permutace na množině {1,2,…,n} je bijektivní zobrazení p:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}
znaménko permutace
znaménko permutace p je sgn(p)=(−1)pocˇet inverzıˊp
permutace s kladným znaménkem jsou sudé, se záporným liché
v exponentu může být # inverzí, # transpozic, # sudých cyklů, n−# cyklů
determinant
determinant matice A∈Kn×n je dán výrazem det A=p∈Sn∑sgn(p)i=1∏nai,p(i)
adjungovaná matice
Aij je podmatice získaná z A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce
pro A∈Kn×n:(adj A)ji=(−1)i+j⋅det Aij
tzn. faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku matice A ukládáme do i-tého sloupce adj A
Laplaceova matice
Laplaceova matice grafu G na VG={v1,…,vn} je LG∈Rn×n taková, že (LG)ij=⎩⎨⎧deg(vi)−10pro i=jjestlizˇe i=j∧(vi,vj)∈EGjinak
polynom nad tělesem
polynom stupně n v proměnné x nad tělesem K je výraz p(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0, kde an=0 a an,…,a0∈K
píšeme p∈K(x)
kořen polynomu a jeho násobnost
kořen polynomu p∈K(x) je r∈K takové, že p(r)=0
násobnost kořene r z p∈K(x) je největší kladné celé číslo k takové, že (x−r)k dělí p
algebraicky uzavřené těleso
pokud každý polynom p∈K(x) stupně alespoň jedna má alespoň jeden kořen, pak je těleso K algebraicky uzavřené
Vandermondova matice
značí se Vn+1(x0,…,xn), přičemž prvky jsou určeny takto: vij=xi−1j−1
v každém řádku je geometrická posloupnost s kvocientem xi (posloupnost začíná jedničkou a končí xin)
vlastní číslo a vlastní vektor lineárního zobrazení
mějme vektorový prostor V nad tělesem K a lineární zobrazení f:V→V
vlastní číslo zobrazení f je jakékoliv λ∈K, pro které existuje vektor u∈V∖{0} takový, že f(u)=λu
vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ je libovolný vektor u∈V takový, že f(u)=λu
množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem
vlastní číslo a vlastní vektor matice
mějme vektorový prostor V nad tělesem K a matici A∈Kn×n
vlastní číslo matice A je jakékoliv λ∈K, pro které existuje vektor x∈V∖{0} takový, že Ax=λx
vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ je libovolný vektor x∈V takový, že Ax=λx
množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem
charakteristický polynom
charakteristický polynom matice A∈Kn×n je pA(t)=det(A−tIn)
algebraická násobnost vlastního čísla
odpovídá násobnosti daného vlastního čísla jako kořene charakteristického polynomu
geometrická násobnost vlastního čísla
geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze podprostoru jeho vlastních vektorů
podobné matice
matice A,B∈Kn×n jsou si podobné, pokud existuje regulární matice R taková, že A=R−1BR
diagonalizovatelná matice
matice podobná diagonální matici je diagonalizovatelná
Jordanův blok
Jordanův blok je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále dané vlastní číslo, na diagonále nad ní má jedničky a všude jinde má nuly
Jordanův normální tvar matice
matice v Jordanově normálním tvaru má na diagonále Jordanovy bloky (a všude jinde nuly)
zobecněný vlastní vektor
zobecněný vlastní vektor matice A k vlastnímu číslu λ je libovolný vektor x splňující (A−λI)ix=0 pro nějaké i∈N
lze je řadit do řetězců xk,…,x2,x1,0, kde (A−λI)xi=xi−1
hermitovská matice
hermitovská transpozice komplexní matice A∈Cm×n je matice AH∈Cn×m, kde (AH)ij=aji
matice A je hermitovská, pokud A=AH
unitární matice
matice A je unitární, pokud A−1=AH (tedy AHA=In)
skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly
skalární součin na vektorovém prostoru V nad C je zobrazení, které přiřadí každé dvojici vektorů u,v∈V skalár ⟨u∣v⟩∈C tak, že jsou splněny následující axiomy:
∀u∈V:⟨u∣u⟩∈R0+ (reálné číslo ≥0)
∀u∈V:⟨u∣u⟩=0⟺u=0
∀u,v∈V:⟨v∣u⟩=⟨u∣v⟩ (komplexně sdružené)
∀u,v,w∈V:⟨u+v∣w⟩=⟨u∣w⟩+⟨v∣w⟩
∀u,v∈V,∀α∈C:⟨αu∣v⟩=α⟨u∣v⟩
formálně je každý skalární součin zobrazení V×V→C
skalární součin na V nad R je zobrazení V×V→R, přičemž ⟨v∣u⟩=⟨u∣v⟩ (ve třetím axiomu), α∈R (v posledním axiomu)
standardní skalární součin na Rn: ⟨u∣v⟩=vTu
standardní skalární součin na Cn: ⟨u∣v⟩=vHu
norma spojená se skalárním součinem
je-li V prostor se skalárním součinem, pak norma odvozená ze skalárního součinu je zobrazení V→R0+ přiřazující vektoru u jeho normu ∣∣u∣∣=⟨u∣u⟩
geometrická interpretace v euklidovském prostoru Rn
∣∣u∣∣ … délka (velikost) u
∣∣u−v∣∣ … vzdálenost bodů u,v
⟨u∣v⟩ souvisí s „úhlem“ φ mezi u,v a délkami u,v
⟨u∣v⟩=∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣cosφ
to vyplývá z kosinové věty, kde a=∣∣u∣∣,b=∣∣v∣∣,c=∣∣u−v∣∣
kolmé vektory
vektory u,v z prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud ⟨u∣v⟩=0
kolmé vektory značíme u⊥v
ortonormální báze
bázi Z={v1,…,vn} prostoru V se skalárním součinem nazveme ortonormální, pokud platí vi⊥vj pro každé i=j a také ∣∣vi∣∣=1 pro každé vi∈Z
pozorování: matice, jejichž sloupce tvoří vektory ortonormální báze Cn vzhledem ke std. skal. součinu, splňují AHA=In⟹ jsou unitární
Fourierovy koeficienty
nechť Z={v1,…,vn} je ortonormální báze prostoru V
tvrzení: pro každé u∈V platí u=⟨u∣v1⟩v1+⋯+⟨u∣vn⟩vn
⟨u∣vi⟩ … Fourierovy koeficienty
důkaz: (vyplývá z toho, že ⟨vi∣vj⟩ se rovná jedné pro i=j, jinak nule) u=i=1∑nαivi⟹⟨u∣vj⟩=⟨i=1∑nαivivj⟩=i=1∑nαi⟨vi∣vj⟩=αj
kolmá projekce
nechť W je prostor se skalárním součinem a V je jeho podprostor s ortonormální bází Z=(v1,…,vn)
zobrazení pZ:W→V definované pZ(u)=∑i=1n⟨u∣vi⟩vi je ortogonální (kolmá) projekce W na V
izometrie
lineární zobrazení f mezi prostory V a W je izometrie, pokud zachovává skalární součin, neboli ⟨u∣w⟩=⟨f(u)∣f(w)⟩
ortogonální doplněk
ortogonální doplněk podmnožiny V prostoru se skalárním součinem W je V⊥={u∈W∣∀v∈V:u⊥v}
Gramova matice
nechť V je prostor se skalárním součinem a bází X=(v1,…,vn)
Gramova matice A je definovaná jako aij=⟨vi∣vj⟩
dle věty platí ∀u,w∈V:⟨u∣w⟩=[w]XHAT[u]X
pozitivně definitní matice
pokud hermitovská matice A řádu n vyhovuje ∀x∈Cn∖{0}:xHAx>0, pak je pozitivně definitní
Choleského rozklad
věta: pro každou pozitivně definitní matici A existuje unikátní horní trojúhelníková matice U s kladnou diagonálou taková, že A=UHU
matice U se nazývá Choleského rozklad
bilineární forma
nechť V je vektorový prostor nad tělesem K a nechť zobrazení f:V×V→K splňuje
∀u,v∈V,∀α∈K:f(αu,v)=f(u,αv)=αf(u,v)
∀u,v,w∈V:f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w)
∀u,v,w∈V:f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)
poté se f nazývá bilineární forma na V
bilineární forma je symetrická, když ∀u,v∈V:f(u,v)=f(v,u)
kvadratická forma
zobrazení g:V→K se nazývá kvadratická forma, pokud existuje bilineární forma f taková, že g(u)=f(u,u) pro všechny u∈V
matice bilineární formy vzhledem k bázi
nechť V je vektorový prostor nad tělesem K s bází X=(v1,…,vn)
matice bilineární formy f vzhledem k bází X je matice B definovaná bij=f(vi,vj)
matice kvadratické formy g je matice symetrické bilineární formy f odpovídající g, pokud taková symetrická f existuje
pozorování o použití matic forem: f(u,w)=[u]XTB[w]X (důkaz pomocí vyjádření z bázických vektorů)
analytické vyjádření formy
analytické vyjádření bilineární formy f nad Kn s maticí B je homogenní polynom f((x1,…,xn)T,(y1,…,yn)T)=∑i=1n∑j=1nbijxiyj
signatura formy
nechť reálná kvadratická forma g má diagonální matici B obsahující pouze 1,−1 a 0
signatura formy g je trojice (počet jedniček, počet minus jedniček, počet nul), počítáno na diagonále matice B
Věty a důkazy (30)
věta o linearitě determinantu
věta
Determinant matice je lineárně závislý na každém jejím řádku a sloupci, tj vzhledem ke skalárnímu násobku řádku: a11a21⋮α⋅ai1⋮an1a12a22⋮α⋅ai2⋮an2⋯⋯⋯…a1na2n⋮α⋅ain⋮ann=α⋅a11a21⋮ai1⋮an1a12a22⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯…a1na2n⋮ain⋮ann a vzhledem ke sčítání řádků: a11a21⋮bi1+ci1⋮an1a12a22⋮bi2+ci2⋮an2⋯⋯⋯…a1na2n⋮bin+cin⋮ann==a11a21⋮bi1⋮an1a12a22⋮bi2⋮an2⋯⋯⋯…a1na2n⋮bin⋮ann+a11a21⋮ci1⋮an1a12a22⋮ci2⋮an2⋯⋯⋯…a1na2n⋮cin⋮ann
důkaz
důkaz pro skalární násobek
poznámka: počáteční matici označím jako A, koncovou jako B, obě matice viz výše
α bude v každém součinu právě jednou (pro i=j) a ze součtu ho můžu vytknout, tedy det A=p∈Sn∑sgn(p)(α⋅j=1∏naj,p(j))==α⋅p∈Sn∑sgn(p)j=1∏naj,p(j)=det B
důkaz pro součet
mějme matice A,B,C
přičemž platí akl=bkl+ckl pro k=i, jinak akl=bkl=ckl
chceme det A=det B+det C
aplikujeme algebraické úpravy: det A=p∈Sn∑sgn(p)j∏aj,p(j)=p∈Sn∑ai,p(i)⋅sgn(p)j=i∏aj,p(j)==p∈Sn∑(bi,p(i)+ci,p(i))⋅sgn(p)j=i∏aj,p(j)==p∈Sn∑bi,p(i)⋅sgn(p)j=i∏bj,p(j)+p∈Sn∑ci,p(i)⋅sgn(p)j=i∏cj,p(j)==p∈Sn∑sgn(p)j∏bj,p(j)+p∈Sn∑sgn(p)j∏cj,p(j)=det B+det C
z toho lze za použití dalšího lemmatu (že matice se dvěma stejnými řádky nebo dvěma stejnými sloupci má nulový determinant) odvodit, že přičtení násobku řádku k jinému řádku matice nezmění determinant
v konečném důsledku z toho vyplývá, že singulární matice má nulový determinant
věta o determinantu součinu dvou matic
věta: Pro libovolné A,B∈Kn×n:det(AB)=det A⋅det B.
důkaz
A,B jsou BÚNO regulární (jinak dostaneme 0=0)
pro součin s elementárními maticemi věta platí, protože
pro přičtení řádku k jinému řádku: det E=1
pro vynásobení řádku α: det E=α
z těchto lze odvodit ostatní operace
rozložíme regulární A na elementární matice A=E1…Ek
det(AB)=det(E1…EkB)=det E1⋅det(E2…EkB)=
=det E1…det Ek⋅det B=det(E1…Ek)⋅det B=
=det A⋅det B
důsledek: det(A−1)=(det A)−1, neboť det A⋅det(A−1)=det(AA−1)=det I=1
důsledek: A je regulární ⟺det A=0
věta o Laplaceově rozvoji determinantu
notace: Aij je podmatice získaná z A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce
věta: Pro libovolné A∈Kn×n a jakékoli i∈{1,…,n} platí det A=j=1∑naij(−1)i+j det Aij
důkaz
vyjádříme i-tý řádek jako lineární kombinaci vektorů kanonické báze (transponované do řádků) a použijeme linearitu
(ai1,ai2,…,ain)=ai1e1T+ai2e2T+⋯+ainenT
z linearity vyplývá, že se determinant původní matice rovná součtu n členů, kde j-tý člen je roven aij-násobku determinantu matice, která má místo i-tého řádku j-tý kanonický vektor, tedy ∗ai1∗∗ai2∗∗⋯∗∗ain∗=ai1∗1∗∗0∗∗⋯∗∗0∗+ai2∗0∗∗1∗∗⋯∗∗0∗+⋯
pro j-tou matici provedeme dvě úpravy: posuneme i-tý řádek na první pozici a posuneme j-tý sloupec na první pozici
tím dostaneme na prvním řádku e1
determinant matice, která má na prvním řádku e1, odpovídá determinantu podmatice vzniklé odebráním prvního řádku a prvního sloupce
při posunutí k-tého řádku/sloupce na první pozici je potřeba determinant výsledné vynásobit (−1)k+1, aby se rovnal determinantu původní matice
poznámka: podle mého názoru by to mělo být spíše (−1)k−1, ale na tom nezáleží
po obou posunech dostaneme (−1)i+1+j+1=(−1)i+j
Cramerovo pravidlo (řešení systémů s determinanty)
věta
Nechť A∈Kn×n je regulární matice.
Pro jakékoliv b∈Kn řešení x soustavy Ax=b splňuje xi=det A1 det Ai→b, kde Ai→b získáme z A nahrazení i-tého sloupce vektorem b.
důkaz
označme a1,…,an sloupce matice A
soustavu Ax=b lze přepsat po sloupcích na vztah ∑j=1nxjaj=b
xj je skalár
z linearity determinantu podle i-tého sloupce (funguje díky linearitě součtu v řádku a díky tomu, že transpozice nemění determinant) dostáváme det Ai→b=det Ai→∑j=1nxjaj=j=1∑nxj det Ai→aj=xi det A
pro i=j je totiž determinant nulový, neboť v dané matici se jeden sloupec opakuje
věta o adjungované matici
věta: Pro regulární matici A∈Kn×n:A−1=det A1 adj A.
důkaz
Laplaceovým rozvojem det A
(i-tý řádek z A) ⋅ (i-tý sloupec z adj A) =det A
to vyplývá z definice – faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku A ukládáme do i-tého sloupce adj A
přičemž tyto faktory jsou v Laplaceově rozvoji násobeny postupně prkvy i-tého řádku A a sečteny – výsledkem je determinant A
z toho vyplývá, že součin A a k ní adjungované bude mít na diagonále determinant A
pro j=i: (j-tý řádek z A) ⋅ (i-tý sloupec z adj A) =det(A′)=0
A′ se totiž získá nahrazením i-tého řádku tím j-tým
u toho vyplývá, že součin A a k ní adjungované bude mít mimo diagonálu nuly
A⋅adj A=det A⋅I⟹A⋅(det A1 adj A)=I
věta o počtu koster grafu
věta: Každý multigraf G s ∣VG∣≥2 splňuje κ(G)=det LG11.
důkaz
pomocné lemma: κ(G)=κ(G−e)+κ(G∘e)
všechny kostry grafu G lze rozdělit podle toho, zda obsahují hranu e
kostry grafu G−e jsou ty kostry G, které hranu e neobsahují
kostry grafu G∘e jsou kostry G, které hranu e obsahují (∘ značí kontrakci hrany)
G je BÚNO souvislý, důkaz indukcí podle ∣EG∣
základní případ
pro ∣EG∣=1 má G jen dva vrcholy a κ(G)=1=deg(v2)=(LG)22=det LG11
indukční krok
zvolme libovolnou e∈EG, BÚNO e=(v1,v2)
předpokládáme, že jsou vrcholy očíslovány tak, aby zvolená hrana vedla právě takto
označme A=LG11,B=LG−e11,C=LG∘e11
C je podmatice LG odpovídající v3,…,vn, tedy C=A11=B11
z indukčního předpokladu: κ(G−e)=det B,κ(G∘e)=det C
A,B jsou shodné kromě b11=a11−1, protože vypuštěním e klesne stupeň v2 o jedna
první sloupec A vyjádříme jako součet prvního sloupce B a vektoru e1
linearitou determinantu matice A podél tohoto rozkladu prvního sloupce získáme det A=det B+det C
proto v Zp platí ∏x=1p−1x=∏x=1p−1fa(x)=∏x=1p−1ax=ap−1∏x=1p−1x
a po zkrácení ∏x=1p−1x dostaneme 1=ap−1
důsledek: a=ap (v tělese Zp), případně ap−a=0
důsledek: pro každý q∈Zp(x) existuje r∈Zp(x) stupně nejvýše p−1 takový, že ∀x∈Zp:q(x)=r(x)
věta o Vandermondově matici
věta: Vandermondova matice Vn+1(x0,…,xn) je regulární ⟺x0,…,xn jsou různá.
jak vypadá V. matice: v každém řádku je geometrická posloupnost s kvocientem xi (posloupnost začíná jedničkou a končí xin)
důkaz
odečteme první řádek matice od všech ostatních (vzniklou matici označme A)
v prvním soupci je jedna jednička a pod ní n nul, takže podle Laplaceova rozvoje dostaneme determinant matice bez prvního řádku a prvního sloupce (matice A11)
z každého řádku vytkneme (xi−x0), matici označme jako B
tedy det Vn+1=det A=det A11=(i=1∏n(xi−x0))⋅det B
nyní odzadu odečteme od každého sloupce x0-násobek předchozího, tak eliminujeme všechny sčítance obsahující x0
Lagrangeova interpolace je alternativní způsob interpolace polynomu p∈K(x) stupně n skrz n+1 bodů (xi,yi)
určení polynomu (a důkaz správnosti)
určíme n+1 pomocných polynomů stupně npi(x)=∏j=i(xi−xj)∏j=i(x−xj)
v čitateli je součin dvojčlenů, jmenovatel je konstanta
všimneme si, že pi(xi)=1 a že pi(xj)=0 pro i=j
to je vidět po dosazení za x
sestavíme p(x) jako lineární kombinaci p(x)=∑j=1n+1yjpj(x)
tzn. každý z pomocných polynomů vynásobím odpovídajícím yi
potom platí p(xi)=yipi(xi)=yi, protože ve všech ostatních sčítancích je pj(xi) roven nule
věta o podprostoru vlastních vektorů
věta: Vlastní vektory odpovídající stejnému vlastnímu číslu tvoří podprostor.
důkaz
uvažme vlastní číslo λ lineárního zobrazení f:V→V a množinu U={u∈V:f(u)=λu}
tedy U je množina vlastních vektorů odpovídajících danému vlastnímu číslu
pro jakékoli u,v∈U a α∈K dostaneme
f(αu)=αf(u)=αλu=λ(αu)
f(u+v)=f(u)+f(v)=λu+λv=λ(u+v)
z toho plyne, že je U uzavřen na sčítání a skalární násobky, tedy je podprostorem V
věta o lineární nezávislosti vlastních vektorů
věta: Nechť f:V→V je lineární zobrazení a λ1,…,λk jsou různá vlastní čísla f a u1,…,uk odpovídající netriviální vlastní vektory. Potom u1,…,uk jsou lineárně nezávislé.
důkaz
pro spor přepdokládejme, že k je nejmenší číslo, pro které existují vlastní čísla a vektory odporující větě
tedy ∑i=1kαiui=0, přičemž alespoň jedno αi je nenulové, tedy ∃i:αi=0
věta: Pro matici A∈Kn×n a její charakteristický polynom pA(t)=(−1)ntn+an−1tn−1+⋯+a2t2+a1t+a0 platí, že pA(A)=(−1)nAn+an−1An−1+⋯+a2A2+a1A+a0In=0n.
důkaz
použijeme větu (o adjungované matici), že M⋅adj M=(det M)⋅In pro M=A−tIn
složky adj(A−tIn) jsou determinanty podmatic, tj. polynomy v t stupně nejvýše n−1
matici lze tedy rozepsat takto: adj(A−tIn)=tn−1Bn−1+⋯+tB1+B0 pro Bn−1,…,B0∈Kn×n
nyní máme (A−tIn)(tn−1Bn−1+⋯+tB1+B0)=pA(t)In=(−1)ntnIn+an−1tn−1In+⋯+a2t2In+a1tIn+a0In
získáme n+1 rovnic (porovnáváme koeficienty u ti na levé a pravé straně rovnice)
pro tn: −Bn−1=(−1)nIn
pro ti (0<i<n): ABi−Bi−1=aiIn
pro t0: AB0=a0In
všechny rovnice kromě té poslední vynásobíme zleva Ai (respektive An) a všechny je sečteme
na levé straně dostaneme −AnBn−1+An−1(ABn−1−Bn−2)+⋯+A(AB1−B0)+AB0=0n
A je pozitivně definitní, právě když je výsledná bloková matice pozitivně definitní (což nastává, když má oba nenulové bloky pozitivně definitní)
věta o pozitivně definitních maticích a determinantech
věta (Sylvesterova podmínka, hlavní vedoucí podmatice): Hermitovská matice A řádu n je pozitivně definitní, právě když matice A1,…,An mají kladné determinanty, kde Ai sestává z prvních i řádku a sloupců A.
důkaz
použijeme Gaussovu eliminaci A∼∼A′ pro test, zda je A pozitivně definitní
α1,…,αn jsou prvky na diagonále výsledné horní trojúhelníkové matice A′
eliminaci jsme prováděli přičítáním násobku řádku shora dolů, tedy det Ai=det Ai′=∏j≤iαj=det Ai−1αi
A je pozitivně definitní ⟺α1,…,αn>0⟺det A1,…,det An>0
algoritmus pro výpočet Choleského rozkladu (a jeho správnost)
máme A, hledáme U takové, že UHU=A
algoritmus
input: hermitovská A
output: U, pokud je A pozitivně definitní
for i=1,…,n do
uii=aii−∑k=1i−1uˉkiuki
if uii∈/R+ then return A není pozitivně definitní
for j=i+1,…,n do
uij=uii1(aij−∑k=1i−1uˉkiukj)
end
end
správnost
předpokládejme, že algoritmus selže během i-té iterace, tj. α−uHu≤0
α odpovídá aii
u je vektor o i−1 složkách v horní trojúhelníkové matici
máme částečný rozklad hlavní vedoucí podmatice A′=VHV a rovněž sloupec nad α (a řádku vlevo) a=VHu
trikově zvolíme x=−V−1u
x má i−1 složek, tedy jej doplníme o jednu jedničku (na pozici i) a jinak samé nuly na vektor y
yHAy=xHA′x+xHa+aHx+α=
tento rozklad vychází z toho, jak vypadá vektor y
první člen součtu násobí dvakrát vektorem x
druhý a třetí člen násobí jednou x a jednou jedničkou (na i-té pozici)
čtvrtý člen násobí dvakrát jedničkou
ostatní členy násobí nulou (proto v součtu chybí)
=(−V−1u)H(VHV)(−V−1u)+
+(−V−1u)H(VHu)+(VHu)H(−V−1u)+α=
=uH(VH)−1VHVV−1u−uH(VH)−1VHu−uHVV−1u+α=
=uHu−uHu−uHu+α=α−uHu≤0
proto A není pozitivně definitní
věta o diagonalizovatelnosti matic forem
věta: Pokud je g kvadratická forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze n nad tělesem K jiné charakteristiky než 2, pak má forma g diagonální matici B vzhledem k vhodné bázi X. (To platí i pro symetrické bilineární formy.)
definice: Polární báze dává diagonální matici kvadratické formy.
přeformulováno z hlediska matic:
věta: Pro jakoukoliv symetrickou matici A∈Kn×n s char(K)=2 existuje regulární matice R taková, že RTAR je diagonální.
důkaz
indukcí dle n (řádu matice)
označme A=An=(αaaTA~)
když α=0, volíme PnT=(1−α1a0TIn−1)
pak PnTAnPn=(α00HA~−α1aaT)
označíme An−1=A~−α1aaT, tato matice je symetrická
dle indukčního předpokladu existuje Rn−1 pro An−1
zvolíme Rn=Pn⋅(100TRn−1)
pak RnTAnRn=(100TRn−1T)⋅PnTAnPn⋅(100TRn−1)=
=(α00TRn−1TAn−1Rn−1), což je dle IP diagonální matice
pokud α=0, ale první sloupec není nulový (ai1 je nenulové pro nějaké i), tak použijeme elementární matici E pro přičtení i-tého sloupce k prvnímu → vezmeme A′=ETAE místo A
pokud je celý první řádek (i sloupec) nulový, tak Rn=(100TRn−1)
Sylvesterův zákon setrvačnosti – o diagonalizaci kvadratických forem
věta
Každá kvadratická forma na konečně generovaném reálném vektorovém prostoru má vzhledem k vhodné bázi diagonální matici pouze s 1, –1 a 0.
Všechny takové diagonální matice odpovídající téže formě mají stejný počet 1 a stejný počet –1.
důkaz existence
nechť B je maticí formy vzhledem k bázi Y
pro reálnou symetrickou matici existuje spektrální rozklad (lze ji diagonalizovat), tedy B=RTDR pro regulární R
rozložíme D=STD′S
všechny matice jsou diagonální
dii′=sgn(dii)
sii=∣dii∣ pro nenulové dii
pro dii=0:sii=1, aby S byla regulární
SR je regulární, B=(SR)TD′SR
zvolíme bázi X tak, že [id]X,Y=SR,[id]Y,X=(SR)−1
[id]Y,XTB[id]Y,X=D′ je hledaná matice formy
důkaz jednoznačnosti signatury (počtu jedniček, minus jedniček, nul)
mějme báze X=(u1,…,un),Y=(v1,…,vn)
mějme dvě různé „sylvesterovské“ matice B,B′ formy g uspořádané tak, že nejdříve jsou jedničky, pak minus jedničky a nakonec nuly
součin s regulární maticí přechodu nemění hodnost, tedy i počet nul musí být v obou maticích stejný
nechť r je počet jedniček v B, s je počet jedniček v B′
BÚNO r>s
uvažme podprostory L(u1,…,ur) a L(vs+1,…,vn)
z r>s vyplývá, že součet jejich dimenzí přesahuje n, tedy mají netriviální průnik
zvolme nenulový vektor w z tohoto průniku
[w]X=(x1,…,xr,0,…,0)
[w]Y=(0,…,0,ys+1,…,yn)
alespoň jedno xi a alespoň jedno yi je nenulové
g(w)=[w]XTB[w]X=x12+⋯+xr2>0
protože alespoň jedno xi je nenulové
g(w)=[w]YTB[w]Y=−y12−⋯−yr2<0
protože alespoň jedno yi je nenulové
musí však platit g(w)=g(w), což neplatí → to je spor
tedy r=s
věta o počtu přímek svírajících stejný úhel
věta: V Rd může nevýše (2d+1) přímek svírat stejný úhel φ.
důkaz
předpokládejme, že existuje n takových přímek
zvolíme vektory jednotkové délky v1,…,vn, z každé přímky po jednom
platí ⟨vi∣vj⟩=cosφ pro i=j (jinak 1, protože jsou jednotkové délky)
dokážeme, že matice v1v1T,…,vnvnT∈Rd×d jsou lineárně nezávislé
předpokládejme, že ∑i=1nαiviviT=0 (lineární kombinace matic se rovná nulové matici)
pak musí platit pro každé j∈{1,…,n}:0=vjT0vj=vjT(∑i=1nαiviviT)vj=