definice funkce, funkce prostá, na a bijekce (př. 1)
funkce f z množiny A do množiny B je každá taková uspořádaná trojice (A,B,f), že f⊂A×B a pro každé a∈A existuje právě jedno b∈B, že afb
píšeme, že f:A→B a že f(a)=b
funkce f:X→Y je prostá, když f(x)=f(x′)⟹x=x′
funkce f:X→Y je na, když f[X]=Y
f je bijekce (vzájemně jednoznačná), když je na a je prostá
supremum a infimum v lineárním uspořádání (př. 1)
(A,<) buď lineární uspořádání a nechť B⊂A
prvky sup(B):=min(H(B)) a inf(B):=max(D(B)) v A, existují-li, nazveme supremem a infimem množiny B
H(B) je množina horních mezí, tedy prvků h∈A takových, že ∀b∈B:b≤h
obdobně je D(B) množina dolních mezí
(nejvýše) spočetná a nespočetná množina (př. 1)
X je nekonečná, když existuje prostá funkce f:N→X
X je konečná, když není nekonečná
X je spočetná, když existuje bijekce f:N→X
X je nejvýše spočetná, je-li konečná nebo spočetná
X je nespočetná, když není nejvýše spočetná
vlastní a nevlastní limita posloupnosti, podposloupnost (př. 2)
nechť (an) je reálná posloupnost a L∈R∗
pokud ∀ε∃n0(n≥n0⟹an∈U(L,ε)), píšeme, že liman=L nebo limn→∞an=L nebo an→L, a řekneme, že posloupnost (an) má limitu L
pro L∈R mluvíme o vlastní limitě a pro L=±∞ o limitě nevlastní
posloupnost, která má vlastní limitu, konverguje (pokud ji nemá, tak diverguje)
liminf a limsup posloupnosti (př. 3)
nechť A∈R∗ a (an)⊂R; řekneme, že A je hromadný bod posloupnosti (an), je-li limitou nějaké její podposloupnosti; H(an) je množina těchto hromadných bodů
limes inferior a limes superior dané posloupnosti (an) definujeme po řadě jako liminfan:=min(H(an)) a limsupan:=max(H(an))
řada, částečný součet řady, součet řady (př. 3)
(nekonečnou) řadou rozumíme posloupnost (an)⊂R
jejím součtem rozumíme limitu ∑an=∑n=1∞an=a1+a2+⋯:=lim(a1+a2+⋯+an), když existuje
posloupnost (a1+a2+⋯+an) sestává z takzvaných částečných součtů (řady)
má-li řada vlastní součet, pak konverguje, jinak diverguje
geometrická řada a její součet, absolutně konvergentní řada (př. 4)
geometrické řady jsou řady ∑n=0∞qn=1+q+q2+… s parametrem q∈R zvaným kvocient
řada ∑an je absolutně konvergentní, konverguje-li řada ∑∣an∣
limita funkce, jednostranná limita funkce (př. 4 a 5)
okolí, prstencové okolí, levé/pravé (prstencové) okolí (pro b,ε∈R)
U(b,ε):=(b−ε,b+ε)
P(b,ε):=(b−ε,b)∪(b,b+ε)
U(+∞,ε):=(1/ε,+∞), podobně pro −∞ (P se definuje stejně)
U−(b,ε):=(b−ε,b], podobně U+ (P− a P+ mají otevřený interval)
limitní bod
prvek L∈R∗ je limitní bod množiny M⊂R, když ∀ε:P(L,ε)∩M=∅
jednostranný limitní bod
bod b∈R je levým limitním bodem množiny M⊂R, pokud ∀ε:P−(b,ε)∩M=∅ (podobně se zavádí pravý limitní bod)
oboustranný limitní bod
bod b∈M je oboustranný limitní bod (OLB) množiny M∈R, pokud ∀ε:P−(b,ε)∩M=∅∧P+(b,ε)∩M=∅
limita
nechť A,L∈R∗,M⊂R,A je limitní bod množiny M a f:M→R je funkce
pokud ∀ε∃δ:f[P(A,δ)∩M]⊂U(L,ε), píšeme limx→Af(x)=L a řekneme, že funkce f má v A limitu L
limita zleva (obdobně zprava)
nechť A,L∈R∗,M⊂R,A je levý limitní bod množiny M a f:M→R je funkce
pokud ∀ε∃δ:f[P−(A,δ)∩M]⊂U(L,ε), píšeme limx→A−f(x)=L a řekneme, že funkce f má v bodě A limitu zleva rovnou L
exponenciála, logaritmus, kosinus a sinus (př. 4)
pro každé x∈R položíme ex=exp(x):=∑n=0∞n!xn=1+x+2x2+6x3+⋯:R→R
log:=exp−1:(0,+∞)→R
∀t∈R nechť cost:=∑n=0∞(2n)!(−1)nt2n a sint:=∑n=0∞(2n+1)!(−1)nt2n+1
spojitost funkce v bodě, jednostranná spojitost funkce v bodě (př. 5)
nechť a∈M⊂R a f:M→R
funkce f je spojitá v bodě a, když ∀ε∃δ:f[U(a,δ)∩M]⊂U(f(a),ε)
jinak je f v bodě a nespojitá
funkce f je zleva spojitá v bodě a, když ∀ε∃δ:f[U−(a,δ)∩M]⊂U(f(a),ε)
obdobně se definuje spojitost zprava
asymptotické symboly O,o,∼ (př. 5)
O
nechť je M⊂R,f,g:M→R a N⊂M
pokud (∃c≥0)(∀x∈N)(∣f(x)∣≤c⋅∣g(x)∣), píšeme f(x)=O(g(x))(x∈N) a řekneme, že funkce f je na množině N velké O z funkce g
o,∼
nechť A∈R∗ je limitní bod množiny M∈R,f,:M→R jsou funkce a (∃δ)(∀x∈P(A,δ)∩M)(g(x)=0)
když limx→Ag(x)f(x)=0⟹f(x)=o(g(x))(x→A)
pro x jdoucí k A je f malé o z g
když limx→Ag(x)f(x)=1⟹f(x)∼g(x)(x→A)
pro x jdoucí k A se f asymptoticky rovná g
kompaktní, otevřená, uzavřená množina (př. 6)
množina M⊂R je kompaktní, když každá posloupnost (an)⊂M má konvergentní podposloupnost (amn) s limamn∈M
množina M⊂R je otevřená, když (∀a∈M)(∃δ)(U(a,δ)⊂M)
množina M⊂R je uzavřená, když je R∖M otevřená
globální, lokální a ostré extrémy funkce (př. 6)
nechť je a∈M⊂R a nechť f:M→R
funkce f má na M v bodu a globální maximum, když ∀x∈M:f(x)≤f(a)
funkce f má na M v bodu a lokální maximum, když (∃δ)(∀x∈U(a,δ)∩M)(f(x)≤f(a))
obdobně se definují minima
platí-li pro každé x=a tyto nerovnosti jako ostré, jde o ostré globální/lokální maximum/minimum
derivace funkce, jednostranná derivace funkce (př. 7)
nechť a∈M je limitní bod množiny M⊂R a f:M→R je funkce
definujeme f′(a)=dxdf(a):=limx→ax−af(x)−f(a)=limh→0hf(a+h)−f(a) a řekneme, že tato limita f′(a)=dxdf(a)∈R∗ je derivace funkce f v bodě a
jednostranné derivace f−′,f+′ se definují podobně, akorát se používají limity zleva/zprava
standardní definice tečny (d. 9, př. 7)
nechť a∈M je limitní bod množiny M⊂R a f:M→R je diferencovatelná v a (má tam vlastní derivaci)
tečnou ke Gf (grafu funkce f) v bodě (a,f(a))∈Gf rozumíme přímku ℓ:y=f′(a)⋅(x−a)+f(a)
je to jediná přímka se sklonem f′(a) procházející bodem (a,f(a))
derivace vyšších řádů (d. 8, př. 8)
nechť ∅=M⊂R je otevřená množina, f:M→R,f0:=f a pro i=1,2,…,n∈N platí, že D(fi−1)=M a fi:=(fi−1)′
kde D(f) je definiční obor f′
pak každou funkci f(i):=fi:M→R,i=1,2,…,n nazveme derivací řádu i funkce f či její i-tou derivací
(ryze) konvexní a konkávní funkce (d. 10, př. 8)
I⊂R je interval
κ(a,f(a),c,f(c)) je sečna Gf jdoucí body (a,f(a)) a (c,f(c))
funkce f:I→R je na I konvexní, pokud ∀(a<b<c)⊂I:(b,f(b))≤κ(a,f(a),c,f(c))
pomocí ostré nerovnosti se definuje ostře konvexní funkce
pomocí opačné nerovnosti se definuje (ostře) konkávní funkce
inflexní bod (d. 14, př. 8)
nechť a∈M je oboustranný limitní bod M⊂R a ℓ je tečna ke Gf v (a,f(a))
tento bod je inflexním bodem grafu funkce f, pokud (∃δ)(x∈P−(a,δ)∩M)(x′∈P+(a,δ)∩M):((x,f(x))≤ℓ∧(x′,f(x′))≥ℓ)
nebo platí opačné nerovnosti
svislé asymptoty a asymptoty v nekonečnu (př. 8)
svislé asymptoty
nechť b∈R je levý limitní bod M⊂R a f:M→R
když limx→b−f(x)=±∞, nazveme přímku x=b levou asymptotou funkce f
pravé asymptoty se definují podobně
asymptoty v nekonečnu
nechť M⊂R,+∞ je limitní bod M,s,b,∈R a f:M→R
když limx→+∞(f(x)−sx−b)=0, nazveme přímku y=sx+b asymptotou funkce f v +∞
asymptoty v −∞ se definují podobně
Taylorův polynom funkce (d. 1, př. 9), Taylorova řada funkce (d. 5, př. 9)
Taylorův polynom
mějme n∈N, přičemž f,f′,f′′,…,f(n−1):U(b,δ)→R a ∃f(n)(b)∈R
polynom Tnf,b(x):=j=0∑nj!f(j)(b)(x−b)j nazveme Taylorovým polynomem funkce f řádu n se středem v čísle b
Taylorova řada
nechť f(n):U(a,δ)→R pro každé n∈N0
pokud pro každé x∈U(a,δ) platí f(x)=n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n – řekneme, že na U(a,δ) je funkce f součtem své Taylorovy řady se středem a
primitivní funkce (d. 8, př. 9)
nechť I⊂R je netriviální interval a F,f:I→R
řekneme, že F je primitivní funkce k f, symbolicky F=∫f, pokud F′=f na celém I
někdy se F také nazývá antiderivací funkce f
stejnoměrná spojitost (d. 19, př. 6)
pro M⊂R je funkce f:M→R (na M) stejnoměrně spojitá, pokud ∀ε∃δ:a,b∈M∧∣a−b∣≤δ⟹∣f(a)−f(b)∣≤ε
(nevlastní) Newtonův integrál funkce (d. 7, př. 10 a d. 1, př. 11)
když f:(a,b)→R (přičemž a<b) má primitivní funkci F a existují vlastní limity F(a):=limx→aF(x) a F(b):=limx→bF(x), definujeme Newtonův integrál funkce f na intervalu (a,b) jako jejich rozdíl (N)∫abf:=F(b)−F(A)=x→blimF(x)−x→alimF(x)
pak plochu Af oblasti G≤f definujeme jako Af:=(N)∫abf
pro b<a klademe (N)∫abf:=−(N)∫baf
dále vždy definujeme (N)∫aaf:=0
rozšířený (nevlastní) Newtonův integrál funkce f:(a,b)→R definujeme jako (Ne)∫abf:=[F]ab pro libovolnou zobecněnou antiderivaci F:(a,b)→R funkce f, přičemž zobecněná antiderivace funkce f:I→R pro netriviální interval I se definuje jako F:I→R, pokud F je spojitá a F′(x)=f(x) platí pro každé x∈I s konečně mnoha výjimkami
Riemannův integrál (d. 1, př. 12) a množina míry 0 (d. 11, př. 12)
dělením a intervalu I rozumíme každou takovou (k+1)-tici bodů a=(a0,a1,…,ak),k∈N, že a=a0<a1<⋯<ak−1<ak=b
jeho norma ∥a∥∈[0,+∞) je největší délka ai−ai−1 podintervalu (formálně ∥a∥=max({ai−ai−1∣i∈[k]}))
dělení intervalu I s body je každá taková dvojice (a,t), že a je dělení intervalu I a k-tice t=(t1,…,tk) splňuje ∀i∈[k]:ti∈[ai−1,ai]
Riemannův součet pro f a (a,t)
R(a,t,f):=∑i=1k(ai−ai−1)⋅f(ti)
Riemannův integrál
funkce f:[a,b]→R (přičemž a<b) je riemannovsky integrovatelná, psáno f∈R(a,b), pokud ∃c∀ε∃δ∀(a,t) platí, že ∥a∥<δ⟹∣R(a,t,f)−c∣<ε
pak také píšeme (R)∫abf=c nebo (R)∫abf(x)dx=c a řekneme, že (Riemannův) integrál funkce f přes interval [a,b] se rovná c
množina míry 0
množina M⊂R má míru nula, pokud pro každé ε existují takové intervaly [an,bn],n∈N a an<bn, že M⊂n=1⋃∞[an,bn]∧n=1∑∞(bn−an)<ε
jinými slovy jde o množinu, kterou lze pokrýt spočetným sjednocením intervalů s libovolně malou celkovou délkou
každá nejvýše spočetná množina má míru 0
žádný netriviální interval nemá míru 0
Henstock-Kurzweilův integrál (d. 11, př. 13)
kalibry
nechť a<b jsou v R
funkci δc:[a,b]→(0,+∞) nazveme kalibrem (na [a,b])
dělení s body (a,t) intervalu [a,b] nazveme δc-jemným, pokud ∀i∈[k]:ai−ai−1<δc(ti)
f:[a,b]→R je HK-integrovatelná, symbolicky psáno f∈HK(a,b), pokud ∃c∀ε∃δc, kalibr na [a,b], že pro všechna dělení s body (a,t) na intervalu [a,b] platí, že (a,t) je δc-jemné ⟹∣R(a,t,f)−c∣<ε
pak také píšeme (HK)∫abf=c nebo (HK)∫abf(x)dx=c a řekneme, že Henstock-Kurzweilův integrál funkce f přes interval [a,b] se rovná c
délka grafu funkce, plocha mezi grafy, objem rotačního tělesa (př. 14)
délka lomené čáry vepsané do Gf
L(a,f):=∑i=1k∣ui−1ui∣
přičemž uj:=(aj,f(aj)), ∣uv∣=(u1−v1)2+(u2−v2)2
délka grafu funkce f:[a,b]→R
ℓ(Gf):=sup({L(a,f)∣a je dělení intervalu [a,b]})
podle vzorce platí ℓ(Gf)=∫ab1+(f′)2∈(0,+∞)
plocha sloupcového grafu s nejnižšími sloupci, které pokrývají Gf,g
A(Gf,g):=inf({M(f,g,a)∣a je dělení intervalu [a,b]})
podle vzorce platí A(Gf,g)=∫ab(g−f)
objem kotoučů
K(a,f):=π∑i=1k∣Ii∣⋅sup(f[Ii])2
objem tělesa vzniklého rotací funkce f:[a,b]→[0,+∞)
V(Tf):=inf({K(f,a)∣a je dělení intervalu [a,b]})
podle vzorce platí V(Tf)=π∫abf2
Věty bez důkazů
definice a vlastnosti R (d. 10 a t. 11, př. 1)
Reálná čísla tvoří množinu R:=C/∼
C je množina všech Cauchyových posloupností zlomků
posloupnost (an)⊂Q je Cauchyova, když ∀k∃n0:m,n≥n0⟹∣am−an∣≤1/k
vzdálenost mezi členy posloupnosti se postupně zmenšuje na libovolně malou hodnotu
relaci shodnosti ∼ na C definujeme takto: (an)∼(bn), když (∀k∃n0:n≥n0⟹∣an−bn∣≤1/k)
(R,0,1,+,⋅,<) je uspořádané těleso.
o podposloupnostech (t. 7, př. 2)
(an) buď libovolná reálná posloupnost a A∈R∗. Platí následující.
(an) má podposloupnost, která má limitu.
(an) nemá limitu ⟺(an) má dvě podposloupnosti s dvěma různými limitami.
Neplatí, že liman=A⟺(an) má podposloupnost, jež má limitu různou od A.
existence monotónní podposloupnosti (t. 13, př. 2)
Každá posloupnost reálných čísel má monotónní podposloupnost.
geometrická posloupnost (t. 5, př. 3)
Nechť q∈R. Potom n→∞limqn⎩⎨⎧=0=1=+∞neexistujepro ∣q∣<1pro q=1pro q>1pro q≤−1
liminf a limsup (v. 11, př. 3)
Pro každou (an)⊂R je množina H(an) neprázdná. V lineárním uspořádání (R∗,<) má minimum i maximum.
o harmonických číslech (v. 4, př. 4)
Uvažme harmonická čísla hn=∑j=1n1/j.
Pak existuje konstanta c>0, že pro každé n∈N se hn=logn+γ+Δn,∣Δn∣≤nc, kde γ=0.577… je tzv. Eulerova konstanta.
Riemannova věta (v. 5, př. 4)
Nechť pro řadu ∑n=1∞an platí:
liman=0
∑akn=+∞, kde akn jsou kladné sčítance řady
∑azn=−∞, kde azn jsou záporné sčítance řady
Pak pro každé S∈R∗ existuje taková bijekce π:N→N, že ∑n=1∞aπ(n)=S.
Jinými slovy, přeházením sčítanců řady můžeme dostat libovolné číslo.
o Riemannově funkci (t. 8, př. 5)
Riemannova funkce je spojitá právě a jenom v iracionálních číslech.
přičemž Riemannova funkce r:R→{0}∪{n1∣n∈N} je definovaná jako r(x)={0n1pro iracionaˊlnıˊxpro x=nm∈Q
nm je zlomek v základním tvaru
limita složené funkce (v. 14, př. 5)
Nechť A,K,L∈R∗ a M,N⊂R,A je limitní bod M,K je limitní bod N a funkce g:M→N a f:N→R mají limity limx→Ag(x)=K a limx→Kf(x)=L.
Pak složená funkce f(g):M→R má limitu limx→Af(g)(x)=L⟺ platí podmínka 1 nebo podmínka 2.
Podmínka 1: K∈N⟹f(K)=L
Podmínka 2: ∃δ:K∈/g[P(A,δ)∩M]
Neplatí-li ani 1, ani 2, pak limita limx→Af(g)(x) neexistuje nebo se rovná f(K)=L.
Heineho definice spojitosti (t. 1, př. 6)
Funkce f:M→R je spojitá v bodě a∈M⊂R, právě když ∀(an)⊂M:liman=a⟹limf(an)=f(a).
Blumbergova definice spojitosti (v. 5, př. 6)
∀f:R→R∃M⊂R, že M je hustá v R a restrikce f∣M je spojitá funkce.
přičemž množina M je hustá v R, když (∀a∈R)(∀δ)(U(a,δ)∩M=∅)
restrikce je v podstatě omezení definičního oboru funkce
počet spojitých funkcí (v. 7, př. 6)
věta: ∃ bijekce h:R→C(R)
přičemž C(M):={f:M→R∣f je spojitaˊ}
tedy C(M) je množina spojitých reálných funkcí definovaných na M
derivace složené funkce (v. 18, př. 7)
Nechť a∈M je limitní bod množiny M⊂R, g:M→N je spojitá v a, s derivací g′(a)∈R∗ a taková, že g(a)∈N je limitní bod množiny N⊂R, a nechť f:N→R je funkce s derivací f′(g(a))∈R∗.
Pak složená funkce f(g):M→R má derivaci (f(g))′(a)=f′(g(a))⋅g′(a), není-li součin neurčitý, tj. není ani 0⋅(±∞), ani (±∞)⋅0.
derivace inverzní funkce (v. 19, př. 7)
Nechť a∈M je limitní bod množiny M⊂R, f:M→R je prostá funkce s derivací f′(a)∈R∗ a inverzní funkce f−1:f[M]→M je spojitá v b:=f(a).
Potom platí následující.
Když f′(a)∈R∖{0}, pak f−1 má derivaci (f−1)′(b)=f′(a)1=f′(f−1(b))1.
Když f′(a)=0 a f roste (resp. klesá) v bodě a, pak f−1 má derivaci (f−1)′(b)=+∞ (resp. −∞).
Když f′(a)=±∞ a b je limitní bod množiny f[M], pak f−1 má derivaci (f−1)′(b)=0.
l'Hospitalovo pravidlo (v. 7, př. 8)
Nechť A∈R,f,g:P+(A,δ)→R mají vlastní derivace, g′=0 a (1) limx→Af(x)=limx→Ag(x)=0 nebo (2) limx→Ag(x)=±∞.
Pak limx→Ag(x)f(x)=limx→Ag′(x)f′(x), pokud poslední limita existuje.
Věta platí i pro P−(A,δ), P(A,δ) a pro A=±∞.
konvexita a konkavita a f′′ (v. 12, př. 8)
Nechť I⊂R je interval, f:I→R je spojitá, D(f)=I0,∀c∈I0∃f′′(c)∈R∗.
f′′≥0⟹f je konvexní
f′′>0⟹f je ryze konvexní
opačné nerovnosti ⟹ (ryze) konkávní
I0 je vnitřek intervalu I vzniklý vynecháním koncových bodů intervalu I
Lagrangeův a Cauchyův zbytek Taylorova polynomu (v. 6, př. 9)
definujeme zbytek Taylorova polynomu jako Rnf,a(x):=f(x)−Tnf,a(x),x∈U(a,δ)
Mějme f,f′,…,f(n+1):U(a,δ)→R, kde n∈N.
Pak platí následující.
Lagrangeův zbytek: ∀x∈P(a,δ)∃c mezi a a x, že Rnf,a(x)=(n+1)!f(n+1)(c)⋅(x−a)n+1
Cauchyův zbytek: ∀x∈P(a,δ)∃c mezi a a x, že Rnf,a(x)=n!f(n+1)(c)⋅(x−c)n⋅(x−a)
Bellova čísla (t. 7, př. 9)
∀x∈(−1,1) platí rozvoj eex−1=exp(exp(x)−1)=∑n=0∞n!Bnxn, kde Bn je počet rozkladů n-prvkové množiny (B0:=1)
Riemann = Newton (dů. 6, př. 10)
Když je f:[a,b]→R spojitá a F:[a,b]→R je k ní primitivní, pak lim∥a∥→0R(a,t,f)=F(b)−F(a).
integrace substitucí (v. 15, př. 10)
Nechť I,J⊂R jsou netriviální intervaly, g:I→J,g′:I→R a f:J→R. Pak
(1) F=∫f na J⟹F(g)=∫f(g)⋅g′ na I
(2) když g je surjekce a g′=0, potom platí implikace
G=∫f(g)⋅g′ na I⟹G(g−1)=∫f na J
(N)∫ABf per partes (v. 4, př. 11)
Mějme f,g,F,G:(A,B)→R, kde A<B jsou v R∗, F je primitivní k f, G je primitivní ke g.
Pak (N)∫ABfG=[FG]AB−(N)∫ABFg platí vždy, když jsou definovány dva z těchto tří členů.
∫r(x) (v. 7, př. 11)
Pro všechny racionální funkce r(x) existuje funkce R(x) tvaru R(x)=r0(x)+∑i=1ksi⋅log(∣x−αi∣)+∑i=1lti⋅log(ai(x))+∑i=1mui⋅arctan(bi(x)), kde…
r0(x) je racionální funkce
k,l,m∈N0
prázdné ∑:=0
si,ti,ui∈R
αi∈Z(r(x)) (to je množina reálných kořenů jmenovatele)
ai(x) jsou ireducibilní trojčleny
bi(x)∈R[x] jsou nekonstantní lineární polynomy
… že na každém netriviálním intervalu I⊂R∖Z(r(x)) platí R(x)=∫r(x).
o restrikcích (t. 5, př. 12)
Jestliže a<b<c jsou reálná čísla a f:[a,c]→R, pak f∈R(a,c)⟺f∈R(a,b)∧f∈R(b,c).
Když obě strany ekvivalence platí, pak ∫acf=∫abf+∫bcf.
(výraz f∈R(a,c) znamená, že funkce f:[a,c]→R je riemannovsky integrovatelná)
Lebesgueova věta (v. 12, př. 12)
Pro každou f:[a,b]→R platí, že f∈R(a,b)⟺f je omezená a BN(f) má míru 0.
přičemž BN(f) je množina bodů nespojitosti funkce f
ZVA 2 (v. 17, př. 12)
základní věta analýzy 2
Nechť f,F:(a,b)→R, kde a<b, F je primitivní k f a f∈R(a,b).
Pak existují vlastní limity Fa:=limx→aF(x) a Fb:=limx→bF(x) a (R)∫abf=Fb−Fa=(N)∫abf.
Riemann = Darboux (t. 8, př. 13)
Mějme f:[a,b]→R.
Pak f∈R(a,b)⟺∫abf=∫abf∈R.
Když platí obě strany implikace, pak (R)∫abf=∫abf=∫abf.
HK. ∫ a N. ∫ (v. 12, př. 13)
Nechť a<b,F,f:[a,b]→R, F je spojitá a F′=f na (a,b).
Pak f∈HK(a,b) a (HK)∫abf=F(b)−F(a)=(N)∫abf.
délka grafu (v. 4, př. 14)
Nechť funkce f:[a,b]→R je spojitá a f′∈R(a,b).
Pak ℓ(Gf)=∫ab1+(f′)2∈(0,+∞).
integrální kritérium (dů. 14, př. 14)
Nechť m∈Z a f:[m,+∞)→R je nezáporná a nerostoucí.
Pak řada ∑n=m∞f(n) konverguje⟺limn→∞∫mnf<+∞.
Věty s důkazy
2∈/Q (v. 8, př. 1)
věta: Rovnice x2=2 nemá v oboru zlomků řešení.
důkaz
pro spor nechť (a/b)2=2 pro a,b∈N nesoudělná
a2=2b2
a2 je sudé ⟹a je sudé ⟹a=2c pro c∈N
(2c)2=2b2
4c2=2b2
b2=2c2
tedy i b je sudé ⟹a,b jsou soudělná, co je spor
Cantorova věta (v. 17, př. 1)
věta: Pro žádnou množinu X neexistuje surjekce f:X→P(X) z X na její potenci.
důkaz
pro spor nechť X→P(X) je surjekce
mějme množinu Y:={x∈X∣x∈/f(x)}
protože f je na, nutně existuje a∈X takové, že f(a)=Y
pokud a∈Y, podle definice Y platí, že a∈/f(a)=Y, což je spor
pokud a∈/Y=f(a), má a vlastnost definující množinu Y, tudíž a∈Y, což je spor
jednoznačnost limity (t. 4, př. 2)
tvrzení: Limita posloupnosti je jednoznačná. Tedy pokud liman=K a liman=L, pak K=L.
důkaz
nechť liman=K,liman=L a ε je libovolné
podle definice limity posloupnosti existuje n0, že n>n0⟹an∈U(K,ε) i an∈U(L,ε)
tedy ∀ε:U(K,ε)∩U(L,ε)=∅
tudíž K=L
Bolzano-Weierstrassova (v. 15, př. 2)
věta: Omezená posloupnost reálných čísel má vždy konvergentní podposloupnost.
důkaz
nechť (an) je omezená posloupnost a (bn)⪯(an) je její monotónní podposloupnost zaručená tvrzením o existenci monotónní podposloupnosti
patrně (bn) je omezená a podle věty o robustně monotónní podposloupnosti má limitu
limita a uspořádání (v. 6, př. 3)
věta
Nechť (an) a (bn) jsou dvě reálné posloupnosti s liman=K∈R∗ a limbn=L∈R∗. Platí následující.
(1) Když K<L, tak existuje n0, že pro každé dva (ne nutně stejné) indexy m,n≥n0 je am<bn.
(2) Když pro každé n0 existují indexy m a n, že m,n≥n0 a am≥bn, pak K≥L.
důkaz
nechť K<L
∃ε:U(K,ε)<U(L,ε)
podle definice limity máme n0, že m,n≥n0⟹am∈U(K,ε)∧bn∈U(L,ε)
tudíž m,n≥n0⟹am<bn
(2) je obměnou implikace (1)
Cauchyova podmínka (v. 17, př. 2)
věta: Posloupnost reálných čísel (an) je konvergentní, právě když (an) je Cauchyova.
důkaz ⟹
nechť liman=a a je dáno ε
pak existuje n0, že n≥n0⟹∣an−a∣<ε/2
m,n≥n0⟹∣am−an∣≤∣am−a∣+∣a−an∣<2ε+2ε=ε
z trojúhelníkové nerovnosti
důkaz ⟸
nechť (an) je Cauchyova posloupnost
lze dokázat, že každá Cauchyova posloupnost je omezená
podle Bolzano-Weierstrassovy věty má tudíž konvergentní podposloupnost (amn) s limitou a
pro dané ε tak máme n0, že n≥n0⟹∣amn−a∣>2ε a že m,n≥n0⟹∣am−an∣<ε/2
vždy mn≥n, takže n≥n0⟹∣an−a∣≤∣an−amn∣+∣amn−a∣<2ε+2ε=ε
tedy an→a
nutná podmínka konvergence řady (t. 2, př. 4)
tvrzení: Když řada ∑an konverguje, pak liman=0.
důkaz
když ∑an konverguje, pak S:=limsn∈R
sn=∑j=1naj
liman=lim(sn−sn−1)=limsn−limsn−1=S−S=0
harmonická řada (t. 3, př. 4)
tvrzení: Tzv. harmonická řada ∑n=1∞n1=1+21+31+… diverguje a má součet +∞.
důkaz
mějme řadu ∑an se sčítanci a1=21,a2=a3=41,a4=a5=a6=a7=81,…
nechť (hn) jsou částečné součty harmonické řady a (sn) jsou částečné součty řady ∑an
pak ∀n:n1>an, z čehož plyne ∀n:hn>sn
protože limsn=+∞ (berme jako fakt), podle věty o jednom strážníkovi i limhn=+∞ a ∑n1=+∞
Heineho definice (v. 14, př. 4)
tato věta ukazuje, jak redukovat limitu funkce na limity posloupností
věta
Nechť M⊂R,K,L jsou prvky R∗,K je limitní bod množiny M a f:M→R.
Pak limx→Kf(x)=L⟺(∀(an)⊂M∖{K})(liman=K⟹limf(an)=L).
Tedy L je limita funkce f v K, právě když pro každou posloupnost (an) v M, která má limitu K, ale nikdy se K nerovná, funkční hodnoty (f(an)) mají limitu L.
důkaz ⟹
předpokládejme, že limx→Kf(x)=L,(an)⊂M∖{K} má limitu K a je dáno ε
pak existuje δ, že pro každé x∈M∩P(K,δ) je f(x)∈U(L,ε)
pro toto δ existuje n0, že n≥n0⟹an∈P(K,δ)∩M
tedy n≥n0⟹f(an)∈U(L,ε) a f(an)→L
důkaz ⟸ obměnou
předpokládejme, že limx→Kf(x)=L neplatí (a odvodíme, že pravá strana ekvivalence neplatí)
takže existuje ε>0, že pro každé δ>0 existuje bod b=b(δ)∈M∩P(K,δ), že f(b)∈/U(L,ε)
položíme δ=n1 pro n∈N a pro každé n vybereme takový bod bn (podle předpisu výše)
posloupnost (bn) leží v M∖{K} a konverguje ke K, ale posloupnost hodnot (f(bn)) nekonverguje k L, pravá strana ekvivalence tedy neplatí
aritmetika limit funkcí (v. 11, př. 5)
věta
Nechť M⊂R,A,K,L∈R∗,A je limitní bod množiny M, funkce f,g:M→R mají limity limx→Af(x)=K, limx→Ag(x)=L a výraz K+L, KL, respektive K/L není neurčitý. Pak…
limx→A(f(x)+g(x))=K+L
limx→Af(x)g(x)=KL
limx→Ag(x)f(x)=LK, kde pro g(x)=0 klademe g(x)f(x):=0
důkaz podílu (ostatní důkazy jsou podobné)
nechť (an)⊂M∖{A} s liman=A
podle Heineho definice limity funkce platí limf(an)=K a limg(an)=L
předpokládáme, že L=0, takže g(an)=0 pro každé n≥n0, a že oba prvky K,L nejsou nekonečna
podle věty o aritmetice limit posloupností tedy platí limg(an)f(an)=limg(an)limf(an)=LK
to platí pro každou posloupnost (g(an)f(an)) s (an) jako výše
tudíž podle Heineho definice limity funkce platí limx→Ag(x)f(x)=LK
nabývání mezihodnot (v. 8, př. 6)
věta: Nechť a,b,c∈R,a<b,f:[a,b]→R je spojitá funkce a f(a)<c<f(b) nebo f(a)>c>f(b). Pak ∃d∈(a,b):f(d)=c.
důkaz
předpokládejme, že f(a)<c<f(b) (případ s opačnými nerovnostmi je podobný)
nechť A:={x∈[a,b]∣f(x)<c} a d:=sup(A)∈[a,b]
d je korektně definované, protože A je neprázdná (a∈A) a shora omezená (např. b je její horní mez)
ukážeme, že f(d)<c i f(d)>c vede ke sporu, takže f(d)=c
ze spojitosti f v a i b plyne, že d∈(a,b)
nechť f(d)<c
ze spojitosti f v d plyne, že ∃δ:x∈U(d,δ)∩[a,b]⟹f(x)<c
pak ale A obsahuje čísla větší než d, což je ve sporu s tím, že d je horní mez množiny A
naopak z opačné nerovnosti f(d)>c by obdobným způsobem plynulo, že každé x∈[a,d) dostatečně blízké d leží mimo A, což je ve sporu s tím, že d je nejmenší horní mez množiny A
princip minima a maxima (v. 13, př. 6)
věta
Nechť M⊂R je neprázdná kompaktní množina a f:M→R je spojitá funkce.
Pak existují takové body a,b∈M, že ∀x∈M:f(a)≤f(x)≤f(b).
Řekneme, že f nabývá na M v bodu a minimum f(a) a v bodu b maximum f(b).
důkaz
dokážeme existenci maxima, důkaz minima je podobný
patrně f[M]=∅
ukážeme, že tato množina je shora omezená
kdyby nebyla, existovala by posloupnost (an)⊂M, že limf(an)=+∞
podle kompaktnosti existuje konvergentní podposloupnost (amn) s limitou a∈M
pokud f[M] není shora omezená, tak limf(amn)=+∞
to je spor s Heineho definicí spojitosti (má platit limf(amn)=f(a))
lze tedy definovat s:=sup(f[M])∈R
podle definice suprema existuje (an)⊂M s limf(an)=s
díky kompaktnosti existuje konvergentní podposloupnost (amn) s limitou b∈M
podle Heineho definice spojitosti platí limf(amn)=f(b)=s
protože s=f(b) je horní mez f[M], platí f(b)≥f(x) pro každé x∈M
nutná podmínka extrému (v. 4, př. 7)
věta
Nechť b∈M je oboustranný limitní bod M⊂R, f:M→R, ∃f′(b)∈R∗ a f′(b)=0.
Pak (∀δ)(∃c,d∈U(b,δ)∩M)(f(c)<f(b)<f(d)) – funkce f nemá v bodě b lokální extrém.
důkaz
nechť f′(b)<0 (případ s opačnou nerovností je podobný)
vezmeme tak malé ε, že ∀y∈U(f′(b),ε):y<0
podle definice derivace funkce v bodu existuje takové θ, že x∈P(b,θ)∩M⟹x−bf(x)−f(b)∈U(f′(b),ε)
pro x∈P−(b,θ)∩M platí x<b, tedy x−b<0, proto (díky zápornosti zlomku) f(x)−f(b)>0, tudíž f(x)>f(b)
podobně pro x>b platí f(x)<f(b)
můžeme předpokládat, že θ≤δ a vzít jakékoli c∈P+(b,θ)∩M a d∈P−(b,θ)∩M
c,d nutně existují díky tomu, že b je oboustranný limitní bod
Leibnizův vzorec (v. 16, př. 7)
věta: Nechť b∈M je limitní bod množiny M⊂R, f,g:M→R a f nebo g je spojitá v b. Pak (fg)′(b)=f′(b)⋅g(b)+f(b)⋅g′(b), když pravá strana není neurčitý výraz.
důkaz
nechť je g spojitá v b (druhý případ s f je symetrický)
podle předpokladů a podle aritmetiky limit funkcí platí
z indukčního předpokladu plyne, že q(x) je nulový polynom
důkaz věty
indukcí podle n dokážeme, že limx→b(x−b)nf(x)−Tnf,b(x)=0
pro n=1 podle aritmetiky limit funkcí limx→b(x−b)nf(x)−T1f,b(x)=limx→bx−bf(x)−f(b)−limx→bf′(b)=f′(b)−f′(b)=0
pro n≥2 podle l'Hospitalova pravidla x→blim(x−b)nf(x)−Tnf,b(x)=n1x→blim(x−b)n−1f′(x)−Tn−1f′,b(x)=n1⋅0=0
derivaci Taylorova polynomu zde berme jako fakt
nechť p(x)∈R[x] s degp≤n splňuje, že limx→b(x−b)nf(x)−p(x)=0
pak limx→b(x−b)np(x)−Tnf,b(x)=limx→b(x−b)np(x)−f(x)+limx→b(x−b)nf(x)−Tnf,b(x)=0+0=0
z lemmatu plyne p(x)−Tnf,b(x)=0⟹p(x)=Tnf,b(x)
nejednoznačnost primitivní funkce (v. 9, př. 9)
věta: Nechť I⊂R je netriviální interval, F1,F2,f:I→R a F1 i F2 je primitivní k f. Pak existuje c∈R, že F1−F2=c na I.
důkaz
podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě použité pro funkci F1−F2 a interval [a,b] existuje c∈(a,b), že b−a(F1−F2)(b)−(F1−F2)(a)=(F1−F2)′(c)=F1′(c)−F2′(c)=f(c)−f(c)=0
tedy F1(b)−F2(b)=F1(a)−F2(a)
takže F1(x)−F2(x)=c pro nějakou konstantu c a každé x∈I
monotonie (N)∫ (t. 8, př. 10)
tvrzení: Když f,g∈N(a,b) a f≤g na (a,b), pak (N)∫abf≤(N)∫abg.
důkaz
nechť F je primitivní k f, G ke g
čísla c<d v (a,b) buďte libovolná
použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro funkci F−G a intervalu [c,d]
pro nějaký bod e∈(c,d) platí (F(d)−G(d))−(F(c)−G(c))=(F−G)′(e)⋅(d−c)=(f(e)−g(e))⋅(d−c)≤0
protože f≤g a d−c>0
proto F(d)−F(c)≤G(d)−G(c)
tato nerovnost se zachová při limitních přechodech c→a a d→b, čímž dostáváme požadovanou nerovnost
derivace jsou Darbouxovy (v. 12, př. 10)
definice: f:M→R, kde M⊂R, má Darbouxovu vlastnost, pokud pro každý interval I⊂M je obraz f[I] interval.
věta: I je netriviální interval a f:I→R má primitivní funkci ⟹f má Darbouxovu vlastnost.
důkaz
mějme a<b, f,F:[a,b]→R, F je primitivní k f
nechť f(a)<c<f(b) (případ s opačnými nerovnostmi je podobný)
uvážíme G(x):=F(x)−cx:[a,b]→R
patrně G′=F′−c=f−c na [a,b], tudíž G je spojitá
podle principu minima a maxima nabývá G v nějakém d∈[a,b] minimum
z G′(a)=f(a)−c<0 a G′(b)=f(b)−c>0 plyne, že d∈(a,b)
podle věty o nutné podmínce extrému musí platit G′(d)=f(d)−c=0, takže f(d)=c
Bachetova identita (t. 10, př. 11)
tvrzení: Nechť p,q∈R[x] nemají společný kořen, tj. pro žádné z∈C neplatí, že p(z)=q(z)=0. Pak ∃r,s∈R[x], že r(x)⋅p(x)+s(x)⋅q(x)=1.
důkaz
mějme p(x) a q(x), jak je uvedeno, a S:={r(x)⋅p(x)+s(x)⋅q(x)∣r(x),s(x)∈R[x]}
nechť polynom t(x)∈S, t(x)=0, má nejmenší stupeň
libovolný a(x)∈S jím dělíme se zbytkem: a(x)=t(x)⋅b(x)+c(x)
kde b(x),c(x)∈R[x] a degc(x)<degt(x) nebo c(x)=0
ale c(x)=a(x)−b(x)⋅t(x)∈S (berme jako fakt)
polynom c(x) je tedy nulový a a(x)=b(x)t(x), takže t(x) dělí každý prvek v S
ale p(x),q(x)∈S a t(x) je oba dělí
protože p(x) a q(x) nemají společný kořen, podle základní věty algebry je t(x) nenulový konstantní polynom
BÚNO t(x)=1
tedy 1∈S a máme uvedenou identitu
neomezené funkce jsou špatné (t. 8, př. 12)
tvrzení: Je-li funkce f:[a,b]→R neomezená, pak f∈/R(a,b).
důkaz
předpokládám, že f je neomezená
ukážeme, že ∀n∃(a,t):∥a∥<n1∧∣R(a,t,f)∣>n
to je v rozporu s Cauchyho podmínkou pro riemannovskou integrovatelnost funkce f
z neomezenosti f a z kompaktnosti [a,b] plyne existence konvergentní posloupnosti (bn)⊂[a,b] s limitou limbn=α∈[a,b] a s limitou lim∣f(bn)∣=+∞
nechť je dáno n∈N
jako a vezmeme libovolné dělení s ∥a∥<n1, přičemž existuje jediný index j, že α∈[aj−1,aj]
vybereme libovolné body ti∈[ai−1,ai] pro každé i=j