Zkouška

• funkce $f$ z množiny $A$ do množiny $B$ je každá taková uspořádaná trojice $(A,B,f)$, že $f\subset A\times B$ a pro každé $a\in A$ existuje právě jedno $b\in B$, že $afb$
  • píšeme, že $f:A\to B$ a že $f(a)=b$
• funkce $f:X\to Y$ je prostá, když $f(x)=f(x')\implies x=x'$
• funkce $f:X\to Y$ je na, když $f[X]=Y$
• $f$ je bijekce (vzájemně jednoznačná), když je na a je prostá

• $(A,\lt)$ buď lineární uspořádání a nechť $B\subset A$
• prvky $\sup(B):=\min(H(B))$ a $\inf(B):=\max(D(B))$ v $A$, existují-li, nazveme supremem a infimem množiny $B$
  • $H(B)$ je množina horních mezí, tedy prvků $h\in A$ takových, že $\forall b\in B: b\leq h$
  • obdobně je $D(B)$ množina dolních mezí

• $X$ je nekonečná, když existuje prostá funkce $f:\mathbb N\to X$
• $X$ je konečná, když není nekonečná
• $X$ je spočetná, když existuje bijekce $f:\mathbb N\to X$
• $X$ je nejvýše spočetná, je-li konečná nebo spočetná
• $X$ je nespočetná, když není nejvýše spočetná

• nechť $(a_n)$ je reálná posloupnost a $L \in \mathbb R^*$
• pokud $\forall\varepsilon\,\exists n_0\,(n\geq n_0\implies a_n\in U(L,\varepsilon))$, píšeme, že $\lim a_n=L$ nebo $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ nebo $a_n\to L$, a řekneme, že posloupnost $(a_n)$ má limitu $L$
• pro $L\in \mathbb R$ mluvíme o vlastní limitě a pro $L=\pm\infty$ o limitě nevlastní
• posloupnost, která má vlastní limitu, konverguje (pokud ji nemá, tak diverguje)

• nechť $A\in \mathbb R^*$ a $(a_n)\subset\mathbb R$; řekneme, že $A$ je hromadný bod posloupnosti $(a_n)$, je-li limitou nějaké její podposloupnosti; $H(a_n)$ je množina těchto hromadných bodů
• limes inferior a limes superior dané posloupnosti $(a_n)$ definujeme po řadě jako $\liminf a_n :=\min(H(a_n))$ a $\limsup a_n:=\max(H(a_n))$

• (nekonečnou) řadou rozumíme posloupnost $(a_n)\subset\mathbb R$
• jejím součtem rozumíme limitu $\sum a_n=\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+\dots := \lim(a_1+a_2+\dots+a_n)$, když existuje
• posloupnost $(a_1+a_2+\dots+a_n)$ sestává z takzvaných částečných součtů (řady)
• má-li řada vlastní součet, pak konverguje, jinak diverguje

• geometrické řady jsou řady $\sum_{n=0}^\infty q^n=1+q+q^2+\dots$ s parametrem $q\in\mathbb R$ zvaným kvocient
• mějme částečný součet $s_n:=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}$
  • $qs_n=q+q^2+q^3+\dots+q^n$
  • $s_n=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}$
  • $qs_n-s_n=q^n-1$
  • $s_n=\frac{q^n-1}{q-1}=\frac 1{1-q}+\frac{q^n}{q-1}$
  • pak stačí určit $\lim s_n$ pro dané $q$
• $\sum^\infty_{n=0}q^n\begin{cases} =+\infty & \text{pro }q\geq 1 \\ =\frac{1}{1-q} & \text{pro }|q|\lt 1 \\ \text{neexistuje} & \text{pro }q\leq -1 \end{cases}$
• řada $\sum a_n$ je absolutně konvergentní, konverguje-li řada $\sum |a_n|$

• okolí, prstencové okolí, levé/pravé (prstencové) okolí (pro $b,\varepsilon\in\mathbb R$)
  • $U(b,\varepsilon):=(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$
  • $P(b,\varepsilon):=(b-\varepsilon,b)\cup (b,b+\varepsilon)$
  • $U(+\infty,\varepsilon):=(1/\varepsilon,+\infty)$, podobně pro $-\infty$ ($P$ se definuje stejně)
  • $U^-(b,\varepsilon):=(b-\varepsilon,b]$, podobně $U^+$ ($P^-$ a $P^+$ mají otevřený interval)
• limitní bod
  • prvek $L\in\mathbb R^*$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$, když $\forall\varepsilon:P(L,\varepsilon)\cap M\neq\emptyset$
• jednostranný limitní bod
  • bod $b\in\mathbb R$ je levým limitním bodem množiny $M\subset\mathbb R$, pokud $\forall\varepsilon: P^-(b,\varepsilon)\cap M\neq \emptyset$ (podobně se zavádí pravý limitní bod)
• oboustranný limitní bod
  • bod $b\in M$ je oboustranný limitní bod (OLB) množiny $M\in\mathbb R$, pokud $\forall\varepsilon: P^-(b,\varepsilon)\cap M\neq\emptyset\land P^+(b,\varepsilon)\cap M\neq\emptyset$
• limita
  • nechť $A,L\in\mathbb R^*,\,M\subset\mathbb R,\,A$ je limitní bod množiny $M$ a $f:M\to\mathbb R$ je funkce
  • pokud $\forall\varepsilon\,\exists\delta:f[P(A,\delta)\cap M]\subset U(L,\varepsilon)$, píšeme $\lim_{x\to A}f(x)=L$ a řekneme, že funkce $f$ má v $A$ limitu $L$
• limita zleva (obdobně zprava)
  • nechť $A,L\in\mathbb R^*,\,M\subset\mathbb R,\,A$ je levý limitní bod množiny $M$ a $f:M\to\mathbb R$ je funkce
  • pokud $\forall\varepsilon\,\exists\delta:f[P^-(A,\delta)\cap M]\subset U(L,\varepsilon)$, píšeme $\lim_{x\to A^-}f(x)=L$ a řekneme, že funkce $f$ má v bodě $A$ limitu zleva rovnou $L$

• pro každé $x\in\mathbb R$ položíme $e^x=\exp(x):=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+{x^2\over 2}+{x^3\over 6}+\dots:\mathbb R\to \mathbb R$
• $\log := \exp^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R$
• $\forall t\in\mathbb R$ nechť $\cos t:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}$ a $\sin t:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}$

• nechť $a\in M\subset\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$
• funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, když $\forall\varepsilon\,\exists\delta: f[U(a,\delta)\cap M]\subset U(f(a),\varepsilon)$
• jinak je $f$ v bodě $a$ nespojitá
• funkce $f$ je zleva spojitá v bodě $a$, když $\forall\varepsilon\,\exists\delta:f[U^-(a,\delta)\cap M]\subset U(f(a),\varepsilon)$
• obdobně se definuje spojitost zprava

• $O$
  • nechť je $M\subset\mathbb R,\,f,g:M\to\mathbb R$ a $N\subset M$
  • pokud $(\exists c\geq 0)(\forall x\in N)(|f(x)|\leq c\cdot |g(x)|)$, píšeme $f(x)=O(g(x))\;(x\in N)$ a řekneme, že funkce $f$ je na množině $N$ velké $O$ z funkce $g$
• $o,\,\sim$
  • nechť $A\in\mathbb R^*$ je limitní bod množiny $M\in\mathbb R,\,f,:M\to\mathbb R$ jsou funkce a $(\exists\delta)(\forall x\in P(A,\delta)\cap M)(g(x)\neq 0)$
  • když $\lim_{x\to A}\frac{f(x)}{g(x)}=0\implies f(x)=o(g(x))\;(x\to A)$
    • pro $x$ jdoucí k $A$ je $f$ malé $o$ z $g$
  • když $\lim_{x\to A} \frac{f(x)}{g(x)}=1\implies f(x)\sim g(x)\;(x\to A)$
    • pro $x$ jdoucí k $A$ se $f$ asymptoticky rovná $g$

• množina $M\subset\mathbb R$ je kompaktní, když každá posloupnost $(a_n)\subset M$ má konvergentní podposloupnost $(a_{m_n})$ s $\lim a_{m_n}\in M$
• množina $M\subset\mathbb R$ je otevřená, když $(\forall a\in M)(\exists\delta)(U(a,\delta)\subset M)$
• množina $M\subset\mathbb R$ je uzavřená, když je $\mathbb R\setminus M$ otevřená

• nechť je $a\in M\subset\mathbb R$ a nechť $f:M\to \mathbb R$
• funkce $f$ má na $M$ v bodu $a$ globální maximum, když $\forall x\in M: f(x)\leq f(a)$
• funkce $f$ má na $M$ v bodu $a$ lokální maximum, když $(\exists\delta)(\forall x\in U(a,\delta)\cap M)(f(x)\leq f(a))$
• obdobně se definují minima
• platí-li pro každé $x\neq a$ tyto nerovnosti jako ostré, jde o ostré globální/lokální maximum/minimum

• nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ a $f:M\to \mathbb R$ je funkce
• definujeme $f'(a)=\frac{df}{dx}(a):=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a řekneme, že tato limita $f'(a)=\frac{df}{dx}(a)\in\mathbb R^*$ je derivace funkce $f$ v bodě $a$
• jednostranné derivace $f'_-,f'_+$ se definují podobně, akorát se používají limity zleva/zprava

• nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$ je diferencovatelná v $a$ (má tam vlastní derivaci)
• tečnou ke $G_f$ (grafu funkce $f$) v bodě $(a,f(a))\in G_f$ rozumíme přímku $\ell: y=f'(a)\cdot (x-a)+f(a)$
• je to jediná přímka se sklonem $f'(a)$ procházející bodem $(a,f(a))$

• nechť $\emptyset\neq M\subset\mathbb R$ je otevřená množina, $f:M\to\mathbb R,\,f_0:=f$ a pro $i=1,2,\dots,n\in\mathbb N$ platí, že $D(f_{i-1})=M$ a $f_i:=(f_{i-1})'$
  • kde $D(f)$ je definiční obor $f'$
• pak každou funkci $f^{(i)}:=f_i:M\to\mathbb R,\,i=1,2,\dots,n$ nazveme derivací řádu $i$ funkce $f$ či její $i$-tou derivací

• $I\subset\mathbb R$ je interval
• $\kappa(a,f(a),c,f(c))$ je sečna $G_f$ jdoucí body $(a,f(a))$ a $(c,f(c))$
• funkce $f:I\to\mathbb R$ je na $I$ konvexní, pokud $\forall(a\lt b\lt c)\subset I: (b,f(b))\leq\kappa(a,f(a),c,f(c))$
• pomocí ostré nerovnosti se definuje ostře konvexní funkce
• pomocí opačné nerovnosti se definuje (ostře) konkávní funkce

• nechť $a\in M$ je oboustranný limitní bod $M\subset\mathbb R$ a $\ell$ je tečna ke $G_f$ v $(a,f(a))$
• tento bod je inflexním bodem grafu funkce $f$, pokud $(\exists\delta)(x\in P^-(a,\delta)\cap M)(x'\in P^+(a,\delta)\cap M):$ $((x,f(x))\leq \ell\land (x',f(x'))\geq \ell)$
• nebo platí opačné nerovnosti

• svislé asymptoty
  • nechť $b\in \mathbb R$ je levý limitní bod $M\subset\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$
  • když $\lim_{x\to b^-}f(x)=\pm\infty$, nazveme přímku $x=b$ levou asymptotou funkce $f$
  • pravé asymptoty se definují podobně
• asymptoty v nekonečnu
  • nechť $M\subset\mathbb R,\,+\infty$ je limitní bod $M,\,s,b,\in\mathbb R$ a $f:M\to\mathbb R$
  • když $\lim_{x\to+\infty}(f(x)-sx-b)=0$, nazveme přímku $y=sx+b$ asymptotou funkce $f$ v $+\infty$
  • asymptoty v $-\infty$ se definují podobně

• Taylorův polynom
  • mějme $n\in\mathbb N$, přičemž $f,f',f'',\dots,f^{(n-1)}:U(b,\delta)\to\mathbb R$ a $\exists f^{(n)}(b)\in\mathbb R$
  • polynom $$T^{f,b}_n(x):=\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(b)}{j!}(x-b)^j$$ nazveme Taylorovým polynomem funkce $f$ řádu $n$ se středem v čísle $b$
• Taylorova řada
  • nechť $f^{(n)}:U(a,\delta)\to\mathbb R$ pro každé $n\in\mathbb N_0$
  • pokud pro každé $x\in U(a,\delta)$ platí $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ – řekneme, že na $U(a,\delta)$ je funkce $f$ součtem své Taylorovy řady se středem $a$

• nechť $I\subset\mathbb R$ je netriviální interval a $F,f:I\to\mathbb R$
• řekneme, že $F$ je primitivní funkce k $f$, symbolicky $F=\int f$, pokud $F'=f$ na celém $I$
• někdy se $F$ také nazývá antiderivací funkce $f$

pro $M\subset \mathbb R$ je funkce $f:M\to\mathbb R$ (na $M$) stejnoměrně spojitá, pokud $\forall\varepsilon\,\exists\delta: a,b\in M\land |a-b|\leq\delta\implies |f(a)-f(b)|\leq\varepsilon$

• když $f:(a,b)\to\mathbb R$ (přičemž $a\lt b$) má primitivní funkci $F$ a existují vlastní limity $F(a):=\lim_{x\to a}F(x)$ a $F(b):=\lim_{x\to b}F(x)$, definujeme Newtonův integrál funkce $f$ na intervalu $(a,b)$ jako jejich rozdíl $$(\text{N})\int_a^bf:=F(b)-F(A)=\lim_{x\to b}F(x)-\lim_{x\to a}F(x)$$
• pak plochu $A_f$ oblasti $G_{\leq f}$ definujeme jako $A_f:=(\text{N})\int_a^bf$
• pro $b\lt a$ klademe $(\text{N})\int_a^bf:=-(\text{N})\int_b^af$
• dále vždy definujeme $(\text{N})\int_a^af:=0$
• rozšířený (nevlastní) Newtonův integrál funkce $f:(a,b)\to\mathbb R$ definujeme jako $(\text{N}_e)\int_a^bf:=[F]_a^b$ pro libovolnou zobecněnou antiderivaci $F:(a,b)\to\mathbb R$ funkce $f$, přičemž zobecněná antiderivace funkce $f:I\to\mathbb R$ pro netriviální interval $I$ se definuje jako $F:I\to\mathbb R$, pokud $F$ je spojitá a $F'(x)=f(x)$ platí pro každé $x\in I$ s konečně mnoha výjimkami

• dělením $\overline a$ intervalu $I$ rozumíme každou takovou $(k+1)$-tici bodů $\overline a=(a_0,a_1,\dots,a_k),\,k\in\mathbb N$, že $a=a_0\lt a_1\lt\dots\lt a_{k-1}\lt a_k=b$
  • jeho norma $\Vert\overline a\Vert\in[0,+\infty)$ je největší délka $a_i-a_{i-1}$ podintervalu (formálně $\Vert\overline a\Vert=\max(\lbrace a_i-a_{i-1}\mid i\in [k]\rbrace)$)
• dělení intervalu $I$ s body je každá taková dvojice $(\overline a, \overline t)$, že $\overline a$ je dělení intervalu $I$ a $k$-tice $\overline t=(t_1,\dots,t_k)$ splňuje $\forall i\in[k]:t_i\in [a_{i-1},a_i]$
• Riemannův součet pro $f$ a $(\overline a,\overline t)$
  • $R(\overline a,\overline t,f):=\sum_{i=1}^k(a_i-a_{i-1})\cdot f(t_i)$
• Riemannův integrál
  • funkce $f:[a,b]\to\mathbb R$ (přičemž $a\lt b$) je riemannovsky integrovatelná, psáno $f\in \text{R}(a,b)$, pokud $\exists c\,\forall\varepsilon\,\exists\delta\,\forall(\overline a,\overline t)$ platí, že $\Vert\overline a\Vert\lt\delta\implies|R(\overline a,\overline t,f)-c|\lt\varepsilon$
  • pak také píšeme $(\text{R})\int_a^bf=c$ nebo $(\text{R})\int_a^bf(x)\,dx=c$ a řekneme, že (Riemannův) integrál funkce $f$ přes interval $[a,b]$ se rovná $c$
• množina míry 0
  • množina $M\subset\mathbb R$ má míru nula, pokud pro každé $\varepsilon$ existují takové intervaly $[a_n,b_n],\,n\in\mathbb N$ a $a_n\lt b_n$, že $$M\subset\bigcup_{n=1}^\infty[a_n,b_n]\land\sum_{n=1}^\infty(b_n-a_n)\lt\varepsilon$$
  • jinými slovy jde o množinu, kterou lze pokrýt spočetným sjednocením intervalů s libovolně malou celkovou délkou
  • každá nejvýše spočetná množina má míru 0
  • žádný netriviální interval nemá míru 0

• kalibry
  • nechť $a\lt b$ jsou v $\mathbb R$
  • funkci $\delta_c:[a,b]\to(0,+\infty)$ nazveme kalibrem (na $[a,b]$)
  • dělení s body $(\overline a,\overline t)$ intervalu $[a,b]$ nazveme $\delta_c$-jemným, pokud $\forall i\in[k]:a_i-a_{i-1}\lt \delta_c(t_i)$
• $f:[a,b]\to\mathbb R$ je HK-integrovatelná, symbolicky psáno $f\in \text{HK}(a,b)$, pokud $\exists c\,\forall\varepsilon\,\exists\delta_c$, kalibr na $[a,b]$, že pro všechna dělení s body $(\overline a,\overline t)$ na intervalu $[a,b]$ platí, že $(\overline a,\overline t)$ je $\delta_c$-jemné $\implies |R(\overline a,\overline t,f)-c|\lt\varepsilon$
• pak také píšeme $(\text{HK})\int_a^bf=c$ nebo $(\text{HK})\int_a^bf(x)\,dx=c$ a řekneme, že Henstock-Kurzweilův integrál funkce $f$ přes interval $[a,b]$ se rovná $c$

• délka lomené čáry vepsané do $G_f$
  • $L(\overline a,f):=\sum_{i=1}^k|u_{i-1}u_i|$
  • přičemž $u_j := (a_j,f(a_j))$, $|uv|=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2}$
• délka grafu funkce $f:[a,b]\to\mathbb R$
  • $\ell(G_f):=\sup(\lbrace L(\overline a,f)\mid \overline a$ je dělení intervalu $[a,b]\rbrace)$
  • podle vzorce platí $\ell(G_f)=\int_a^b\sqrt{1+(f')^2}\in(0,+\infty)$
• plocha sloupcového grafu s nejnižšími sloupci, které pokrývají $G_{f,g}$
  • $M(f,g,\overline a):=\sum_{i=1}^k|I_i|\cdot(\sup(g[I_i])-\inf(f[I_i]))\in\mathbb R^*\,(\geq 0)$
  • přičemž $I_i:=[a_{i-1},a_i],\,|I_i|:=a_i-a_{i-1}$
• plocha mezi grafy funkcí $f,g:[a,b]\to\mathbb R,\,f\leq g$
  • $A(G_{f,g}):=\inf(\lbrace M(f,g,\overline a)\mid\overline a$ je dělení intervalu $[a,b]\rbrace)$
  • podle vzorce platí $A(G_{f,g})=\int_a^b(g-f)$
• objem kotoučů
  • $K(\overline a,f):=\pi \sum_{i=1}^k|I_i|\cdot \sup(f[I_i])^2$
• objem tělesa vzniklého rotací funkce $f:[a,b]\to[0,+\infty)$
  • $V(T_f):=\inf(\lbrace K(f,\overline a)\mid\overline a$ je dělení intervalu $[a,b]\rbrace)$
  • podle vzorce platí $V(T_f)=\pi\int_a^bf^2$

• Reálná čísla tvoří množinu $\mathbb R:=C/\sim$
  • $C$ je množina všech Cauchyových posloupností zlomků
  • posloupnost $(a_n)\subset\mathbb Q$ je Cauchyova, když $\forall k\,\exists n_0:m,n\geq n_0\implies|a_m-a_n|\leq 1/k$
    • vzdálenost mezi členy posloupnosti se postupně zmenšuje na libovolně malou hodnotu
  • relaci shodnosti $\sim$ na $C$ definujeme takto: $(a_n)\sim(b_n)$, když $(\forall k\,\exists n_0:n\geq n_0\implies|a_n-b_n|\leq 1/k)$
• $(\mathbb R,0,1,+,\cdot,\lt)$ je uspořádané těleso.

• $(a_n)$ buď libovolná reálná posloupnost a $A\in\mathbb R^*$. Platí následující.
  • $(a_n)$ má podposloupnost, která má limitu.
  • $(a_n)$ nemá limitu $\iff (a_n)$ má dvě podposloupnosti s dvěma různými limitami.
  • Neplatí, že $\lim a_n=A\iff(a_n)$ má podposloupnost, jež má limitu různou od $A$.

Každá posloupnost reálných čísel má monotónní podposloupnost.

Nechť $q\in\mathbb R$. Potom $$\lim_{n\to\infty}q^n\begin{cases}=0 & \text{pro }|q|\lt 1 \\ =1 & \text{pro }q=1 \\ =+\infty & \text{pro }q\gt 1 \\ \text{neexistuje} & \text{pro } q\leq -1\end{cases}$$

Pro každou $(a_n)\subset\mathbb R$ je množina $H(a_n)$ neprázdná. V lineárním uspořádání $(\mathbb R^*,\lt)$ má minimum i maximum.

• Uvažme harmonická čísla $h_n=\sum_{j=1}^n1/j$.
• Pak existuje konstanta $c\gt 0$, že pro každé $n\in\mathbb N$ se $h_n=\log n+\gamma+\Delta_n,\;|\Delta_n|\leq\frac cn$, kde $\gamma=0.577\dots$ je tzv. Eulerova konstanta.

• Nechť pro řadu $\sum^\infty_{n=1}a_n$ platí:
  • $\lim a_n=0$
  • $\sum a_{k_n}=+\infty$, kde $a_{k_n}$ jsou kladné sčítance řady
  • $\sum a_{z_n}=-\infty$, kde $a_{z_n}$ jsou záporné sčítance řady
• Pak pro každé $S\in\mathbb R^*$ existuje taková bijekce $\pi:\mathbb N\to\mathbb N$, že $\sum_{n=1}^\infty a_{\pi(n)}=S$.
• Jinými slovy, přeházením sčítanců řady můžeme dostat libovolné číslo.

• Riemannova funkce je spojitá právě a jenom v iracionálních číslech.
• přičemž Riemannova funkce $r:\mathbb R\to\set{0}\cup\set{\frac 1n\mid n\in\mathbb N}$ je definovaná jako $r(x)=\begin{cases}0 & \text{pro iracionální } x \\ \frac 1n & \text{pro }x=\frac mn\in\mathbb Q\end{cases}$
  • $\frac mn$ je zlomek v základním tvaru

• Nechť $A,K,L\in\mathbb R^*$ a $M,N\subset\mathbb R,\,A$ je limitní bod $M,\,K$ je limitní bod $N$ a funkce $g:M\to N$ a $f:N\to\mathbb R$ mají limity $\lim_{x\to A}g(x)=K$ a $\lim_{x\to K}f(x)=L$.
• Pak složená funkce $f(g):M\to\mathbb R$ má limitu $\lim_{x\to A}f(g)(x)=L\iff$ platí podmínka 1 nebo podmínka 2.
  • Podmínka 1: $K\in N\implies f(K)=L$
  • Podmínka 2: $\exists\delta: K\notin g[P(A,\delta)\cap M]$
• Neplatí-li ani 1, ani 2, pak limita $\lim_{x\to A}f(g)(x)$ neexistuje nebo se rovná $f(K)\neq L$.

Funkce $f:M\to\mathbb R$ je spojitá v bodě $a\in M\subset\mathbb R$, právě když $\forall (a_n)\subset M:\lim a_n=a\implies \lim f(a_n)=f(a)$.

• $\forall f:\mathbb R\to\mathbb R\;\exists M\subset\mathbb R$, že $M$ je hustá v $\mathbb R$ a restrikce $f\mid M$ je spojitá funkce.
• přičemž množina $M$ je hustá v $\mathbb R$, když $(\forall a\in \mathbb R)(\forall \delta)(U(a,\delta)\cap M\neq \emptyset)$
• restrikce je v podstatě omezení definičního oboru funkce

• věta: $\exists$ bijekce $h:\mathbb R\to C(\mathbb R)$
• přičemž $C(M):=\set{f:M\to\mathbb R\mid f \text{ je spojitá}}$
  • tedy $C(M)$ je množina spojitých reálných funkcí definovaných na $M$

• Nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$, $g:M\to N$ je spojitá v $a$, s derivací $g'(a)\in\mathbb R^*$ a taková, že $g(a)\in N$ je limitní bod množiny $N\subset \mathbb R$, a nechť $f:N\to\mathbb R$ je funkce s derivací $f'(g(a))\in\mathbb R^*$.
• Pak složená funkce $f(g):M\to\mathbb R$ má derivaci $(f(g))'(a)=f'(g(a))\cdot g'(a)$, není-li součin neurčitý, tj. není ani $0\cdot (\pm\infty)$, ani $(\pm\infty)\cdot 0$.

• Nechť $a\in M$ je limitní bod množiny $M\subset\mathbb R$, $f:M\to\mathbb R$ je prostá funkce s derivací $f'(a)\in\mathbb R^*$ a inverzní funkce $f^{-1}:f[M]\to M$ je spojitá v $b:=f(a)$.
• Potom platí následující.
  • Když $f'(a)\in\mathbb R\setminus\set{0}$, pak $f^{-1}$ má derivaci $(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(a)}=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}$.
  • Když $f'(a)=0$ a $f$ roste (resp. klesá) v bodě $a$, pak $f^{-1}$ má derivaci $(f^{-1})'(b)=+\infty$ (resp. $-\infty$).
  • Když $f'(a)=\pm\infty$ a $b$ je limitní bod množiny $f[M]$, pak $f^{-1}$ má derivaci $(f^{-1})'(b)=0$.

• Nechť $A\in\mathbb R,\,f,g:P^+(A,\delta)\to\mathbb R$ mají vlastní derivace, $g'\neq 0$ a (1) $\lim_{x\to A}f(x)=\lim_{x\to A}g(x)=0$ nebo (2) $\lim_{x\to A}g(x)=\pm\infty$.
• Pak $\lim_{x\to A}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to A}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, pokud poslední limita existuje.
• Věta platí i pro $P^-(A,\delta)$, $P(A,\delta)$ a pro $A=\pm\infty$.

• Nechť $I\subset\mathbb R$ je interval, $f:I\to\mathbb R$ je spojitá, $D(f)=I^0,\,\forall c\in I^0\,\exists f''(c)\in\mathbb R^*$.
• $f''\geq 0\implies f$ je konvexní
• $f''\gt 0\implies f$ je ryze konvexní
• opačné nerovnosti $\implies$ (ryze) konkávní
• $I^0$ je vnitřek intervalu $I$ vzniklý vynecháním koncových bodů intervalu $I$

• definujeme zbytek Taylorova polynomu jako $R^{f,a}_n(x):=f(x)-T^{f,a}_n(x),\,x\in U(a,\delta)$
• Mějme $f,f',\dots,f^{(n+1)}:U(a,\delta)\to\mathbb R$, kde $n\in\mathbb N$.
• Pak platí následující.
• Lagrangeův zbytek: $\forall x\in P(a,\delta)\,\exists c$ mezi $a$ a $x$, že $R^{f,a}_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-a)^{n+1}$
• Cauchyův zbytek: $\forall x\in P(a,\delta)\,\exists c$ mezi $a$ a $x$, že $R_n^{f,a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)\cdot(x-c)^n}{n!}\cdot(x-a)$