# Zápočtový test

- limity, derivace, integrály (řady tam nebudou)

## Typy úloh

- spočtěte limitu nekonečné posloupnosti
- rozhodněte, zda lze funkci spojitě dodefinovat
- určete Taylorův polynom
- určete lokální a globální extrémy funkce
- neurčitý integrál
- užití určitých integrálů (plocha, objem, délka křivky, povrch)

## Užitečné věty a vzorce

- $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}x=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1$
	- zlomky lze převrátit
- aritmetika limit (limita součtu/rozdílu/součinu/podílu je součet/rozdíl/součin/podíl limit)
- $\frac c\infty=0$
- věta o limitě složené funkce (podmínky: obor hodnot „vnořené“ funkce je podmnožinou definičního oboru „vnější“ funkce, „vnější funkce je spojitá)
- derivace součtu/rozdílu je součet/rozdíl derivací
- L'Hospitalovo pravidlo – podmínky: nenulovost funkcí ve jmenovateli, neurčitý výraz správného typu (na levé straně), existence limity (na pravé straně)
- $(fg)'=f'g+fg'$
- $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$
- $[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
- lokální extrémy má smysl hledat tam, kde je první derivace nulová, a na hranicích definičního oboru; typ extrému zjistím pomocí druhé derivace nebo znamének první derivace v okolí bodu
- Taylorův polynom $$T_n(x_0,x)=\sum^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$
- per partes $\int u'v =uv-\int uv'$
- NEZAPOMÍNAT $+\,c$
- substituce neurčitého i určitého integrálu
- „orientovaná“ plocha pod grafem funkce (Newtonův integrál) $\int_a^bf(x)\,dx$
- rozklad na parciální zlomky
- plocha mezi křivkami $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$
- objem rotačního tělesa $V=\int_a^b\pi f^2(x)\,dx$
- délka křivky $l=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
- povrch rotačního tělesa $S=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
- $0\cdot\text{něco omezeného}=0\implies \lim_{x\to0}\sqrt{|x|}\sin(1/x)=0$

## Užitečné vzorce (k procvičování)

- známé limity pro $x\to0$
- podmínky L'Hospitalova pravidla
- derivace součinu a podílu
- derivace složené funkce
- Taylorův polynom
- integrace per partes
- plocha mezi křivkami
- objem rotačního tělesa
- délka křivky
- povrch rotačního tělesa