Bonusový test: kartičky | linearni-algebra2

Definice (37)

permutace

permutace na množině $\lbrace1,2,\dots,n\rbrace$ je bijektivní zobrazení $p:\lbrace1,2,\dots,n\rbrace\rightarrow \lbrace1,2,\dots,n\rbrace$

Definice (37)

znaménko permutace

znaménko permutace $p$ je $\text{sgn}(p)=(-1)^{\text{počet inverzí}\ p}$
permutace s kladným znaménkem jsou sudé, se záporným liché
v exponentu může být # inverzí, # transpozic, # sudých cyklů, $n-$ # cyklů

Definice (37)

determinant

determinant matice $A\in\mathbb K^{n\times n}$ je dán výrazem $\text{det }A=\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{i=1}^na_{i,p(i)}$

Definice (37)

adjungovaná matice

$A^{ij}$ je podmatice získaná z $A$ odstraněním $i$ -tého řádku a $j$ -tého sloupce
pro $A\in\mathbb K^{n\times n}:(\text{adj }A)_{ji}=(-1)^{i+j}\cdot\text{det }A^{ij}$
tzn. faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku matice $A$ ukládáme do i-tého sloupce $\text{adj }A$

Definice (37)

Laplaceova matice

Laplaceova matice grafu $G$ na $V_G=\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ je $L_G\in\mathbb R^{n\times n}$ taková, že $(L_G)_{ij}= \begin{cases} \text{deg}(v_i) &\text{pro } i=j \\ -1 &\text{jestliže }i\neq j\land (v_i,v_j)\in E_G \\ 0 &\text{jinak}\end{cases}$

Definice (37)

polynom nad tělesem

polynom stupně $n$ v proměnné $x$ nad tělesem $\mathbb K$ je výraz $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$ , kde $a_n\neq 0$ a $a_n,\dots,a_0\in\mathbb K$
píšeme $p\in\mathbb K(x)$

Definice (37)

kořen polynomu a jeho násobnost

kořen polynomu $p\in\mathbb K(x)$ je $r\in\mathbb K$ takové, že $p(r)=0$
násobnost kořene $r$ z $p\in\mathbb K(x)$ je největší kladné celé číslo $k$ takové, že $(x-r)^k$ dělí $p$

Definice (37)

algebraicky uzavřené těleso

pokud každý polynom $p\in\mathbb K(x)$ stupně alespoň jedna má alespoň jeden kořen, pak je těleso $\mathbb K$ algebraicky uzavřené

Definice (37)

Vandermondova matice

značí se $V_{n+1}(x_0,\dots,x_n)$ , přičemž prvky jsou určeny takto: $v_{ij}=x_{i-1}^{j-1}$
v každém řádku je geometrická posloupnost s kvocientem $x_i$ (posloupnost začíná jedničkou a končí $x_i^n$ )

Definice (37)

vlastní číslo a vlastní vektor lineárního zobrazení

mějme vektorový prostor $V$ nad tělesem $\mathbb K$ a lineární zobrazení $f:V\to V$
vlastní číslo zobrazení $f$ je jakékoliv $\lambda\in\mathbb K$ , pro které existuje vektor $u\in V\setminus \lbrace 0\rbrace$ takový, že $f(u)=\lambda u$
vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu $\lambda$ je libovolný vektor $u\in V$ takový, že $f(u)=\lambda u$
množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem

Definice (37)

vlastní číslo a vlastní vektor matice

mějme vektorový prostor $V$ nad tělesem $\mathbb K$ a matici $A\in\mathbb K^{n\times n}$
vlastní číslo matice $A$ je jakékoliv $\lambda\in\mathbb K$ , pro které existuje vektor $x\in V\setminus \lbrace 0\rbrace$ takový, že $Ax=\lambda x$
vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu $\lambda$ je libovolný vektor $x\in V$ takový, že $Ax=\lambda x$
množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem

Definice (37)

charakteristický polynom

charakteristický polynom matice $A\in\mathbb K^{n\times n}$ je $p_A(t)=\text{det}(A-tI_n)$

Definice (37)

algebraická násobnost vlastního čísla

odpovídá násobnosti daného vlastního čísla jako kořene charakteristického polynomu

Definice (37)

geometrická násobnost vlastního čísla

geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze podprostoru jeho vlastních vektorů

Definice (37)

podobné matice

matice $A,B\in\mathbb K^{n\times n}$ jsou si podobné, pokud existuje regulární matice $R$ taková, že $A=R^{-1}BR$

Definice (37)

diagonalizovatelná matice

matice podobná diagonální matici je diagonalizovatelná

Definice (37)

Jordanův blok

Jordanův blok je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále dané vlastní číslo, na diagonále nad ní má jedničky a všude jinde má nuly

Definice (37)

Jordanův normální tvar matice

matice v Jordanově normálním tvaru má na diagonále Jordanovy bloky (a všude jinde nuly)

Definice (37)

zobecněný vlastní vektor

zobecněný vlastní vektor matice $A$ k vlastnímu číslu $\lambda$ je libovolný vektor $x$ splňující $(A-\lambda I)^ix=0$ pro nějaké $i\in\mathbb N$
lze je řadit do řetězců $x_k,\dots,x_2,x_1,0$ , kde $(A-\lambda I)x_i=x_{i-1}$

Definice (37)

hermitovská matice

hermitovská transpozice komplexní matice $A\in\mathbb C^{m\times n}$ je matice $A^H\in\mathbb C^{n\times m}$ , kde $(A^H)_{ij}=\overline{a_{ji}}$
matice $A$ je hermitovská, pokud $A=A^H$

Definice (37)

unitární matice

matice $A$ je unitární, pokud $A^{-1}=A^H$ (tedy $A^HA=I_n$ )

Definice (37)

skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly

skalární součin na vektorovém prostoru $V$ $V$ nad $\mathbb C$ $C$ je zobrazení, které přiřadí každé dvojici vektorů $u,v\in V$ $u, v \in V$ skalár $\langle u|v\rangle\in\mathbb C$ $⟨ u ∣ v ⟩ \in C$ tak, že jsou splněny následující axiomy:
- $\forall u\in V:\langle u|u\rangle\in\mathbb R^+_0$ (reálné číslo $\geq 0$ )
- $\forall u\in V:\langle u|u\rangle=0\iff u=0$
- $\forall u,v\in V: \langle v|u\rangle=\overline{\langle u|v\rangle}$ (komplexně sdružené)
- $\forall u,v,w \in V: \langle u+v|w\rangle=\langle u|w\rangle+\langle v|w\rangle$
- $\forall u,v\in V,\,\forall \alpha\in\mathbb C: \langle \alpha u|v\rangle=\alpha\langle u|v\rangle$
formálně je každý skalární součin zobrazení $V\times V\to\mathbb C$
skalární součin na $V$ nad $\mathbb R$ je zobrazení $V\times V\to\mathbb R$ , přičemž $\langle v|u\rangle = \langle u|v\rangle$ (ve třetím axiomu), $\alpha\in\mathbb R$ (v posledním axiomu)
standardní skalární součin na $\mathbb R^n$ : $\langle u|v\rangle=v^Tu$
standardní skalární součin na $\mathbb C^n$ : $\langle u|v\rangle=v^Hu$

Definice (37)

norma spojená se skalárním součinem

je-li $V$ prostor se skalárním součinem, pak norma odvozená ze skalárního součinu je zobrazení $V\to R^+_0$ přiřazující vektoru $u$ jeho normu $||u||=\sqrt{\langle u|u\rangle}$
geometrická interpretace v euklidovském prostoru $\mathbb R^n$ $R^{n}$
- $||u||$ … délka (velikost) $u$
- $||u-v||$ … vzdálenost bodů $u,v$
- $\langle u|v\rangle$ $⟨ u ∣ v ⟩$ souvisí s „úhlem“ $\varphi$ $φ$ mezi $u,v$ $u, v$ a délkami $u,v$ $u, v$
  - $\langle u|v\rangle=||u||\cdot||v||\cos\varphi$
  - to vyplývá z kosinové věty, kde $a=||u||,\,b=||v||,\,c=||u-v||$

Definice (37)

kolmé vektory

vektory $u,v$ z prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud $\langle u|v\rangle=0$
kolmé vektory značíme $u\perp v$

Definice (37)

ortonormální báze

bázi $Z=\lbrace v_1,\dots,v_n \rbrace$ prostoru $V$ se skalárním součinem nazveme ortonormální, pokud platí $v_i\perp v_j$ pro každé $i\neq j$ a také $||v_i||=1$ pro každé $v_i\in Z$
pozorování: matice, jejichž sloupce tvoří vektory ortonormální báze $\mathbb C^n$ vzhledem ke std. skal. součinu, splňují $A^HA=I_n\implies$ jsou unitární

Definice (37)

Fourierovy koeficienty

nechť $Z=\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ je ortonormální báze prostoru $V$
tvrzení: pro každé $u\in V$ platí $u=\langle u|v_1\rangle v_1+\dots+\langle u|v_n\rangle v_n$
$\langle u|v_i\rangle$ … Fourierovy koeficienty
důkaz: (vyplývá z toho, že $\langle v_i|v_j\rangle$ se rovná jedné pro $i=j$ , jinak nule) $u=\sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\implies\langle u|v_j\rangle=\left\langle \sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\middle|v_j\right\rangle=\sum^n_{i=1}\alpha_i\langle v_i|v_j\rangle=\alpha_j$

Definice (37)

kolmá projekce

nechť $W$ je prostor se skalárním součinem a $V$ je jeho podprostor s ortonormální bází $Z=(v_1,\dots,v_n)$
zobrazení $p_Z:W\to V$ definované $p_Z(u)=\sum^n_{i=1}\langle u|v_i \rangle v_i$ je ortogonální (kolmá) projekce $W$ na $V$

Definice (37)

izometrie

lineární zobrazení $f$ mezi prostory $V$ a $W$ je izometrie, pokud zachovává skalární součin, neboli $\langle u|w\rangle = \langle f(u)|f(w)\rangle$

Definice (37)

ortogonální doplněk

ortogonální doplněk podmnožiny $V$ prostoru se skalárním součinem $W$ je $V^\perp=\lbrace u\in W\mid\forall v\in V: u\perp v\rbrace$

Definice (37)

Gramova matice

nechť $V$ je prostor se skalárním součinem a bází $X=(v_1,\dots,v_n)$
Gramova matice $A$ je definovaná jako $a_{ij}=\langle v_i|v_j\rangle$
dle věty platí $\forall u,w\in V:\langle u|w\rangle=[w]_X^HA^T[u]_X$

Definice (37)

pozitivně definitní matice

pokud hermitovská matice $A$ řádu $n$ vyhovuje $\forall x\in\mathbb C^n\setminus \lbrace 0\rbrace: x^HAx\gt 0$ , pak je pozitivně definitní

Definice (37)

Choleského rozklad

věta: pro každou pozitivně definitní matici $A$ existuje unikátní horní trojúhelníková matice $U$ s kladnou diagonálou taková, že $A=U^HU$
matice $U$ se nazývá Choleského rozklad

Definice (37)

bilineární forma

nechť $V$ $V$ je vektorový prostor nad tělesem $\mathbb K$ $K$ a nechť zobrazení $f:V\times V\to \mathbb K$ $f : V \times V \to K$ splňuje
- $\forall u,v\in V,\,\forall \alpha\in\mathbb K:f(\alpha u,v)=f(u,\alpha v)=\alpha f(u,v)$
- $\forall u,v,w\in V:f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w)$
- $\forall u,v,w\in V:f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)$
poté se $f$ nazývá bilineární forma na $V$
bilineární forma je symetrická, když $\forall u,v\in V:f(u,v)=f(v,u)$

Definice (37)

kvadratická forma

zobrazení $g:V\to\mathbb K$ se nazývá kvadratická forma, pokud existuje bilineární forma $f$ taková, že $g(u)=f(u,u)$ pro všechny $u\in V$

Definice (37)

matice bilineární formy vzhledem k bázi

nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $\mathbb K$ s bází $X=(v_1,\dots,v_n)$
matice bilineární formy $f$ vzhledem k bází $X$ je matice $B$ definovaná $b_{ij}=f(v_i,v_j)$
matice kvadratické formy $g$ je matice symetrické bilineární formy $f$ odpovídající $g$ , pokud taková symetrická $f$ existuje
pozorování o použití matic forem: $f(u,w)=[u]^T_XB[w]_X$ (důkaz pomocí vyjádření z bázických vektorů)

Definice (37)

analytické vyjádření formy

analytické vyjádření bilineární formy $f$ nad $\mathbb K^n$ s maticí $B$ je homogenní polynom $f((x_1,\dots,x_n)^T,(y_1,\dots,y_n)^T)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}b_{ij}x_iy_j$

Definice (37)

signatura formy

nechť reálná kvadratická forma $g$ má diagonální matici $B$ obsahující pouze $1,-1$ a $0$
signatura formy $g$ je trojice (počet jedniček, počet minus jedniček, počet nul), počítáno na diagonále matice $B$

Věty a důkazy (30)

věta o linearitě determinantu

věta
- Determinant matice je lineárně závislý na každém jejím řádku a sloupci, tj vzhledem ke skalárnímu násobku řádku: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha\cdot a_{i1} & \alpha\cdot a_{i2} & \cdots & \alpha\cdot a_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=\alpha\cdot \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$ a vzhledem ke sčítání řádků: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=$ $=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$
důkaz
- důkaz pro skalární násobek
  - poznámka: počáteční matici označím jako $A$ , koncovou jako $B$ , obě matice viz výše
  - $\alpha$ bude v každém součinu právě jednou (pro $i=j$ ) a ze součtu ho můžu vytknout, tedy $\text{det }A=\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\left(\alpha\cdot\prod_{j=1}^na_{j,p(j)}\right)=$ $=\alpha\cdot\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j=1}^na_{j,p(j)}=\text{det }B$
- důkaz pro součet
  - mějme matice $A,B,C$
  - přičemž platí $a_{kl}=b_{kl}+c_{kl}$ pro $k= i$ , jinak $a_{kl}=b_{kl}=c_{kl}$
  - chceme $\text{det }A=\text{det }B+\text{det }C$
  - aplikujeme algebraické úpravy: $\begin{gather*}\text{det }A=\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j}a_{j,p(j)}=\sum_{p\in S_n}a_{i,p(i)}\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}a_{j,p(j)}= \\ =\sum_{p\in S_n}(b_{i,p(i)}+c_{i,p(i)})\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}a_{j,p(j)}=\\ =\sum_{p\in S_n}b_{i,p(i)}\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}b_{j,p(j)}+\sum_{p\in S_n}c_{i,p(i)}\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}c_{j,p(j)}=\\ =\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j}b_{j,p(j)}+\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j}c_{j,p(j)}=\text{det }B+\text{det }C\end{gather*}$
- z toho lze za použití dalšího lemmatu (že matice se dvěma stejnými řádky nebo dvěma stejnými sloupci má nulový determinant) odvodit, že přičtení násobku řádku k jinému řádku matice nezmění determinant
- v konečném důsledku z toho vyplývá, že singulární matice má nulový determinant

Věty a důkazy (30)

věta o determinantu součinu dvou matic

věta: Pro libovolné $A,B\in\mathbb K^{n\times n}:\text{det}(AB)=\text{det }A\cdot\text{det }B$ .
důkaz
- $A,B$ jsou BÚNO regulární (jinak dostaneme $0=0$ )
- pro součin s elementárními maticemi věta platí, protože
  - pro přičtení řádku k jinému řádku: $\text{det }E=1$
  - pro vynásobení řádku $\alpha$ : $\text{det }E=\alpha$
  - z těchto lze odvodit ostatní operace
- rozložíme regulární $A$ na elementární matice $A=E_1\dots E_k$
- $\text{det}(AB)=\text{det}(E_1\dots E_kB)=\text{det }E_1\cdot\text{det}(E_2\dots E_kB)=$
- $=\text{det }E_1\dots\text{det }E_k\cdot\text{det }B=\text{det}(E_1\dots E_k)\cdot\text{det }B=$
- $=\text{det }A\cdot\text{det }B$
důsledek: $\text{det}(A^{-1})=(\text{det }A)^{-1}$ , neboť $\text{det }A\cdot\text{det}(A^{-1})=\text{det}(AA^{-1})=\text{det }I=1$
důsledek: $A$ je regulární $\iff\text{det }A\neq0$

Věty a důkazy (30)

věta o Laplaceově rozvoji determinantu

notace: $A^{ij}$ je podmatice získaná z $A$ odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce
věta: Pro libovolné $A\in\mathbb K^{n\times n}$ a jakékoli $i\in \lbrace 1,\dots,n\rbrace$ platí $\text{det }A=\sum^n_{j=1}a_{ij}(-1)^{i+j}\text{ det }A^{ij}$
důkaz
- vyjádříme i-tý řádek jako lineární kombinaci vektorů kanonické báze (transponované do řádků) a použijeme linearitu
- $(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in})=a_{i1}e^T_1+a_{i2}e^T_2+\dots+a_{in}e^T_n$
- z linearity vyplývá, že se determinant původní matice rovná součtu $n$ členů, kde j-tý člen je roven $a_{ij}$ -násobku determinantu matice, která má místo i-tého řádku j-tý kanonický vektor, tedy $\begin{vmatrix} *&*&*&* \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ *&*&*&* \end{vmatrix}=a_{i1}\begin{vmatrix} *&*&*&* \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ *&*&*&* \end{vmatrix}+a_{i2}\begin{vmatrix} *&*&*&* \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ *&*&*&* \end{vmatrix}+\cdots$
- pro j-tou matici provedeme dvě úpravy: posuneme i-tý řádek na první pozici a posuneme j-tý sloupec na první pozici
- tím dostaneme na prvním řádku $e_1$
- determinant matice, která má na prvním řádku $e_1$ , odpovídá determinantu podmatice vzniklé odebráním prvního řádku a prvního sloupce
- při posunutí k-tého řádku/sloupce na první pozici je potřeba determinant výsledné vynásobit $(-1)^{k+1}$ $(- 1)^{k + 1}$ , aby se rovnal determinantu původní matice
  - poznámka: podle mého názoru by to mělo být spíše $(-1)^{k-1}$ , ale na tom nezáleží
- po obou posunech dostaneme $(-1)^{i+1+j+1}=(-1)^{i+j}$

Věty a důkazy (30)

Cramerovo pravidlo (řešení systémů s determinanty)

věta
- Nechť $A\in\mathbb K^{n\times n}$ je regulární matice.
- Pro jakékoliv $b\in\mathbb K^{n}$ řešení $x$ soustavy $Ax=b$ splňuje $x_i=\frac 1{\text{det }A}\text{ det }A_{i\to b}$ , kde $A_{i\to b}$ získáme z $A$ nahrazení i-tého sloupce vektorem $b$ .
důkaz
- označme $a_1,\dots,a_n$ sloupce matice $A$
- soustavu $Ax=b$ $A x = b$ lze přepsat po sloupcích na vztah $\sum^n_{j=1}x_ja_j=b$ $\sum_{j = 1}^{n} x_{j} a_{j} = b$
  - $x_j$ je skalár
- z linearity determinantu podle i-tého sloupce (funguje díky linearitě součtu v řádku a díky tomu, že transpozice nemění determinant) dostáváme $\text{det }A_{i\to b}=\text{det }A_{i\to\sum^n_{j=1}x_ja_j}=\sum^n_{j=1}x_j\text{ det }A_{i\to a_j}=x_i\text{ det }A$
- pro $i\neq j$ je totiž determinant nulový, neboť v dané matici se jeden sloupec opakuje

Věty a důkazy (30)

věta o adjungované matici

věta: Pro regulární matici $A\in\mathbb K^{n\times n}:A^{-1}=\frac1{\text{det }A}\text{ adj }A$ .
důkaz
- Laplaceovým rozvojem $\text{det }A$
- (i-tý řádek z $A$ $A$ ) $\cdot$ $\cdot$ (i-tý sloupec z $\text{adj }A$ $adj A$ ) $=\text{det }A$ $= det A$
  - to vyplývá z definice – faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku $A$ ukládáme do i-tého sloupce $\text{adj }A$
  - přičemž tyto faktory jsou v Laplaceově rozvoji násobeny postupně prkvy i-tého řádku $A$ a sečteny – výsledkem je determinant $A$
  - z toho vyplývá, že součin $A$ a k ní adjungované bude mít na diagonále determinant $A$
- pro $j\neq i$ $j \neq = i$ : (j-tý řádek z $A$ $A$ ) $\cdot$ $\cdot$ (i-tý sloupec z $\text{adj }A$ $adj A$ ) $=\text{det}(A')=0$ $= det (A^{'}) = 0$
  - $A'$ se totiž získá nahrazením i-tého řádku tím j-tým
  - u toho vyplývá, že součin $A$ a k ní adjungované bude mít mimo diagonálu nuly
- $A\cdot\text{adj }A=\text{det }A\cdot I\implies A\cdot(\frac1{\text{det }A}\text{ adj }A)=I$

Věty a důkazy (30)

věta o počtu koster grafu

věta: Každý multigraf $G$ s $|V_G|\geq 2$ splňuje $\kappa(G)=\text{det }L_G^{11}.$
důkaz
- pomocné lemma: $\kappa(G)=\kappa(G-e)+\kappa(G\circ e)$ $κ (G) = κ (G - e) + κ (G \circ e)$
  - všechny kostry grafu $G$ lze rozdělit podle toho, zda obsahují hranu $e$
  - kostry grafu $G-e$ jsou ty kostry $G$ , které hranu $e$ neobsahují
  - kostry grafu $G\circ e$ jsou kostry $G$ , které hranu $e$ obsahují ( $\circ$ značí kontrakci hrany)
- $G$ je BÚNO souvislý, důkaz indukcí podle $|E_G|$
- základní případ
  - pro $|E_G|=1$ má $G$ jen dva vrcholy a $\kappa(G)=1=\text{deg}(v_2)=(L_G)_{22}=\text{det }L_G^{11}$
- indukční krok
  - zvolme libovolnou $e\in E_G$ $e \in E_{G}$ , BÚNO $e=(v_1,v_2)$ $e = (v_{1}, v_{2})$
    - předpokládáme, že jsou vrcholy očíslovány tak, aby zvolená hrana vedla právě takto
  - označme $A=L_G^{11},\,B=L_{G-e}^{11},\,C=L_{G\circ e}^{11}$
  - $C$ je podmatice $L_G$ odpovídající $v_3,\dots,v_n$ , tedy $C=A^{11}=B^{11}$
  - z indukčního předpokladu: $\kappa(G-e)=\text{det }B,\,\kappa(G\circ e)=\text{det }C$
  - $A,B$ jsou shodné kromě $b_{11}=a_{11}-1$ , protože vypuštěním $e$ klesne stupeň $v_2$ o jedna
  - první sloupec $A$ vyjádříme jako součet prvního sloupce $B$ a vektoru $e_1$
  - linearitou determinantu matice $A$ podél tohoto rozkladu prvního sloupce získáme $\text{det }A=\text{det }B+\text{det }C$
  - $\kappa(G)=\kappa(G-e)+\kappa(G\circ e)=\text{det }L_{G-e}^{11}+\text{det }L_{G\circ e}^{11}=\text{det }L_G^{11}$

Věty a důkazy (30)

malá Fermatova věta

věta: Pro libovolné $x\in\mathbb Z_p\setminus\lbrace 0\rbrace:x^{p-1}=1$ .
důkaz
- zobrazení $f_a:x\mapsto ax$ je v $\mathbb Z_p$ bijekcí na $\lbrace 1, \dots, p-1 \rbrace$
- proto v $\mathbb Z_p$ platí $\prod_{x=1}^{p-1}x=\prod_{x=1}^{p-1}f_a(x)=\prod_{x=1}^{p-1}ax=a^{p-1}\prod_{x=1}^{p-1}x$
- a po zkrácení $\prod_{x=1}^{p-1}x$ dostaneme $1=a^{p-1}$
důsledek: $a=a^p$ (v tělese $\mathbb Z_p$ ), případně $a^p-a=0$
důsledek: pro každý $q\in\mathbb Z_p(x)$ existuje $r\in\mathbb Z_p(x)$ stupně nejvýše $p-1$ takový, že $\forall x\in\mathbb Z_p:q(x)=r(x)$

Věty a důkazy (30)

věta o Vandermondově matici

věta: Vandermondova matice $V_{n+1}(x_0,\dots,x_n)$ je regulární $\iff x_0,\dots,x_n$ jsou různá.
jak vypadá V. matice: v každém řádku je geometrická posloupnost s kvocientem $x_i$ (posloupnost začíná jedničkou a končí $x_i^n$ )
důkaz
- odečteme první řádek matice od všech ostatních (vzniklou matici označme $A$ )
- v prvním soupci je jedna jednička a pod ní $n$ nul, takže podle Laplaceova rozvoje dostaneme determinant matice bez prvního řádku a prvního sloupce (matice $A^{11}$ )
- z každého řádku vytkneme $(x_i-x_0)$ , matici označme jako $B$
- tedy $\text{det }V_{n+1}=\text{det }A=\text{det }A^{11}=\left(\prod^n_{i=1}(x_i-x_0)\right)\cdot\text{det }B$
- nyní odzadu odečteme od každého sloupce $x_0$ -násobek předchozího, tak eliminujeme všechny sčítance obsahující $x_0$
- získáme rekurenci $\text{det}(V_{n+1}(x_0,\dots,x_n))=\left(\prod_{i=1}^n(x_i-x_0)\right)\cdot\text{det}(V_n(x_1,\dots,x_n))$
- z toho plyne $\text{det}(V_{n+1}(x_0,\dots,x_n))=\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)$

Věty a důkazy (30)

Lagrangeova interpolace (a její správnost)

Lagrangeova interpolace je alternativní způsob interpolace polynomu $p\in\mathbb K(x)$ stupně $n$ skrz $n+1$ bodů $(x_i,y_i)$
určení polynomu (a důkaz správnosti)
- určíme $n+1$ $n + 1$ pomocných polynomů stupně $n$ $n$ $p_i(x)=\frac{\prod_{j\neq i}(x-x_j)}{\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}$
  - v čitateli je součin dvojčlenů, jmenovatel je konstanta
  - všimneme si, že $p_i(x_i)=1$ $p_{i} (x_{i}) = 1$ a že $p_i(x_j)=0$ $p_{i} (x_{j}) = 0$ pro $i\neq j$ $i \neq = j$
    - to je vidět po dosazení za $x$
- sestavíme $p(x)$ $p (x)$ jako lineární kombinaci $p(x)=\sum^{n+1}_{j=1}y_jp_j(x)$ $p (x) = \sum_{j = 1}^{n + 1} y_{j} p_{j} (x)$
  - tzn. každý z pomocných polynomů vynásobím odpovídajícím $y_i$
- potom platí $p(x_i)=y_ip_i(x_i)=y_i$ , protože ve všech ostatních sčítancích je $p_j(x_i)$ roven nule

Věty a důkazy (30)

věta o podprostoru vlastních vektorů

věta: Vlastní vektory odpovídající stejnému vlastnímu číslu tvoří podprostor.
důkaz
- uvažme vlastní číslo $\lambda$ $λ$ lineárního zobrazení $f:V\to V$ $f : V \to V$ a množinu $U=\lbrace u \in V: f(u)=\lambda u\rbrace$ $U = {u \in V : f (u) = λ u}$
  - tedy $U$ je množina vlastních vektorů odpovídajících danému vlastnímu číslu
- pro jakékoli $u,v\in U$ $u, v \in U$ a $\alpha\in \mathbb K$ $α \in K$ dostaneme
  - $f(\alpha u)=\alpha f(u)=\alpha\lambda u=\lambda(\alpha u)$
  - $f(u+v)=f(u)+f(v)=\lambda u+\lambda v=\lambda(u+v)$
- z toho plyne, že je $U$ uzavřen na sčítání a skalární násobky, tedy je podprostorem $V$

Věty a důkazy (30)

věta o lineární nezávislosti vlastních vektorů

věta: Nechť $f:V\to V$ je lineární zobrazení a $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ jsou různá vlastní čísla $f$ a $u_1,\dots,u_k$ odpovídající netriviální vlastní vektory. Potom $u_1,\dots,u_k$ jsou lineárně nezávislé.
důkaz
- pro spor přepdokládejme, že $k$ je nejmenší číslo, pro které existují vlastní čísla a vektory odporující větě
- tedy $\sum^k_{i=1}\alpha_iu_i=0$ , přičemž alespoň jedno $\alpha_i$ je nenulové, tedy $\exists i:\alpha_i\neq 0$
- nulový vektor vyjádříme dvěma způsoby
  - $0=\lambda_k0=\lambda_k\sum^k_{i=1}\alpha_iu_i=\sum^k_{i=1}\lambda_k\alpha_iu_i$
  - $0=f(0)=f\left(\sum^k_{i=1}\alpha_iu_i\right)=\sum^k_{i=1}\alpha_if(u_i)=\sum^k_{i=1}\lambda_i\alpha_iu_i$
- z toho plyne $0=0-0=\sum^k_{i=1}\lambda_i\alpha_iu_i-\sum^k_{i=1}\lambda_k\alpha_iu_i=\sum^{k-1}_{i=1}(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_iu_i$ $0 = 0 - 0 = \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} α_{i} u_{i} - \sum_{i = 1}^{k} λ_{k} α_{i} u_{i} = \sum_{i = 1}^{k - 1} (λ_{i} - λ_{k}) α_{i} u_{i}$
  - poslední členy obou součtů jsou stejné, proto se odečtou
- $\left(\sum^{k-1}_{i=1}(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_iu_i=0\right)\land(\forall i:\lambda_i\neq\lambda_k)\land(\exists i:\alpha_i\neq0)$
- $\implies\left(\sum^{k-1}_{i=1}\beta_iu_i=0\right)\land(\exists i:\beta_i\neq0)$
- tedy již prvních $k-1$ vektorů je lineárně závislých, což je spor s minimalitou $k$

Věty a důkazy (30)

věta o kořenech charakteristického polynomu

věta: Číslo $\lambda\in\mathbb K$ je vlastním číslem matice $A\in\mathbb K^{n\times n}\iff\lambda$ je kořenem jeho charakteristického polynomu $p_A(t)$ .
definice charakteristického polynomu: $p_A(t)=\text{det}(A-tI_n)$
důkaz
- $\lambda$ je vlastní číslo $A$
- $\iff\exists x\in\mathbb K^n\setminus\lbrace0\rbrace:Ax=\lambda x$
- $\iff\exists x\in\mathbb K^n\setminus\lbrace0\rbrace: 0=Ax-\lambda x=Ax-\lambda I_nx=(A-\lambda I_n)x$
- $\iff$ matice $A-\lambda I_n$ je singulární
- $\iff0=\text{det}(A-\lambda I_n)=p_A(\lambda)$

Věty a důkazy (30)

Cayley-Hamiltonova věta

věta: Pro matici $A\in\mathbb K^{n\times n}$ a její charakteristický polynom $p_A(t)=(-1)^nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\dots+a_2t^2+a_1t+a_0$ platí, že $p_A(A)=(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_2A^2+a_1A+a_0I_n=0_n$ .
důkaz
- použijeme větu (o adjungované matici), že $M\cdot\text{adj }M=(\text{det }M)\cdot I_n$ pro $M=A-tI_n$
- složky $\text{adj}(A-tI_n)$ jsou determinanty podmatic, tj. polynomy v $t$ stupně nejvýše $n-1$
- matici lze tedy rozepsat takto: $\text{adj}(A-tI_n)=t^{n-1}B_{n-1}+\dots+tB_1+B_0$ pro $B_{n-1},\dots,B_0\in\mathbb K^{n\times n}$
- nyní máme $(A-tI_n)(t^{n-1}B_{n-1}+\dots+tB_1+B_0)$ $=p_A(t)I_n=(-1)^nt^nI_n+a_{n-1}t^{n-1}I_n+\dots+a_2t^2I_n+a_1tI_n+a_0I_n$
- získáme $n+1$ $n + 1$ rovnic (porovnáváme koeficienty u $t^i$ $t^{i}$ na levé a pravé straně rovnice)
  - pro $t^n$ : $-B_{n-1}=(-1)^nI_n$
  - pro $t^i$ ( $0\lt i\lt n$ ): $AB_i-B_{i-1}=a_iI_n$
  - pro $t^0$ : $AB_0=a_0I_n$
- všechny rovnice kromě té poslední vynásobíme zleva $A^i$ (respektive $A^n$ ) a všechny je sečteme
- na levé straně dostaneme $-A^nB_{n-1}+A^{n-1}(AB_{n-1}-B_{n-2})+\dots+A(AB_1-B_0)+AB_0=0_n$ $- A^{n} B_{n - 1} + A^{n - 1} (A B_{n - 1} - B_{n - 2}) + \dots + A (A B_{1} - B_{0}) + A B_{0} = 0_{n}$
  - členy se navzájem poodčítají
- pravá strana: $(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_2A^2+a_1A+a_0I_n=p_A(A)$

Věty a důkazy (30)

nezbytná a postačující podmínka, kdy je matice diagonalizovatelná

věta: Matice $A\in\mathbb K^{n\times n}$ je podobná diagonální matici (tzn. diagonalizovatelná), právě když prostor $\mathbb K^n$ má bázi sestávající z vlastních vektorů $A$ .
důkaz: $AR=RD$ s diagonální maticí $D$ , pokud pro každé $i$ existuje vektor $x$ (i-tý sloupec $R$ ) takový, že $Ax=\lambda x=d_{ii}x$
důležitá „pozorování“
- vlastní vektory matice $A$ tvoří bázi prostoru $\mathbb K^n\iff$ je jich $n$ a jsou lineárně nezávislé
- matice $R$ je regulární (z definice podobnosti)
- vlastní čísla diagonální matice jsou její prvky na diagonále
- dvě podobné matice mají stejná vlastní čísla, důkaz:
  - $A=R^{-1}BR$
  - $Ax=\lambda x$
  - $R^{-1}BRx=\lambda x$
  - $BRx=\lambda Rx$
  - $By=\lambda y$
H. důkaz
- $\implies$ $⟹$
  - $AR=RD$ , porovnáváme j-té sloupce
  - levá strana: $(AR)_{*j}=AR_{*j}$
  - pravá strana: $(RD)_{*j}=\lambda_j R_{*j}$
  - $AR_{*j}=\lambda_j R_{*j}\implies R_{*j}$ je vlastní vektor matice $A$
  - z regularity $R$ vyplývá lineární nezávislost
- $\impliedby$ $⟸$
  - $R$ sestavíme z vlastních vektorů matice $A$ (dáme je do sloupců)
  - tedy platí $AR_{*j}=\lambda_j R_{*j}$
  - z toho odvodíme $AR=RD$
důsledek – matice $R$ je tvořena vlastními vektory matice $A$ , matice $D$ ma na diagonále vlastní čísla matice $A$

Věty a důkazy (30)

věta o diagonalizaci speciálních komplexních matic

věta: Každá hermitovská matice $A$ má všechna vlastní čísla reálná. Navíc existuje unitární matice $R$ taková, že $R^{-1}AR$ je diagonální.
pozorování o hermitovských a unitárních maticích
- hermitovské matice mají reálnou úhlopříčku
- $A$ je unitární $\iff A^H$ je unitární
- součin unitárních matic je unitární
- unitární $A$ splňuje $A^HA=I$ , tj. pro sloupce $x_1,\dots,x_n$ platí $x_i^Hx_i=1$ a $x_i^Hx_j=0$ pro $i\neq j$
důkaz: indukcí dle $n$ $n$ (řádu matice)
- pro $n=1$ věta platí
- označme $A_n=A$
- v tělese $\mathbb C$ má matice $A_n$ vlastní číslo $\lambda$ s vlastním vektorem $x$
- zvětšíme $x$ $x$ faktorem $\frac1{\sqrt{x^Hx}}$ $\frac{1}{x ^{H} x}$ , aby platilo $x^Hx=1$ $x^{H} x = 1$
  - normalizace vektoru
- doplníme $x$ $x$ na unitární matici $P_n$ $P_{n}$
  - doplnění lze provést
- mějme matici $P_n^HA_nP_n$ , ta je hermitovská: $(P^H_nA_nP_n)^H=P^H_nA^H_n(P^H_n)^H=P^H_nA_nP_n$
- $($ první sloupec $P_n$ je $x)\land (A_nx=\lambda x)\implies$ první sloupec $A_nP_n$ je $\lambda x$
- $P_n$ $P_{n}$ je unitární $\implies$ $⟹$ první sloupec $P^H_nA_nP_n$ $P_{n}^{H} A_{n} P_{n}$ je $P^H_n\lambda x=\lambda P^H_nx=\lambda e_1$ $P_{n}^{H} λ x = λ P_{n}^{H} x = λ e_{1}$
  - protože součin i-tého řádku a sloupce je jedna, jinak nula (a vektor $x$ odpovídá prvnímu řádku matice $P^H_n$ )
- $(P^H_nA_nP_n)_{11}=\lambda$ $(P_{n}^{H} A_{n} P_{n})_{11} = λ$ , zbytek prvního řádku a prvního sloupce tvoří nuly
  - nuly v prvním sloupci jsme odvodili
  - z hermitovskosti vyplývá, že $\lambda\in\mathbb R$ (protože je na diagonále) a že jsou nuly i v prvním řádku
- $(P_n^HA_nP_n)^{11}=A_{n-1}$ hermitovská
- podle indukčního předpokladu: $R_{n-1}^{-1}A_{n-1}R_{n-1}=D_{n-1}$ pro nějakou unitární $R_{n-1}$ a diagonální $D_{n-1}$
- položíme $R_n=P_n\cdot\begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R_{n-1} \end{pmatrix}$ $R_{n} = P_{n} \cdot (10 0^{T} R_{n - 1})$
  - součiny unitárních matic jsou unitární
- $R^{-1}_nA_nR_n=R^H_nA_nR_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R^H_{n-1} \end{pmatrix}\cdot P^H_nA_nP_n\cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R_{n-1} \end{pmatrix}=$
- $=\begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R^H_{n-1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda & 0^T \\ 0 & A_{n-1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R_{n-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda & 0^T \\ 0 & D_{n-1} \end{pmatrix}=D_n$

Věty a důkazy (30)

Cauchy-Schwarzova nerovnost

věta: Skalární součin libovolných dvou vektorů $u$ $u$ a $v$ $v$ ve vektorovém prostoru nad $\mathbb C$ $C$ splňuje $|\langle u|v\rangle|\leq\sqrt{\langle u|u\rangle\langle v|v\rangle}$ $∣ ⟨ u ∣ v ⟩ ∣ \leq ⟨ u ∣ u ⟩ ⟨ v ∣ v ⟩$ .
- tedy $|\langle u|v \rangle|\leq ||u||\cdot ||v||$ (vůči odpovídající normě)
důkaz
- pro $u=0$ nebo $v=0$ dostaneme $0\leq 0$
- pro libovolné $a\in\mathbb C$ $a \in C$ platí:
  - $||u+a v||^2\geq 0$
  - $||u+a v||^2=\langle u+a v|u+a v\rangle$ $=\langle u|u\rangle + a \langle v|u\rangle +\overline{a}\langle u|v\rangle + a\overline{a}\langle v|v\rangle$
- pro vzájemné odečtení posledních dvou členů zvolíme $a=-\frac{\langle u|v\rangle}{\langle v|v\rangle}$
- dostaneme
  - $0\leq\langle u|u\rangle-\frac{\langle u|v\rangle}{\langle v|v\rangle}\langle v|u\rangle$
  - $\langle u|v\rangle\langle v|u\rangle\leq\langle u|u\rangle\langle v|v\rangle$ $⟨ u ∣ v ⟩ ⟨ v ∣ u ⟩ \leq ⟨ u ∣ u ⟩ ⟨ v ∣ v ⟩$
    - na $\mathbb C$ platí $a\overline{a}=|a|^2$
  - $|\langle u|v\rangle|^2\leq||u||^2\cdot||v||^2$
  - $|\langle u|v\rangle|\leq||u||\cdot||v||$

Věty a důkazy (30)

trojúhelníková nerovnost

tvrzení: Každá norma odvozená ze skalárního součinu splňuje trojúhelníkovou nerovnost: $||u+v||\leq||u||+||v||$
důkaz
- $||u+v||=\sqrt{\langle u+v|u+v\rangle}=\sqrt{\langle u|u\rangle+\langle v|u\rangle+\langle u|v\rangle+\langle v|v\rangle}\leq$
- $\leq\sqrt{||u||^2+2|\langle u|v\rangle|+||v||^2}\leq\sqrt{||u||^2+2||u||\cdot||v||+||v||^2}=$
- $=||u||+||v||$
- první nerovnost platí, neboť
  - $(a+bi)+(a-bi)\leq 2|a+bi|$
  - $2a\leq2\sqrt{a^2+b^2}$
  - $a^2\leq a^2+b^2$
- druhá nerovnost vyplývá z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti

Věty a důkazy (30)

věta o Fourierových koeficientech

nechť $Z=\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ je ortonormální báze prostoru $V$
tvrzení: pro každé $u\in V$ platí $u=\langle u|v_1\rangle v_1+\dots+\langle u|v_n\rangle v_n$
$\langle u|v_i\rangle$ … Fourierovy koeficienty
důkaz: (vyplývá z toho, že $\langle v_i|v_j\rangle$ se rovná jedné pro $i=j$ , jinak nule) $u=\sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\implies\langle u|v_j\rangle=\left\langle \sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\middle|v_j\right\rangle=\sum^n_{i=1}\alpha_i\langle v_i|v_j\rangle=\alpha_j$

Věty a důkazy (30)

Gram-Schmidtova ortonormalizace (a její správnost) – včetně lemmatu, pokud jej potřebujete

algoritmus – převede libovolnou bázi $(u_1,\dots,u_n)$ $(u_{1}, \dots, u_{n})$ prostoru $V$ $V$ se skalárním součinem na ortonormální bázi $(v_1,\dots,v_n)$ $(v_{1}, \dots, v_{n})$
- for $i=1,\dots,n$ $i = 1, \dots, n$ do
  - $w_i=u_i-\sum^{i-1}_{j=1}\langle u_i|v_j\rangle v_j$
  - $v_i=\frac1{||w_i||}w_i$
- end
důkaz správnosti
- $v_i\perp v_j\iff i\neq j$ $v_{i} ⊥ v_{j} ⟺ i \neq = j$ plyne z $w_i\perp v_j$ $w_{i} ⊥ v_{j}$ pro každé $j\lt i$ $j < i$ , což dokazuje následující lemma
  - lemma: Nechť $p_Z$ je ortogonální projekce $W$ na $V$ , potom $u-p_Z(u)\perp v_i$ pro každé $v_i\in Z$ .
  - důkaz
    - $\langle u-p_Z(u)|v_i\rangle=\left\langle u-\sum^n_{j=1}\langle u|v_j\rangle v_j\middle|v_i\right\rangle=$
    - $=\langle u|v_i\rangle-\sum^n_{j=1}\langle u|v_j\rangle\langle v_j|v_i\rangle=\langle u|v_i\rangle-\langle u|v_i\rangle=0$ $= ⟨ u ∣ v_{i} ⟩ - \sum_{j = 1}^{n} ⟨ u ∣ v_{j} ⟩ ⟨ v_{j} ∣ v_{i} ⟩ = ⟨ u ∣ v_{i} ⟩ - ⟨ u ∣ v_{i} ⟩ = 0$
      - $\langle v_j|v_i\rangle =0\iff i\neq j$
      - $\langle v_j|v_i\rangle =1\iff i=j$
- $||v_i||=\left\Vert\frac1{||w_i||}w_i\right\Vert=\frac{||w_i||}{||w_i||}=1$
- pomocí lemmatu o výměně dokážeme, že po výměně $u_i$ $u_{i}$ za $w_i$ $w_{i}$ , respektive $v_i$ $v_{i}$ dané vektory stále generují stejný prostor
  - lemma o výměně
    - Buď $y_1,\dots,y_n$ systém generátorů vektorového prostoru $V$ a nechť vektor $x \in V$ má vyjádření $x = \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i$ .
    - Pak pro libovolné $k$ takové, že $\alpha_k \neq 0$ , je $y_1,\dots,y_{k-1},x,y_{k+1},\dots,y_n$ systém generátorů prostoru $V$ .
  - důkaz lemmatu
    - $x = \sum_i\alpha_iy_i = \sum_{i\neq k}\alpha_iy_i + \alpha_ky_k$
    - $y_k=\frac{1}{\alpha_k}(x-\sum_{i\neq k}\alpha_iy_i)$
    - libovolný vektor $z \in V$ $z \in V$ lze vyjádřit jako
      - $z = \sum_i\beta_iy_i=\sum_{i\neq k}\beta_iy_i + \beta_ky_k=$
      - $=\sum_{i\neq k}\beta_iy_i + \frac{\beta_k}{\alpha_k}(x-\sum_{i\neq k}\alpha_iy_i)=$
      - $=\frac{\beta_k}{\alpha_k}x+\sum_{i\neq k}(\beta_i-\frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_i)y_i$

Věty a důkazy (30)

věta o izometrii a normě

věta: Lineární zobrazení mezi prostory $V$ a $W$ je izometrie, právě když zachovává související normu, tj. $||u||=||f(u)||$ .
definice: lineární zobrazení je izometrie, pokud zachovává skalární součin, tedy $\langle u|w\rangle=\langle f(u)|f(w)\rangle$
důkaz
- $\implies$ vychází z definice normy (norma závisí na skalárním součinu)
- pro $\impliedby$ $⟸$ porovnáme
  - $||u+aw||^2=||f(u+aw)||^2$
  - levá strana: $||u||^2+a\langle w|u\rangle + \overline{a}\langle u|w\rangle + a\overline{a}||w||^2$
  - pravá strana: $||f(u)||^2+a\langle f(w)|f(u)\rangle + \overline{a}\langle f(u)|f(w)\rangle + a\overline{a}||f(w)||^2$
  - první a poslední členy se zjevně rovnají
  - pro konkrétní $a$ porovnáme obě strany
  - pro $a=1$ : $\langle w|u\rangle+\langle u|w\rangle=\langle f(w)|f(u)\rangle+\langle f(u)|f(w)\rangle$
  - pro $a=i$ : $\langle w|u\rangle-\langle u|w\rangle=\langle f(w)|f(u)\rangle-\langle f(u)|f(w)\rangle$
  - obě rovnice sečteme a dostaneme $\langle u|w\rangle=\langle f(u)|f(w)\rangle$

Věty a důkazy (30)

věta o izometrii a vlastnostech její matice

věta
- Nechť $V$ a $W$ jsou prostory se skalárním součinem konečné dimenze a $X,Y$ jsou jejich ortonormální báze.
- Lineární zobrazení $f:V\to W$ je bijektivní izometrie, právě když $[f]_{XY}$ je unitární.
důkaz
- lineární bijekce implikuje stejné dimenze a naopak
- $X$ $X$ je ortonormální $\implies\langle u|w\rangle=[w]^H_X[u]_X$ $⟹ ⟨ u ∣ w ⟩ = [w]_{X}^{H} [u]_{X}$ , důkaz:
  - $u=\sum^n_{i=1}\langle u|v_i\rangle v_i;\quad w=\sum^n_{j=1}\langle w|v_j\rangle v_j$
  - $\langle u|w\rangle =\left\langle \sum^n_{i=1}\langle u|v_i\rangle v_i\middle|\sum^n_{j=1}\langle w|v_j\rangle v_j\right\rangle=$
  - $=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\langle u|v_i\rangle\overline{\langle w|v_j\rangle}\langle v_i|v_j\rangle=\sum^n_{i=1}\langle u|v_i\rangle\overline{\langle w|v_i\rangle}=[w]^H_Z[u]_Z$ $= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} ⟨ u ∣ v_{i} ⟩ \overline{⟨ w ∣ v_{j} ⟩} ⟨ v_{i} ∣ v_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ u ∣ v_{i} ⟩ \overline{⟨ w ∣ v_{i} ⟩} = [w]_{Z}^{H} [u]_{Z}$
    - ( $\langle w|v_k\rangle$ je komplexně sdružené)
- $Y$ je ortonormální $\implies\langle f(u)|f(w)\rangle=[f(w)]^H_Y[f(u)]_Y=[w]^H_X[f]^H_{XY}[f]_{XY}[u]_X$
- maticová rovnost $x^Ty=x^TAy$ obecně platí, pouze když je $A$ jednotková matice
- $f$ je izometrie pokud $[w]^H_X[u]_X=[w]_X^H[f]^H_{XY}[f]_{XY}[u]_X$ platí pro všechna $u$ a $w$
- to platí právě když $[f]^H_{XY}[f]_{XY}=I$ , tedy je-li $[f]_{XY}$ unitární

Věty a důkazy (30)

věta o ortogonálním doplňku

věta: Pro konečně generovaný prostor $W$ se skalárním součinem a podprostor $V$ platí $(V^\perp)^\perp=V$ a $\text{dim }V+\text{dim }V^\perp=\text{dim }W$ .
důkaz
- zvolíme nějakou ortonormální bázi $X$ prostoru $V$ a doplníme ji na ortonormální bázi $Z$ prostoru $W$
- označme $Y=Z\setminus X,\,X=(x_1,\dots,x_k),\,Y=(y_1,\dots,y_l)$
- každé $u\in\mathcal L(X)=V$ $u \in L (X) = V$ je kolmé ke každému $v\in\mathcal L(Y)$ $v \in L (Y)$
  - $\langle u|v\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^ka_ix_i\middle|\sum^l_{j=1}b_jy_j\right\rangle=\sum^k_{i=1}\sum^l_{j=1}a_i\bar{b_j}\langle x_i|y_j\rangle=0$
  - protože $Z$ je ortonormální báze
  - proto $\mathcal L(Y)\subseteq V^\perp$
- vezměme $w\in V^\perp$ a uvažme $[w]_Z$
- $Z$ je ortonormální $\implies ([w]_Z)_i=\langle w|z_i\rangle$
- $w\in V^\perp\implies\langle w|x_i\rangle =0\implies w\in\mathcal L(Y)\implies V^\perp\subseteq\mathcal L(Y)$
- tedy $V^\perp=\mathcal L(Y)$
- $\text{dim }V+\text{dim }V^\perp=|X|+|Y|=|Z|=\text{dim }W$
- $(V^\perp)^\perp=\mathcal L(Z\setminus Y)=\mathcal L(X)=V$

Věty a důkazy (30)

věta o skalárním součinu dvou vektorů a Gramově matici

věta
- Nechť $V$ je prostor se skalárním součinem a bází $X=(v_1,\dots,v_n)$ .
- Potom tzv. Gramova matice $A$ definované $a_{ij}=\langle v_i|v_j\rangle$ splňuje $\forall u,w\in V:\langle u|w\rangle =[w]^H_XA^T[u]_X$ .
pozorování: když je $X$ ortonormální báze, pak $A=I_n$
důkaz
- označme $[u]_X=(b_1,\dots,b_n)^T,\,[w]_X=(c_1,\dots,c_n)^T$
- $\langle u|v\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^nb_iv_i\middle|\sum^n_{j=1}c_jv_j\right\rangle=$
- $=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}b_i\bar{c_j}\langle v_i|v_j\rangle=[w]^H_XA^T[u]_X$

Věty a důkazy (30)

věta o třech ekvivalentních podmínkách pro pozitivně definitní matice

věta: Pro hermitovskou matici $A$ $A$ jsou následující podmínky ekvivalentní:
1. $A$ je pozitivně definitní,
2. $A$ má všechna vlastní čísla kladná,
3. existuje regulární matice $U$ taková, že $A=U^HU$ .
důkaz
- $1\implies 2$ $1 ⟹ 2$
  - protože $A$ je hermitovská, má vlastní čísla reálná
  - mějme netriviální vlastní vektor $x$ odpovídající vl. číslu $\lambda$
  - potom $0\lt x^HAx=\lambda x^Hx=\lambda\langle x|x\rangle$ $0 < x^{H} A x = λ x^{H} x = λ ⟨ x ∣ x ⟩$
    - $\langle x|x\rangle\gt 0\implies\lambda\gt 0$
- $2\implies 3$ $2 ⟹ 3$
  - protože $A$ je hermitovská, existují unitární $R$ a diagonální $D$ takové, že $A=R^HDR$
  - vezměme diagonální $\tilde D:\tilde d_{ii}=\sqrt{d_{ii}}$
  - vezměme $U=\tilde DR$
  - $U^HU=(\tilde DR)^H\tilde DR=R^H\tilde D^H\tilde DR=R^HDR=A$
  - $U$ je regulární, protože unitární i diagonální matice jsou regulární
- $3\implies 1$ $3 ⟹ 1$
  - pro regulární $U$ platí $x\in\mathbb C^n\setminus\lbrace0\rbrace\implies Ux\neq0$
  - $x^HAx=x^HU^HUx=(Ux)^HUx=\langle Ux|Ux\rangle \gt 0$

Věty a důkazy (30)

věta o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice

věta: Bloková matice $A=\begin{pmatrix}\alpha & a^H \\ a & \tilde A \end{pmatrix}$ je pozitivně definitní $\iff \alpha\gt 0\land\tilde A-\frac1\alpha aa^H$ je pozitivně definitní.
pozorování: Gaussova eliminace prvního sloupce pomocí prvního řádku dává v hermitovské matici $\begin{pmatrix}\alpha & a^H \\ a & \tilde A \end{pmatrix}\sim\sim\begin{pmatrix}\alpha & a^H \\ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^H \end{pmatrix}$
pozorování: pokud je $A$ $A$ pozitivně definitní a $R$ $R$ je regulární, pak $R^HAR$ $R^{H} A R$ je také pozitivně definitní
- důkaz: $x^HR^HARx=y^HAy\gt0$ pro $y=Rx\neq 0$
pozorování: hermitovská bloková matice $C=\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$ $C = (A 0 0 B)$ je pozitivně definitní, právě když jsou $A$ $A$ i $B$ $B$ pozitivně definitní, důkaz:
- mějme $z=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)^T$
- $\impliedby:\quad z^HCz=x^HAx+y^HBy$ $⟸ : z^{H} C z = x^{H} A x + y^{H} B y$
  - když jsou oba sčítance kladné, tak je kladný i součet
- $\implies:\quad$ $⟹ :$ doplníme $x$ $x$ nulami na $z$ $z$ , dostaneme $x^HAx=z^HCz\gt 0$ $x^{H} A x = z^{H} C z > 0$
  - podobně pro $y$ a $B$
důkaz
- Gaussova eliminace prvního sloupce $A$ $A$ odpovídá součinu $\begin{pmatrix}1 & 0^H \\ -\frac1\alpha a & I \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\alpha & a^H \\ a & \tilde A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha & a^H \\ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^H \end{pmatrix}$
  - matici elementárních úprav označme $R^H$ (je regulární)
- $R^HAR=\begin{pmatrix}\alpha & 0^H \\ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^H \end{pmatrix}$ $R^{H} A R = (α 0 0^{H} \tilde{A} - \frac{1}{α} a a^{H})$
  - $A$ je pozitivně definitní, právě když je výsledná bloková matice pozitivně definitní (což nastává, když má oba nenulové bloky pozitivně definitní)

Věty a důkazy (30)

věta o pozitivně definitních maticích a determinantech

věta (Sylvesterova podmínka, hlavní vedoucí podmatice): Hermitovská matice $A$ řádu $n$ je pozitivně definitní, právě když matice $A_1,\dots,A_n$ mají kladné determinanty, kde $A_i$ sestává z prvních $i$ řádku a sloupců $A$ .
důkaz
- použijeme Gaussovu eliminaci $A\sim\sim A'$ pro test, zda je $A$ pozitivně definitní
- $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ jsou prvky na diagonále výsledné horní trojúhelníkové matice $A'$
- eliminaci jsme prováděli přičítáním násobku řádku shora dolů, tedy $\text{det }A_i=\text{det }A'_i=\prod_{j\leq i}\alpha_j=\text{det }A_{i-1}\alpha_i$
- $A$ je pozitivně definitní $\iff\alpha_1,\dots,\alpha_n\gt0\iff\text{det }A_1,\dots,\text{det }A_n\gt0$

Věty a důkazy (30)

algoritmus pro výpočet Choleského rozkladu (a jeho správnost)

máme $A$ , hledáme $U$ takové, že $U^HU=A$
algoritmus
- input: hermitovská $A$
- output: $U$ , pokud je $A$ pozitivně definitní
- for $i=1,\dots,n$ $i = 1, \dots, n$ do
  - $u_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum^{i-1}_{k=1}\bar u_{ki}u_{ki}}$
  - if $u_{ii}\notin\mathbb R^+$ then return $A$ není pozitivně definitní
  - for $j=i+1,\dots,n$ $j = i + 1, \dots, n$ do
    - $u_{ij}=\frac1{u_{ii}}\left(a_{ij}-\sum^{i-1}_{k=1}\bar u_{ki}u_{kj}\right)$
  - end
- end
správnost
- předpokládejme, že algoritmus selže během i-té iterace, tj. $\alpha-u^Hu\leq 0$ $α - u^{H} u \leq 0$
  - $\alpha$ odpovídá $a_{ii}$
- $u$ je vektor o $i-1$ složkách v horní trojúhelníkové matici
- máme částečný rozklad hlavní vedoucí podmatice $A'=V^HV$ a rovněž sloupec nad $\alpha$ (a řádku vlevo) $a=V^Hu$
- trikově zvolíme $x=-V^{-1}u$
- $x$ má $i-1$ složek, tedy jej doplníme o jednu jedničku (na pozici $i$ ) a jinak samé nuly na vektor $y$
- $y^HAy=x^HA'x+x^Ha+a^Hx+\alpha=$ $y^{H} A y = x^{H} A^{'} x + x^{H} a + a^{H} x + α =$
  - tento rozklad vychází z toho, jak vypadá vektor $y$ $y$
    - první člen součtu násobí dvakrát vektorem $x$
    - druhý a třetí člen násobí jednou $x$ a jednou jedničkou (na i-té pozici)
    - čtvrtý člen násobí dvakrát jedničkou
    - ostatní členy násobí nulou (proto v součtu chybí)
- $=(-V^{-1}u)^H(V^HV)(-V^{-1}u)+$
- $+(-V^{-1}u)^H(V^Hu)+(V^Hu)^H(-V^{-1}u)+\alpha=$
- $=u^H(V^H)^{-1}V^HVV^{-1}u-u^H(V^H)^{-1}V^Hu-u^HVV^{-1}u+\alpha=$
- $=u^Hu-u^Hu-u^Hu+\alpha=\alpha-u^Hu\leq 0$
- proto $A$ není pozitivně definitní

Věty a důkazy (30)

věta o diagonalizovatelnosti matic forem

věta: Pokud je $g$ kvadratická forma na vektorovém prostoru $V$ konečné dimenze $n$ nad tělesem $\mathbb K$ jiné charakteristiky než 2, pak má forma $g$ diagonální matici $B$ vzhledem k vhodné bázi $X$ . (To platí i pro symetrické bilineární formy.)
definice: Polární báze dává diagonální matici kvadratické formy.
přeformulováno z hlediska matic:
- věta: Pro jakoukoliv symetrickou matici $A\in\mathbb K^{n\times n}$ s $\text{char}(\mathbb K)\neq 2$ existuje regulární matice $R$ taková, že $R^TAR$ je diagonální.
důkaz
- indukcí dle $n$ (řádu matice)
- označme $A=A_n=\begin{pmatrix}\alpha & a^T \\ a & \tilde A \end{pmatrix}$
- když $\alpha\neq 0$ , volíme $P^T_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \\ -\frac1\alpha a & I_{n-1} \end{pmatrix}$
- pak $P^T_nA_nP_n=\begin{pmatrix}\alpha & 0^H \\ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^T \end{pmatrix}$
- označíme $A_{n-1}=\tilde A-\frac1\alpha aa^T$ , tato matice je symetrická
- dle indukčního předpokladu existuje $R_{n-1}$ pro $A_{n-1}$
- zvolíme $R_n=P_n\cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R_{n-1}\end{pmatrix}$
- pak $R^T_nA_nR_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R^T_{n-1}\end{pmatrix}\cdot P^T_nA_nP_n \cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R_{n-1}\end{pmatrix}=$
- $=\begin{pmatrix}\alpha & 0^T \\ 0 & R^T_{n-1}A_{n-1}R_{n-1}\end{pmatrix}$ , což je dle IP diagonální matice
- pokud $\alpha=0$ , ale první sloupec není nulový ( $a_{i1}$ je nenulové pro nějaké $i$ ), tak použijeme elementární matici $E$ pro přičtení i-tého sloupce k prvnímu → vezmeme $A'=E^TAE$ místo $A$
- pokud je celý první řádek (i sloupec) nulový, tak $R_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \\ 0 & R_{n-1}\end{pmatrix}$

Věty a důkazy (30)

Sylvesterův zákon setrvačnosti – o diagonalizaci kvadratických forem

věta
- Každá kvadratická forma na konečně generovaném reálném vektorovém prostoru má vzhledem k vhodné bázi diagonální matici pouze s 1, –1 a 0.
- Všechny takové diagonální matice odpovídající téže formě mají stejný počet 1 a stejný počet –1.
důkaz existence
- nechť $B$ je maticí formy vzhledem k bázi $Y$
- pro reálnou symetrickou matici existuje spektrální rozklad (lze ji diagonalizovat), tedy $B=R^TDR$ pro regulární $R$
- rozložíme $D=S^TD'S$ $D = S^{T} D^{'} S$
  - všechny matice jsou diagonální
  - $d'_{ii}=\text{sgn}(d_{ii})$
  - $s_{ii}=\sqrt{|d_{ii}|}$ $s_{ii} = ∣ d_{ii} ∣$ pro nenulové $d_{ii}$ $d_{ii}$
    - pro $d_{ii}=0:s_{ii}=1$ , aby $S$ byla regulární
- $SR$ je regulární, $B=(SR)^TD'SR$
- zvolíme bázi $X$ tak, že $[id]_{X,Y}=SR,\,[id]_{Y,X}=(SR)^{-1}$
- $[id]^T_{Y,X}B[id]_{Y,X}=D'$ je hledaná matice formy
důkaz jednoznačnosti signatury (počtu jedniček, minus jedniček, nul)
- mějme báze $X=(u_1,\dots,u_n),\,Y=(v_1,\dots,v_n)$
- mějme dvě různé „sylvesterovské“ matice $B,B'$ formy $g$ uspořádané tak, že nejdříve jsou jedničky, pak minus jedničky a nakonec nuly
- součin s regulární maticí přechodu nemění hodnost, tedy i počet nul musí být v obou maticích stejný
- nechť $r$ je počet jedniček v $B$ , $s$ je počet jedniček v $B'$
- BÚNO $r\gt s$
- uvažme podprostory $\mathcal L(u_1,\dots,u_r)$ a $\mathcal L(v_{s+1},\dots,v_n)$
- z $r\gt s$ vyplývá, že součet jejich dimenzí přesahuje $n$ , tedy mají netriviální průnik
- zvolme nenulový vektor $w$ $w$ z tohoto průniku
  - $[w]_X=(x_1,\dots,x_r,0,\dots,0)$
  - $[w]_Y=(0,\dots,0,y_{s+1},\dots,y_n)$
  - alespoň jedno $x_i$ a alespoň jedno $y_i$ je nenulové
- $g(w)=[w]^T_XB[w]_X=x_1^2+\dots+x^2_r\gt 0$ $g (w) = [w]_{X}^{T} B [w]_{X} = x_{1}^{2} + \dots + x_{r}^{2} > 0$
  - protože alespoň jedno $x_i$ je nenulové
- $g(w)=[w]^T_YB[w]_Y=-y_1^2-\dots-y^2_r\lt 0$ $g (w) = [w]_{Y}^{T} B [w]_{Y} = - y_{1}^{2} - \dots - y_{r}^{2} < 0$
  - protože alespoň jedno $y_i$ je nenulové
- musí však platit $g(w)=g(w)$ , což neplatí → to je spor
- tedy $r=s$

Věty a důkazy (30)

věta o počtu přímek svírajících stejný úhel

věta: V $\mathbb R^d$ může nevýše $d+1\choose 2$ přímek svírat stejný úhel $\varphi$ .
důkaz
- předpokládejme, že existuje $n$ takových přímek
- zvolíme vektory jednotkové délky $v_1,\dots,v_n$ , z každé přímky po jednom
- platí $\langle v_i|v_j\rangle=\cos \varphi$ pro $i\neq j$ (jinak 1, protože jsou jednotkové délky)
- dokážeme, že matice $v_1v_1^T,\dots,v_nv_n^T\in\mathbb R^{d\times d}$ $v_{1} v_{1}^{T}, \dots, v_{n} v_{n}^{T} \in R^{d \times d}$ jsou lineárně nezávislé
  - předpokládejme, že $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_iv_i^T=0$ (lineární kombinace matic se rovná nulové matici)
  - pak musí platit pro každé $j\in\lbrace1,\dots,n\rbrace:0=v_j^T0v_j=v^T_j\left(\sum^n_{i=1}\alpha_iv_iv_i^T\right)v_j=$
  - $=\sum^n_{i=1}\alpha_iv_j^Tv_iv_i^Tv_j=\sum^n_{i=1}\alpha_i\langle v_i|v_j\rangle^2=\alpha_j+\cos^2\varphi\sum_{i\neq j}\alpha_i$
  - to lze přepsat na soustavu rovnic $Ax=0$ $A x = 0$
    - $A$ má na diagonále jedničky, všude jinde $\cos^2\varphi$
    - $x=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)^T$
  - matice této soustavy je regulární, proto je jediným řešením $\alpha_1=\dots=\alpha_n=0$ , z toho plyne lineární nezávislost matic
- dimenze prostoru symetrických matic z $\mathbb R^{d\times d}$ $R^{d \times d}$ je $d+1\choose 2$ $(2 d + 1)$
  - proto $n\leq {d+1\choose 2}$

Přehledy (14)

výpočet determinantů

permutační grupa, znaménko permutace
vzorec pro výpočet determinantu
Sarrusovo pravidlo pro matice 3×3
determinant matice s nulovým řádkem
determinant trojúhelníkové matice
vliv elementárních úprav a transpozice na determinant
věta o linearitě determinantu
determinant singulární matice je roven nule
věta o determinantu součinu dvou matic
věta o Laplaceově rozvoji determinantu
adjungovaná matice
věta o adjungované matici
Cramerovo pravidlo (řešení systémů s determinanty)

Přehledy (14)

determinanty a jejich geometrický význam

viz výpočet determinantů
objem rovnoběžnostěnu určeného $k$ vektory je roven absolutní hodnotě determinantu matice, jejíž sloupce tyto vektory tvoří
po provedení lineárního zobrazení se objemy těles změní úměrně absolutní hodnotě determinantu matice zobrazení

Přehledy (14)

počet koster grafu

kostra je podgraf souvislého grafu, který je stromem a obsahuje všechny vrcholy
Laplaceova matice
věta o počtu koster grafu
úplný graf $K_n$ má $n^{n-2}$ koster

Přehledy (14)

polynomy

polynom nad tělesem
operace s polynomy – sčítání, odčítání, skalární násobek, součin, dělení se zbytkem
malá Fermatova věta
kořen polynomu a jeho násobnost
algebraicky uzavřené těleso
Vandermondova matice
věta o Vandermondově matici
Lagrangeova interpolace

Přehledy (14)

vlastní čísla a vlastní vektory

vlastní číslo a vlastní vektor lineárního zobrazení
vlastní číslo a vlastní vektor matice
spektrum (množina vlastních čísel matice)
algebraická násobnost vlastního čísla
geometrická násobnost vlastního čísla
věta o podprostoru vlastních vektorů
věta o lineární nezávislosti vlastních vektorů
vlastní vektory a vlastní čísla diagonální matice
matice řádu $n$ může mít nejvýše $n$ různých vlastních čísel

Přehledy (14)

charakteristický polynom a jeho koeficienty

charakteristický polynom matice
vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu
algebraická násobnost vlastního čísla
věta o kořenech charakteristického polynomu
spektrální rozklad pomocí charakteristického polynomu
Geršgorinovy kruhy
Cayley-Hamiltonova věta

Přehledy (14)

podobné matice a diagonalizace

podobné matice
- idea: matice stejného zobrazení vzhledem k různým bázím jsou podobné
- mají stejná vlastní čísla
- rovnají se jejich charakteristické polynomy
diagonalizovatelná matice
nezbytná a postačující podmínka, kdy je matice diagonalizovatelná
Jordanova normální forma (každá čtvercová komplexní matice je podobná matici v Jordanově normální formě)
Jordanův blok
Jordanův normální tvar matice
zobecněný vlastní vektor
- pro rozklad $AR=RJ$ se zobecněné vlstní vektory objevují ve sloupcích $R$ společně s vlastními vektory

Přehledy (14)

speciální komplexní matice

transpozice, hermitovská transpozice
symetrická matice, hermitovská matice
ortogonální matice, unitární matice
věta o diagonalizaci speciálních komplexních matic

Přehledy (14)

skalární součin a související norma

skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly
- kdy je reálný
norma spojená se skalárním součinem (odvozená ze součinu, indukovaná součinem)
- geometrická interpretace
kolmé vektory
ortonormální báze
Fourierovy koeficienty
kolmá projekce
izometrie
ortogonální doplněk
Gramova matice
Cauchy-Schwarzova nerovnost
trojúhelníková nerovnost
věta o Fourierových koeficientech
metoda nejmenších čtverců
Gram-Schmidtova ortonormalizace
věta o izometrii a normě
věta o izometrii a vlastnostech její matice
věta o ortogonálním doplňku
věta o skalárním součinu dvou vektorů a Gramově matici

Přehledy (14)

pozitivně definitní matice

definice pozitivně definitní matice
Choleského rozklad
věta o třech ekvivalentních podmínkách pro pozitivně definitní matice
věta o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice
věta o pozitivně definitních maticích a determinantech (Sylvesterova podmínka)
výpočet Choleského rozkladu

Přehledy (14)

bilineární a kvadratické formy a jejich matice

bilineární forma
kvadratická forma
matice bilineární formy vzhledem k bázi
analytické vyjádření formy
signatura formy
věta o diagonalizovatelnosti matic forem
polární báze
Sylvesterův zákon setrvačnosti – o diagonalizaci kvadratických forem