Výroky

Klíčové výrazy

• elementární výroky $A, B, C, A_1, A_2, \dots$
• logické spojky
  • a = konjunkce $\land$
  • nebo = disjunkce $\lor$
  • implikace $\implies$
    • $(A \implies B) \equiv (\neg A \lor B)$
    • $(A \implies B) \equiv (\neg B \implies \neg A)$
  • ekvivalence $\iff$
    • $(A \iff B) \equiv ((A \implies B) \land (B \implies A))$
  • negace $\neg A \equiv \bar{A}$
    • $\neg (\neg A)$
• závorky $( )$

Vlastnosti spojek

• komutativita – konjunkce, disjunkce, ekvivalence
• asociativita – konjunkce, disjunkce
• dvojí implikace
  • Jestliže mrzne, tak pokud prší, tvoří se námraza.
  • $((M \land P) \implies L) \equiv (M \implies (P \implies L))$
• distributivita – u konjunkce a disjunkce funguje oběma způsoby, stejný princip u množinových operací průniku a sjednocení
  • $A \land (B \lor C) \equiv (A \land B) \lor (A \land C)$
  • $A \lor (B \land C) \equiv (A \lor B) \land (A \lor B)$
• odvození konjunkce z disjunkce a obráceně
  • $(A \lor B) \equiv \neg (\neg A \land \neg B)$
  • $(A \land B) \equiv \neg (\neg A \lor \neg B)$
• odvození konjunkce a disjunkce z implikace
  • $(A \land B) \equiv \neg (A \implies \neg B)$
• všechny logické operace pomocí jedné spojky se dvěma parametry – spojka NAND nebo NOR

Negace spojek

• $\neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$
• $\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$
• $\neg (A \implies B) \equiv A \land \neg B$

• jak to řešit?
  • najít řádky s jedničkou v posledním sloupci
  • vyjádřit každý takový řádek pomocí výroku (např. druhý řádek $\neg A \land \neg B \land C$)
  • tyto čtyři výroky spojím pomocí disjunkce