skalární součin nad R je zobrazení, splňuje čtyři vlastnosti
omezujeme se na reálná čísla, protože je umíme porovnávat
kvůli vlastnosti ⟨x,x⟩≥0
ze symetrie a linearity v první složce vyplývá linearita v druhé složce
pokud je alespoň jedním činitelem nulový vektor, vyjde nula
komplexní skalární součin
trochu jiné vlastnosti – jedna z nich obsahuje komplexně sdružené číslo
…
norma (indukovaná skalárním součinem) a kolmost
existují různé skalární součiny – my většinou používáme ten standardní
Pythagorova věta
pokud x,y∈V jsou kolmé, tak platí
∣∣x+y∣∣2=∣∣x∣∣2+∣∣y∣∣2
důkaz
Cauchyho-Schwarzova nerovnost
důkaz reálného případu
trojúhelníková nerovnost
norma obecně
p-norma
ne všechny normy jsou indukované skalárním součinem
typicky se používá p rovno 1,2,∞
funguje to pro p≥1
jednotková koule
ortogonální a ortonormální systém
ortogonální – systém na sebe kolmých vektorů
ortonormální – ortogonální systém, kde norma všech vektorů je jedna
ortogonální systém lze zortonormalizovat, pokud tam není nulový vektor, a to tak, že všechny vektory vydělím normou
kanonická báze v prostoru Rn je ortonormální
je-li systém ortonormální, pak je lineárně nezávislý (důkaz „trikem“, použiju skalární součin lineární kombinace všech vektorů systému s libovolným vektorem systému)
Fourierovy koeficienty, Fourierův rozvoj – vyjádření vektoru vůči ortonormální bázi prostoru
Gramova-Schmidtova ortogonalizace – ortonormální bázi sestrojím postupným nakolmováním vektorů (od vektoru xk odečtu projekci do lineárního obalu vektorů x1,…,xn)
každý konečně generovaný prostor se skalárním součinem má ortonormální bázi (platí pro prostory s konečnou dimenzí)
tvrzení o skalárním součinu vyplývajícím z báze
libovolný skalární součin je standardní skalární součin vůči určité bázi (pro ten standardní je bází kanonická báze)
podobně to platí pro normu indukovanou skalárním součinem
ortogonální doplněk množiny – všechny vektory doplňku jsou kolmé na všechny vektory množiny