Zápočtový test

Typy úloh Užitečné věty a vzorce Užitečné vzorce (k procvičování)

limity, derivace, integrály (řady tam nebudou)

Typy úloh

spočtěte limitu nekonečné posloupnosti
rozhodněte, zda lze funkci spojitě dodefinovat
určete Taylorův polynom
určete lokální a globální extrémy funkce
neurčitý integrál
užití určitých integrálů (plocha, objem, délka křivky, povrch)

Užitečné věty a vzorce

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}x=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1$ $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{l n ( 1 + x )}{x} = lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
- zlomky lze převrátit
aritmetika limit (limita součtu/rozdílu/součinu/podílu je součet/rozdíl/součin/podíl limit)
$\frac c\infty=0$
věta o limitě složené funkce (podmínky: obor hodnot „vnořené“ funkce je podmnožinou definičního oboru „vnější“ funkce, „vnější funkce je spojitá)
derivace součtu/rozdílu je součet/rozdíl derivací
L'Hospitalovo pravidlo – podmínky: nenulovost funkcí ve jmenovateli, neurčitý výraz správného typu (na levé straně), existence limity (na pravé straně)
$(fg)'=f'g+fg'$
$\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$
$[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
lokální extrémy má smysl hledat tam, kde je první derivace nulová, a na hranicích definičního oboru; typ extrému zjistím pomocí druhé derivace nebo znamének první derivace v okolí bodu
Taylorův polynom $T_n(x_0,x)=\sum^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
per partes $\int u'v =uv-\int uv'$
NEZAPOMÍNAT $+\,c$
substituce neurčitého i určitého integrálu
„orientovaná“ plocha pod grafem funkce (Newtonův integrál) $\int_a^bf(x)\,dx$
rozklad na parciální zlomky
plocha mezi křivkami $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$
objem rotačního tělesa $V=\int_a^b\pi f^2(x)\,dx$
délka křivky $l=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
povrch rotačního tělesa $S=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
$0\cdot\text{něco omezeného}=0\implies \lim_{x\to0}\sqrt{|x|}\sin(1/x)=0$

Užitečné vzorce (k procvičování)

známé limity pro $x\to0$
podmínky L'Hospitalova pravidla
derivace součinu a podílu
derivace složené funkce
Taylorův polynom
integrace per partes
plocha mezi křivkami
objem rotačního tělesa
délka křivky
povrch rotačního tělesa