Lineární algebra 2

• definujeme jako maticový součin řádkového a sloupcového vektoru
• odpovídá součinu velikostí vektorů a kosinu úhlu, který svírají
• vektory jsou kolmé, právě když je jejich skalární součin roven nule
• eukleidovská norma vektoru = zobecnění Pythagorovy věty pro n-složkový vektor … $||x||=\sqrt{x^Tx}=\sqrt{\sum_{i=0}^n x_i^2}$
• vlastnosti skalárního součinu
• skalární součin nad $\mathbb R$ je zobrazení, splňuje čtyři vlastnosti
• omezujeme se na reálná čísla, protože je umíme porovnávat
  • kvůli vlastnosti $\langle x,x\rangle\geq 0$
• ze symetrie a linearity v první složce vyplývá linearita v druhé složce
• pokud je alespoň jedním činitelem nulový vektor, vyjde nula

trochu jiné vlastnosti – jedna z nich obsahuje komplexně sdružené číslo

• pokud $x,y\in V$ jsou kolmé, tak platí
• $||x+y||^2=||x||^2+||y||^2$
• důkaz

důkaz reálného případu

• ne všechny normy jsou indukované skalárním součinem
• typicky se používá $p$ rovno $1,2,\infty$
• funguje to pro $p\geq 1$

• ortogonální – systém na sebe kolmých vektorů
• ortonormální – ortogonální systém, kde norma všech vektorů je jedna
• ortogonální systém lze zortonormalizovat, pokud tam není nulový vektor, a to tak, že všechny vektory vydělím normou
• kanonická báze v prostoru $\mathbb R^n$ je ortonormální

podobně to platí pro normu indukovanou skalárním součinem