- Mějme $f:[a,b]\to\mathbb R$ .
- Pak $f\in\text{R}(a,b)\iff\underline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^b}f\in\mathbb R$ .
- Když platí obě strany implikace, pak $(\text{R})\int_a^bf=\underline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^b}f$ .
HK. $\int$ $\int$ a N. $\int$ $\int$ (v. 12, př. 13)
- Nechť $a\lt b,\,F,f:[a,b]\to\mathbb R$ , $F$ je spojitá a $F'=f$ na $(a,b)$ .
- Pak $f\in\text{HK}(a,b)$ a $(\text{HK})\int_a^bf=F(b)-F(a)=(\text{N})\int_a^bf$ .
délka grafu (v. 4, př. 14)
- Nechť funkce $f:[a,b]\to\mathbb R$ je spojitá a $f'\in\text{R}(a,b)$ .
- Pak $\ell(G_f)=\int_a^b\sqrt{1+(f')^2}\in(0,+\infty)$ .
integrální kritérium (dů. 14, př. 14)
- Nechť $m\in\mathbb Z$ a $f:[m,+\infty)\to\mathbb R$ je nezáporná a nerostoucí.
- Pak řada $\sum_{n=m}^\infty f(n)$ konverguje $\iff\lim_{n\to\infty}\int_m^n f\lt+\infty$ .

Věty s důkazy

$\sqrt 2\notin\mathbb Q$ $2 \in / Q$ (v. 8, př. 1)
- věta: Rovnice $x^2=2$ nemá v oboru zlomků řešení.
- důkaz
  - pro spor nechť $(a/b)^2=2$ pro $a,b\in\mathbb N$ nesoudělná
  - $a^2=2b^2$
  - $a^2$ je sudé $\implies a$ je sudé $\implies a=2c$ pro $c\in\mathbb N$
  - $(2c)^2=2b^2$
  - $4c^2=2b^2$
  - $b^2=2c^2$
  - tedy i $b$ je sudé $\implies a,b$ jsou soudělná, co je spor
Cantorova věta (v. 17, př. 1)
- věta: Pro žádnou množinu $X$ neexistuje surjekce $f:X\to\mathcal P(X)$ z $X$ na její potenci.
- důkaz
  - pro spor nechť $X\to\mathcal P(X)$ je surjekce
  - mějme množinu $Y:=\set{x\in X\mid x\notin f(x)}$
  - protože $f$ je na, nutně existuje $a\in X$ takové, že $f(a)=Y$
  - pokud $a\in Y$ , podle definice $Y$ platí, že $a\notin f(a) =Y$ , což je spor
  - pokud $a\notin Y=f(a)$ , má $a$ vlastnost definující množinu $Y$ , tudíž $a\in Y$ , což je spor
jednoznačnost limity (t. 4, př. 2)
- tvrzení: Limita posloupnosti je jednoznačná. Tedy pokud $\lim a_n=K$ a $\lim a_n=L$ , pak $K=L$ .
- důkaz
  - nechť $\lim a_n=K,\,\lim a_n=L$ a $\varepsilon$ je libovolné
  - podle definice limity posloupnosti existuje $n_0$ , že $n\gt n_0\implies a_n\in U(K,\varepsilon)$ i $a_n\in U(L,\varepsilon)$
  - tedy $\forall\varepsilon:U(K,\varepsilon)\cap U(L,\varepsilon)\neq\emptyset$
  - tudíž $K=L$
Bolzano-Weierstrassova (v. 15, př. 2)
- věta: Omezená posloupnost reálných čísel má vždy konvergentní podposloupnost.
- důkaz
  - nechť $(a_n)$ je omezená posloupnost a $(b_n)\preceq(a_n)$ je její monotónní podposloupnost zaručená tvrzením o existenci monotónní podposloupnosti
  - patrně $(b_n)$ je omezená a podle věty o robustně monotónní podposloupnosti má limitu
limita a uspořádání (v. 6, př. 3)
- věta
  - Nechť $(a_n)$ a $(b_n)$ jsou dvě reálné posloupnosti s $\lim a_n=K\in\mathbb R^*$ a $\lim b_n=L\in\mathbb R^*$ . Platí následující.
  - (1) Když $K\lt L$ , tak existuje $n_0$ , že pro každé dva (ne nutně stejné) indexy $m,n\geq n_0$ je $a_m\lt b_n$ .
  - (2) Když pro každé $n_0$ existují indexy $m$ a $n$ , že $m,n\geq n_0$ a $a_m\geq b_n$ , pak $K\geq L$ .
- důkaz
  - nechť $K\lt L$
  - $\exists\varepsilon:U(K,\varepsilon)\lt U(L,\varepsilon)$
  - podle definice limity máme $n_0$ , že $m,n\geq n_0\implies a_m\in U(K,\varepsilon)\land b_n\in U(L,\varepsilon)$
  - tudíž $m,n\geq n_0\implies a_m\lt b_n$
  - (2) je obměnou implikace (1)
Cauchyova podmínka (v. 17, př. 2)
- věta: Posloupnost reálných čísel $(a_n)$ je konvergentní, právě když $(a_n)$ je Cauchyova.
- důkaz $\implies$ $⟹$
  - nechť $\lim a_n = a$ a je dáno $\varepsilon$
  - pak existuje $n_0$ , že $n\geq n_0\implies |a_n-a|\lt\varepsilon /2$
  - $m,n\geq n_0\implies |a_m-a_n|\leq |a_m-a|+|a-a_n|\lt \frac {\varepsilon}2+\frac {\varepsilon}2=\varepsilon$ $m, n \geq n_{0} ⟹ ∣ a_{m} - a_{n} ∣ \leq ∣ a_{m} - a ∣ + ∣ a - a_{n} ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$
    - z trojúhelníkové nerovnosti
- důkaz $\impliedby$ $⟸$
  - nechť $(a_n)$ je Cauchyova posloupnost
  - lze dokázat, že každá Cauchyova posloupnost je omezená
  - podle Bolzano-Weierstrassovy věty má tudíž konvergentní podposloupnost $(a_{m_n})$ s limitou $a$
  - pro dané $\varepsilon$ tak máme $n_0$ , že $n\geq n_0\implies |a_{m_n}-a|\gt\frac {\varepsilon}2$ a že $m,n\geq n_0\implies |a_m-a_n|\lt \varepsilon /2$
  - vždy $m_n\geq n$ , takže $n\geq n_0\implies |a_n-a|\leq |a_n-a_{m_n}|+|a_{m_n}-a|\lt\frac {\varepsilon}2+\frac {\varepsilon}2=\varepsilon$
  - tedy $a_n\to a$
nutná podmínka konvergence řady (t. 2, př. 4)
- tvrzení: Když řada $\sum a_n$ konverguje, pak $\lim a_n=0$ .
- důkaz
  - když $\sum a_n$ $\sum a_{n}$ konverguje, pak $S:=\lim s_n\in\mathbb R$ $S := lim s_{n} \in R$
    - $s_n=\sum_{j=1}^na_j$
  - $\lim a_n=\lim (s_n-s_{n-1})=\lim s_n-\lim s_{n-1}=S-S=0$
harmonická řada (t. 3, př. 4)
- tvrzení: Tzv. harmonická řada $\sum_{n=1}^\infty\frac 1n=1+\frac12+\frac13+\dots$ diverguje a má součet $+\infty$ .
- důkaz
  - mějme řadu $\sum a_n$ se sčítanci $a_1=\frac12,\,a_2=a_3=\frac 14,\,a_4=a_5=a_6=a_7=\frac18,\,\dots$
  - nechť $(h_n)$ jsou částečné součty harmonické řady a $(s_n)$ jsou částečné součty řady $\sum a_n$
  - pak $\forall n:\frac 1n\gt a_n$ , z čehož plyne $\forall n:h_n\gt s_n$
  - protože $\lim s_n=+\infty$ (berme jako fakt), podle věty o jednom strážníkovi i $\lim h_n=+\infty$ a $\sum\frac1n=+\infty$
Heineho definice (v. 14, př. 4)
- tato věta ukazuje, jak redukovat limitu funkce na limity posloupností
- věta
  - Nechť $M\subset\mathbb R,\,K,L$ jsou prvky $\mathbb R^*,\,K$ je limitní bod množiny $M$ a $f:M\to\mathbb R$ .
  - Pak $\lim_{x\to K} f(x)=L\iff$ $(\forall (a_n)\subset M\setminus\set{K})(\lim a_n=K\implies \lim f(a_n)=L)$ .
  - Tedy $L$ je limita funkce $f$ v $K$ , právě když pro každou posloupnost $(a_n)$ v $M$ , která má limitu $K$ , ale nikdy se $K$ nerovná, funkční hodnoty $(f(a_n))$ mají limitu $L$ .
- důkaz $\implies$ $⟹$
  - předpokládejme, že $\lim_{x\to K}f(x)=L,\,(a_n)\subset M\setminus\set{K}$ má limitu $K$ a je dáno $\varepsilon$
  - pak existuje $\delta$ , že pro každé $x\in M\cap P(K,\delta)$ je $f(x)\in U(L,\varepsilon)$
  - pro toto $\delta$ existuje $n_0$ , že $n\geq n_0\implies a_n\in P(K,\delta)\cap M$
  - tedy $n\geq n_0\implies f(a_n)\in U(L,\varepsilon)$ a $f(a_n)\to L$
- důkaz $\impliedby$ $⟸$ obměnou
  - předpokládejme, že $\lim_{x\to K}f(x)=L$ neplatí (a odvodíme, že pravá strana ekvivalence neplatí)
  - takže existuje $\varepsilon\gt 0$ , že pro každé $\delta\gt 0$ existuje bod $b=b(\delta)\in M\cap P(K,\delta)$ , že $f(b)\notin U(L,\varepsilon)$
  - položíme $\delta=\frac1n$ pro $n\in\mathbb N$ a pro každé $n$ vybereme takový bod $b_n$ (podle předpisu výše)
  - posloupnost $(b_n)$ leží v $M\setminus\set{K}$ a konverguje ke $K$ , ale posloupnost hodnot $(f(b_n))$ nekonverguje k $L$ , pravá strana ekvivalence tedy neplatí
aritmetika limit funkcí (v. 11, př. 5)
- věta
  - Nechť $M\subset\mathbb R,\,A,K,L\in\mathbb R^*,\,A$ je limitní bod množiny $M$ , funkce $f,g:M\to\mathbb R$ mají limity $\lim_{x\to A}f(x)=K$ , $\lim_{x\to A}g(x)=L$ a výraz $K+L$ , $KL$ , respektive $K/L$ není neurčitý. Pak…
  - $\lim_{x\to A}(f(x)+g(x))=K+L$
  - $\lim_{x\to A}f(x)g(x)=KL$
  - $\lim_{x\to A}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac KL$ , kde pro $g(x)=0$ klademe $\frac{f(x)}{g(x)}:=0$
- důkaz podílu (ostatní důkazy jsou podobné)
  - nechť $(a_n)\subset M\setminus\set{A}$ s $\lim a_n=A$
  - podle Heineho definice limity funkce platí $\lim f(a_n)=K$ a $\lim g(a_n)=L$
  - předpokládáme, že $L\neq 0$ , takže $g(a_n)\neq 0$ pro každé $n\geq n_0$ , a že oba prvky $K,L$ nejsou nekonečna
  - podle věty o aritmetice limit posloupností tedy platí $\lim\frac{f(a_n)}{g(a_n)}=\frac{\lim f(a_n)}{\lim g(a_n)}=\frac KL$
  - to platí pro každou posloupnost $\left(\frac{f(a_n)}{g(a_n)}\right)$ s $(a_n)$ jako výše
  - tudíž podle Heineho definice limity funkce platí $\lim_{x\to A}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac KL$
nabývání mezihodnot (v. 8, př. 6)
- věta: Nechť $a,b,c\in\mathbb R,\,a\lt b,\,f:[a,b]\to\mathbb R$ je spojitá funkce a $f(a)\lt c\lt f(b)$ nebo $f(a)\gt c\gt f(b)$ . Pak $\exists d\in(a,b):f(d)=c$ .
- důkaz
  - předpokládejme, že $f(a)\lt c\lt f(b)$ (případ s opačnými nerovnostmi je podobný)
  - nechť $A:=\set{x\in[a,b]\mid f(x)\lt c}$ a $d:=\sup(A)\in [a,b]$
  - $d$ je korektně definované, protože $A$ je neprázdná ( $a\in A$ ) a shora omezená (např. $b$ je její horní mez)
  - ukážeme, že $f(d)\lt c$ $f (d) < c$ i $f(d)\gt c$ $f (d) > c$ vede ke sporu, takže $f(d)=c$ $f (d) = c$
    - ze spojitosti $f$ v $a$ i $b$ plyne, že $d\in(a,b)$
    - nechť $f(d)\lt c$ $f (d) < c$
      - ze spojitosti $f$ v $d$ plyne, že $\exists\delta:x\in U(d,\delta)\cap [a,b]\implies f(x)\lt c$
      - pak ale $A$ obsahuje čísla větší než $d$ , což je ve sporu s tím, že $d$ je horní mez množiny $A$
    - naopak z opačné nerovnosti $f(d)\gt c$ by obdobným způsobem plynulo, že každé $x\in[a,d)$ dostatečně blízké $d$ leží mimo $A$ , což je ve sporu s tím, že $d$ je nejmenší horní mez množiny $A$
princip minima a maxima (v. 13, př. 6)
- věta
  - Nechť $M\subset\mathbb R$ je neprázdná kompaktní množina a $f:M\to\mathbb R$ je spojitá funkce.
  - Pak existují takové body $a,b\in M$ , že $\forall x\in M: f(a)\leq f(x)\leq f(b)$ .
  - Řekneme, že $f$ nabývá na $M$ v bodu $a$ minimum $f(a)$ a v bodu $b$ maximum $f(b)$ .
- důkaz
  - dokážeme existenci maxima, důkaz minima je podobný
  - patrně $f[M]\neq\emptyset$
  - ukážeme, že tato množina je shora omezená
    - kdyby nebyla, existovala by posloupnost $(a_n)\subset M$ , že $\lim f(a_n)=+\infty$
    - podle kompaktnosti existuje konvergentní podposloupnost $(a_{m_n})$ s limitou $a\in M$
    - pokud $f[M]$ není shora omezená, tak $\lim f(a_{m_n})=+\infty$
    - to je spor s Heineho definicí spojitosti (má platit $\lim f(a_{m_n})=f(a)$ )
  - lze tedy definovat $s:=\sup(f[M])\in\mathbb R$
  - podle definice suprema existuje $(a_n)\subset M$ s $\lim f(a_n)=s$
  - díky kompaktnosti existuje konvergentní podposloupnost $(a_{m_n})$ s limitou $b\in M$
  - podle Heineho definice spojitosti platí $\lim f(a_{m_n})=f(b)=s$
  - protože $s=f(b)$ je horní mez $f[M]$ , platí $f(b)\geq f(x)$ pro každé $x\in M$
nutná podmínka extrému (v. 4, př. 7)
- věta
  - Nechť $b\in M$ je oboustranný limitní bod $M\subset\mathbb R$ , $f:M\to\mathbb R$ , $\exists f'(b)\in\mathbb R^*$ a $f'(b)\neq 0$ .
  - Pak $(\forall\delta)(\exists c,d\in U(b,\delta)\cap M)(f(c)\lt f(b)\lt f(d))$ – funkce $f$ nemá v bodě $b$ lokální extrém.
- důkaz
  - nechť $f'(b)\lt 0$ (případ s opačnou nerovností je podobný)
  - vezmeme tak malé $\varepsilon$ , že $\forall y\in U(f'(b),\varepsilon): y\lt 0$
  - podle definice derivace funkce v bodu existuje takové $\theta$ , že $x\in P(b,\theta)\cap M\implies \frac{f(x)-f(b)}{x-b}\in U(f'(b),\varepsilon)$
  - pro $x\in P^-(b,\theta)\cap M$ platí $x\lt b$ , tedy $x-b\lt 0$ , proto (díky zápornosti zlomku) $f(x)-f(b)\gt 0$ , tudíž $f(x)\gt f(b)$
  - podobně pro $x\gt b$ platí $f(x)\lt f(b)$
  - můžeme předpokládat, že $\theta\leq\delta$ a vzít jakékoli $c\in P^+(b,\theta)\cap M$ a $d\in P^-(b,\theta)\cap M$
  - $c,d$ nutně existují díky tomu, že $b$ je oboustranný limitní bod
Leibnizův vzorec (v. 16, př. 7)
- věta: Nechť $b\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ , $f,g:M\to\mathbb R$ a $f$ nebo $g$ je spojitá v $b$ . Pak $(fg)'(b)=f'(b)\cdot g(b)+f(b)\cdot g'(b)$ , když pravá strana není neurčitý výraz.
- důkaz
  - nechť je $g$ spojitá v $b$ (druhý případ s $f$ je symetrický)
  - podle předpokladů a podle aritmetiky limit funkcí platí
    - $(fg)'(b)=\lim_{x\to b}\frac{f(x)g(x)-f(b)g(b)}{x-b}=$
    - $=\lim_{x\to b}\frac{(f(x)-f(b))g(x)+f(b)(g(x)-g(b))}{x-b}=$
    - $=\lim_{x\to b}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\cdot \lim_{x\to b}g(x)+f(b)\lim_{x\to b}\frac {g(x)-g(b)}{x-b}=$
    - $=f'(b)g(b)+f(b)g'(b)$
  - poslední rovnost platí pro $g$ spojitou v $b$
Lagrangeova věta (v. 2, př. 8)
- věta: Nechť $a,b\in\mathbb R$ , $a\lt b$ , $f:[a,b]\to\mathbb R$ je spojitá a $\forall c\in(a,b)$ existuje $f'(c)$ (i nevlastní). Pak $\exists c\in (a,b): f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=: z$ .
- důkaz
  - $g(x):=f(x)-(x-a)\cdot z:[a,b]\to\mathbb R$ $g (x) := f (x) - (x - a) \cdot z : [a, b] \to R$ splňuje předpoklady Rolleovy věty
    - podle Rolleovy věty u funkce (se stejnými předpoklady jako u Lagrangeovy věty), pro níž platí $f(a)=f(b)$ , existuje $c\in(a,b):f'(c)=0$
  - zjevně platí $g(a)=g(b)=f(a)$
  - tudíž $0=g'(c)=f'(c)-z$ pro nějaké $c\in(a,b)$
  - proto $f'(c)=z$
- geometrický význam věty – existuje tečna v bodě $c$ rovnoběžná se sečnou procházející body $a,b$
derivace a monotonie (v. 4, př. 8)
- věta
  - Nechť $I\subset\mathbb R$ je interval, $f:I\to\mathbb R$ je spojitá a $\forall c\in I^0$ existuje $f'(c)$ (i nevlastní).
  - $f'\geq 0$ na $I^0\implies f$ na $I$ neklesá
  - $f'\gt 0$ na $I^0\implies f$ na $I$ roste
  - opačné nerovnosti obdobně
- důkaz
  - nechť je $f'\gt 0$ na $I^0$ a $x\lt y$ jsou libovolná čísla v $I$
  - podle Lagrangeovy věty pro nějaké $z\in(x,y)\subset I^0$ je $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(z)\lt 0$
  - $y-x\gt 0\implies f(y)-f(x)\lt 0\implies f(x)\gt f(y)$
  - tedy $f$ na $I$ klesá
  - zbývající tři možnosti lze dokázat podobně
Taylorův polynom (v. 2, př. 9)
- věta: Mějme $n\in\mathbb N$ a $f:U(b,\delta)\to\mathbb R$ . $T_n^{f,b}(x)$ je jediný takový reálný polynom $p(x)$ stupně nejvýše $n$ , že $f(x)=p(x)+o((x-b)^n)\quad(x\to b)$ .
- lemma o polynomech: Mějme $b\in\mathbb R$ $b \in R$ , $n\in\mathbb N_0$ $n \in N_{0}$ , $p(x)\in\mathbb R[x]$ $p (x) \in R [x]$ s $\deg p\leq n$ $de g p \leq n$ . Pak $\lim_{x\to b}\frac{p(x)}{(x-b)^n}=0\implies p(x)\equiv 0$ $lim_{x \to b} \frac{p ( x )}{( x - b ) ^{n}} = 0 ⟹ p (x) \equiv 0$ .
  - $p(x)\equiv 0$ … všechny koeficienty polynomu se rovnají nule
- důkaz lemmatu
  - indukcí podle $n$
  - pro $n=0$ to platí ( $p(x)=a_0$ a $a_0/1\to 0$ dává $a_0=0$ )
  - nechť $n\gt 0$ a platí předpoklad implikace
  - $p(b)=\lim_{x\to b}p(x)=0$
  - tedy $b$ je kořenem $p(x)$ , tudíž $p(x)=(x-b)\cdot q(x)$ , kde $q(x)$ je reálný polynom stupně nejvýše $n-1$
  - $0=\lim_{x\to b}\frac{p(x)}{(x-b)^n}=\lim_{x\to b}\frac{(x-b)\cdot q(x)}{(x-b)^b}=\lim_{x\to b}\frac{q(x)}{(x-b)^{n-1}}$
  - z indukčního předpokladu plyne, že $q(x)$ je nulový polynom
- důkaz věty
  - indukcí podle $n$ dokážeme, že $\lim_{x\to b}\frac{f(x)-T_n^{f,b}(x)}{(x-b)^n}=0$
  - pro $n=1$ podle aritmetiky limit funkcí $\lim_{x\to b}\frac{f(x)-T_1^{f,b}(x)}{(x-b)^n}=\lim_{x\to b}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}-\lim_{x\to b}f'(b)$ $=f'(b)-f'(b)=0$
  - pro $n\geq 2$ $n \geq 2$ podle l'Hospitalova pravidla $\lim_{x\to b}\frac{f(x)-T_n^{f,b}(x)}{(x-b)^n}=\frac 1n\lim_{x\to b}\frac{f'(x)-T_{n-1}^{f',b}(x)}{(x-b)^{n-1}}=\frac 1n\cdot 0=0$
    - derivaci Taylorova polynomu zde berme jako fakt
  - nechť $p(x)\in\mathbb R[x]$ s $\deg p\leq n$ splňuje, že $\lim_{x\to b}\frac{f(x)-p(x)}{(x-b)^n}=0$
  - pak $\lim_{x\to b}\frac{p(x)-T_n^{f,b}(x)}{(x-b)^n}=\lim_{x\to b}\frac{p(x)-f(x)}{(x-b)^n}+\lim_{x\to b}\frac{f(x)-T_n^{f,b}(x)}{(x-b)^n}$ $=0+0=0$
  - z lemmatu plyne $p(x)-T_n^{f,b}(x)=0\implies p(x)=T_n^{f,b}(x)$
nejednoznačnost primitivní funkce (v. 9, př. 9)
- věta: Nechť $I\subset\mathbb R$ je netriviální interval, $F_1,F_2,f:I\to\mathbb R$ a $F_1$ i $F_2$ je primitivní k $f$ . Pak existuje $c\in\mathbb R$ , že $F_1-F_2=c$ na $I$ .
- důkaz
  - podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě použité pro funkci $F_1-F_2$ a interval $[a,b]$ existuje $c\in(a,b)$ , že $\frac{(F_1-F_2)(b)-(F_1-F_2)(a)}{b-a}=(F_1-F_2)'(c)=F_1'(c)-F_2'(c)$ $=f(c)-f(c)=0$
  - tedy $F_1(b)-F_2(b)=F_1(a)-F_2(a)$
  - takže $F_1(x)-F_2(x)=c$ pro nějakou konstantu $c$ a každé $x\in I$
monotonie $(\text{N})\int$ $(N) \int$ (t. 8, př. 10)
- tvrzení: Když $f,g\in\text{N}(a,b)$ a $f\leq g$ na $(a,b)$ , pak $(\text{N})\int_a^bf\leq(\text{N})\int_a^bg$ .
- důkaz
  - nechť $F$ je primitivní k $f$ , $G$ ke $g$
  - čísla $c\lt d$ v $(a,b)$ buďte libovolná
  - použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci $F-G$ a intervalu $[c,d]$
  - pro nějaký bod $e\in(c,d)$ $e \in (c, d)$ platí $(F(d)-G(d))-(F(c)-G(c))=(F-G)'(e)\cdot(d-c)$ $(F (d) - G (d)) - (F (c) - G (c)) = (F - G)^{'} (e) \cdot (d - c)$ $=(f(e)-g(e))\cdot (d-c)\leq0$ $= (f (e) - g (e)) \cdot (d - c) \leq 0$
    - protože $f\leq g$ a $d-c\gt 0$
  - proto $F(d)-F(c)\leq G(d)-G(c)$
  - tato nerovnost se zachová při limitních přechodech $c\to a$ a $d\to b$ , čímž dostáváme požadovanou nerovnost
derivace jsou Darbouxovy (v. 12, př. 10)
- definice: $f:M\to\mathbb R$ , kde $M\subset\mathbb R$ , má Darbouxovu vlastnost, pokud pro každý interval $I\subset M$ je obraz $f[I]$ interval.
- věta: $I$ je netriviální interval a $f:I\to\mathbb R$ má primitivní funkci $\implies f$ má Darbouxovu vlastnost.
- důkaz
  - mějme $a\lt b$ , $f,F:[a,b]\to\mathbb R$ , $F$ je primitivní k $f$
  - nechť $f(a)\lt c\lt f(b)$ (případ s opačnými nerovnostmi je podobný)
  - uvážíme $G(x):=F(x)-cx:[a,b]\to\mathbb R$
  - patrně $G'=F'-c=f-c$ na $[a,b]$ , tudíž $G$ je spojitá
  - podle principu minima a maxima nabývá $G$ v nějakém $d\in[a,b]$ minimum
  - z $G'(a)=f(a)-c\lt 0$ a $G'(b)=f(b)-c\gt 0$ plyne, že $d\in(a,b)$
  - podle věty o nutné podmínce extrému musí platit $G'(d)=f(d)-c=0$ , takže $f(d)=c$
Bachetova identita (t. 10, př. 11)
- tvrzení: Nechť $p,q\in\mathbb R[x]$ nemají společný kořen, tj. pro žádné $z\in\mathbb C$ neplatí, že $p(z)=q(z)=0$ . Pak $\exists r,s\in\mathbb R[x]$ , že $r(x)\cdot p(x)+s(x)\cdot q(x)=1$ .
- důkaz
  - mějme $p(x)$ a $q(x)$ , jak je uvedeno, a $S:=\set{r(x)\cdot p(x)+s(x)\cdot q(x)\mid r(x),s(x)\in\mathbb R[x]}$
  - nechť polynom $t(x)\in S$ , $t(x)\neq 0$ , má nejmenší stupeň
  - libovolný $a(x)\in S$ jím dělíme se zbytkem: $a(x)=t(x)\cdot b(x)+c(x)$
  - kde $b(x),c(x)\in\mathbb R[x]$ a $\deg c(x)\lt \deg t(x)$ nebo $c(x)=0$
  - ale $c(x)=a(x)-b(x)\cdot t(x)\in S$ (berme jako fakt)
  - polynom $c(x)$ je tedy nulový a $a(x)=b(x)t(x)$ , takže $t(x)$ dělí každý prvek v $S$
  - ale $p(x),q(x)\in S$ a $t(x)$ je oba dělí
  - protože $p(x)$ a $q(x)$ nemají společný kořen, podle základní věty algebry je $t(x)$ nenulový konstantní polynom
  - BÚNO $t(x)=1$
  - tedy $1\in S$ a máme uvedenou identitu
neomezené funkce jsou špatné (t. 8, př. 12)
- tvrzení: Je-li funkce $f:[a,b]\to\mathbb R$ neomezená, pak $f\notin\text{R}(a,b)$ .
- důkaz
  - předpokládám, že $f$ je neomezená
  - ukážeme, že $\forall n\,\exists(\overline a, \overline t):\Vert \overline a\Vert\lt\frac 1n\land |R(\overline a,\overline t,f)|\gt n$ $\forall n \exists (\overline{a}, \overline{t}) : ∥ \overline{a} ∥ < \frac{1}{n} \land ∣ R (\overline{a}, \overline{t}, f) ∣ > n$
    - to je v rozporu s Cauchyho podmínkou pro riemannovskou integrovatelnost funkce $f$
    - z neomezenosti $f$ a z kompaktnosti $[a,b]$ plyne existence konvergentní posloupnosti $(b_n)\subset[a,b]$ s limitou $\lim b_n=\alpha\in[a,b]$ a s limitou $\lim|f(b_n)|=+\infty$
    - nechť je dáno $n\in\mathbb N$
    - jako $\overline a$ vezmeme libovolné dělení s $\Vert \overline a\Vert\lt\frac 1n$ , přičemž existuje jediný index $j$ , že $\alpha\in[a_{j-1},a_j]$
    - vybereme libovolné body $t_i\in[a_{i-1},a_i]$ pro každé $i\neq j$
    - uvážíme neúplný Riemannův součet $s:=\sum_{i=1,\,i\neq j}^k(a_i-a_{i-1})\cdot f(t_i)$
    - vybereme $t_j\in[a_{j-1},a_j]$ $t_{j} \in [a_{j - 1}, a_{j}]$ tak, že $|(a_j-a_{j-1})f(t_j)|\gt |s|+n$ $∣ (a_{j} - a_{j - 1}) f (t_{j}) ∣ > ∣ s ∣ + n$
      - to lze, protože $b_n\in[a_{j-1},a_j]$ pro každé dostatečně velké $n$
    - definujeme $\overline t$ jako sestávající ze všech těchto bodů
    - z trojúhelníkové nerovnosti $|u+v|\geq |u|-|v|$ plyne $|R(\overline a,\overline t,f)|\geq |(a_j-a_{j-1})f(t_j)|- |s|\gt n$
Baireova věta (v. 10, př. 12)
- věta: Jsou-li $a\lt b$ reálná čísla a $[a,b]=\bigcup_{n=1}^\infty M_n$ , pak některá množina $M_n$ není řídká.
- definice: $M\subset[a,b]$ je řídká, pokud pro každé okolí $U(c,\varepsilon)$ s $c\in[a,b]$ existuje takové okolí $U(d,\delta)\subset U(c,\varepsilon)\cap[a,b]$ , že $U(d,\delta)\cap M=\emptyset$
- důkaz (sporem)
  - nechť je každá $M_n$ řídká
  - $M_1$ je řídká $\implies \exists[a_1,b_1]\subset[a,b]$ , že $a_1\lt b_1$ a $[a_1,b_1]\cap M_1=\emptyset$
  - podobně $M_2$ je řídká
  - takto získáme posloupnost vnořených intervalů $[a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\dots$
  - kde $\forall n:a_n\lt b_n\land [a_n,b_n]\cap M_n=\emptyset$
  - nechť $\alpha:=\lim a_n\in[a,b]$
  - tato limita existuje a leží v $[a,b]$ , protože posloupnost $a_n$ je neklesající a omezená z obou stran čísly $a,b$
  - zjevně $a_n\lt b_m$ pro každé $n,m$ , takže $\forall n:\alpha\in[a_n,b_n]$
  - pak ale $\alpha\notin M_n$ pro každé $n$ , což je spor s tím, že $\alpha\in[a,b]$
$\underline\int\leq\overline\int$ $\underline{\int} \leq \overline{\int}$ (t. 7, př. 13)
- tvrzení: Nechť $f:[a,b]\to\mathbb R$ . Pro každá dvě dělení $\overline a, \overline b\in\mathcal D(a,b)$ (z množiny všech dělení intervalu $[a,b]$ ) platí, že $s(\overline a,f)\leq \underline{\int_a^bf}\leq\overline{\int_a^b}f\leq S(\overline b, f)$ .
- důkaz
  - mějme $\overline c:=\overline a\cup \overline b$
  - pak $\overline a,\overline b\subset \overline c$
  - podle tvrzení o monotonii dolních a horních součtů platí $s(\overline a,f)\leq s(\overline c,f)\leq S(\overline c,f)\leq S(\overline b,f)$ $s (\overline{a}, f) \leq s (\overline{c}, f) \leq S (\overline{c}, f) \leq S (\overline{b}, f)$
    - protože podmnožina je „dál“ od funkčních hodnot
  - a tedy $s(\overline a,f)\leq S(\overline b,f)$
  - v lineárním uspořádání $(X,\leq)$ pro dvě množiny $A,B\subset X$ splňující $A\leq B$ platí $\sup(A)\leq \inf(B)$ , když tyto prvky existují
ZVA 1 (v. 1, př. 13)
- základní věta analýzy 1
- věta
  - Mějme $f:[a,b]\to\mathbb R$ , přičemž $f\in\text{R}(a,b)$ .
  - Pak $\forall x\in(a,b]: f\in \text R(a,x)$ a $F:[a,b]\to\mathbb R$ , kde $F(x):=\int_a^xf$ , je lipschitzovsky spojitá.
  - Dále: $f$ je spojitá v $x\in[a,b]\implies F'(x)=f(x)$ .
- definice: funkce $f:M\to\mathbb R$ je lipschitzovsky spojitá, existuje-li $c\gt 0$ , že $\forall x,y\in M: |f(x)-f(y)|\leq c|x-y|$
- důkaz
  - nechť $f\in\text R(a,b)$
  - podle tvrzení o restrikcích platí $f\in\text R(a',b')$ pro každé $a\leq a'\lt b'\leq b$
  - tedy $F$ je dobře definovaná a $F(a)=0$
  - protože $f$ je omezená (podle tvrzení, že neomezené jsou špatné), vezmeme omezující konstantu $d\gt 0$
  - nechť $c:=1+d$
  - nechť $x\lt y$ jsou v $[a,b]$
  - podle definice riemannovské integrovatelnosti mějme takové dělení $(\overline a, \overline t)$ s body intervalu $[x,y]$ , že $|\int_x^yf-R(\overline a,\overline t, f)|\lt y-x$
  - podle tvrzení o restrikcích a definice funkce $F$ :
  - $|F(y)-F(x)|=|\int_x^yf|\leq y-x+|R(\overline a,\overline t,f)|\leq y-x+c(y-x)$ $∣ F (y) - F (x) ∣ = ∣ \int_{x}^{y} f ∣ \leq y - x + ∣ R (\overline{a}, \overline{t}, f) ∣ \leq y - x + c (y - x)$
    - pozn.: tady by podle mě mělo být místo $c$ spíše $d$
  - tudíž $|F(y)-F(x)|\leq c|y-x|$ , tedy $F$ je lipschitzovsky spojitá
  - nechť $f$ je v $x_0\in[a,b]$ spojitá a je dáno $\varepsilon$
  - vezmeme číslo $\delta$ , že $x\in U(x_0,\delta)\cap [a,b]\implies f(x)\in U(f(x_0),\varepsilon)$
  - nechť $x\in P(x_0,\delta)\cap [a,b]$ je libovolné, řekněme $x\gt x_0$ (pro $x\lt x_0$ je argument podobný)
  - vezmeme dělení s body $(\overline a,\overline t)$ intervalu $[x_0,x]$ , že $|\int_{x_0}^xf-R(\overline a,\overline t,f)|\lt \varepsilon(x-x_0)$
  - pak $\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)=\frac {1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf-f(x_0)\lt$
  - $\lt \frac{R(\overline a,\overline t,f)+\varepsilon(x-x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\lt \frac{(x-x_0)(f(x_0)+\varepsilon+\varepsilon)}{x-x_0}-f(x_0)=2\varepsilon$ $< \frac{R ( a , t , f ) + ε ( x - x _{0} )}{x - x _{0}} - f (x_{0}) < \frac{( x - x _{0} ) ( f ( x _{0} ) + ε + ε )}{x - x _{0}} - f (x_{0}) = 2 ε$
    - poslední nerovnost bereme jako fakt
  - podobně se dokáže, že je i $\gt -2\varepsilon$ , tedy $F'(x_0)=f(x_0)$
vzorec $\sum=\int+\int$ $\sum = \int + \int$ (v. 15, př. 14)
- věta: Nechť $a\lt b$ $a < b$ jsou v $\mathbb Z$ $Z$ , $f,f'\in\text{R}(a,b)$ $f, f^{'} \in R (a, b)$ a $f$ $f$ je spojitá v $b$ $b$ . Pak platí identita $\sum_{a\lt n\leq b}f(n)=\int_a^bf+\int_a^b\lbrace x\rbrace f'(x)=:\int_a^bf+T$ $\sum_{a < n \leq b} f (n) = \int_{a}^{b} f + \int_{a}^{b} {x} f^{'} (x) =: \int_{a}^{b} f + T$ .
  - kde $\lbrace x\rbrace$ je „zlomková část“ čísla $x$ (tedy desetinná část) $\in[0,1)$
- důkaz
  - identitu stačí dokázat pro $b=a+1$ , což nazveme elementární identitou
  - identitu s obecnými mezemi $a\lt b$ dostaneme jako součet elementárních identit s mezemi $a,a+1,\dots,b$
  - dokážeme elementární identitu
  - podle integrace per partes pro $b=a+1$ :
  - $T=\int_a^{a+1}(x-a)f'(x)=[(x-a)f(x)]_a^{a+1}-\int_a^{a+1}f$
  - takže opravdu $\sum_{a\lt n\lt a+1}f(n)=[(x-a)f(x)]_a^{a+1}=f(a+1)$