Lineární algebra: cvičení

• písemky + aktivita
  • na začátku každého cvičení písemka na 5–10 minut, za každou lze získat 10 bodů (celkem 110)
  • za aktivitu v hodině lze získat dohromady 10 bodů
  • celkem alespoň 60 ze 120 bodů
• domácí úkoly
  • alespoň 60 ze 120 bodů
  • na webu
  • ideálně jako jeden soubor
  • když pošleme dřív, tak nám může dát možnost si to opravit
  • deadline je začátek následujícího cvičení
• když budeme mít víc než 80 bodů, tak bude na konci semestru možnost to nějak vyřešit

• obecná rovnice
  • ax + by + c = 0
  • $(a,b) \neq (0,0)$
  • (a, b) je normálový vektor
• parametrický popis
  • $(a,b)+t\cdot (u,v)=(x,y), t \in \mathbb{R}$
  • $(u,v) \neq (0,0)$

• $ax+by+cz+d=0$
  • $(a,b,c)\neq (0,0,0)$
• $(x,y,z)=(a,b,c)+s\cdot (u_1,u_2,u_3)+t\cdot (v_1, v_2,v_3), s, t \in R$
  • $(u_1,u_2,u_3)\neq (0,0,0)$
  • $(v_1,v_2,v_3)\neq (0,0,0)$
  • jeden vektor se nesmí rovnat k-násobku druhého
• převod z parametrického popisu na obecnou rovnici se provádí nalezením vektoru kolmého (normálového) k oběma známým vektorům
• převod z obecné rovnice na parametrický popis se provádí nalezením libovolného bodu v rovině a dále nalezením dvou libovolných (různých) vektorů kolmých na normálový vektor

• parametricky pomocí jednoho nenulového vektoru
• rovnicový popis (jako průnik dvou rovin) – neobjeví se teďka na písemce
  • každá rovina obecnou rovnicí
  • normálové vektory rovin nesmějí být nulové, jeden nesmí být k-násobkem druhého

je potřeba najít normálový vektor

• existuje více řešení

Gaussova eliminační metoda

matice soustavy vs. rozšířená matice soustavy (s pravými stranami rovnic) elementární úpravy odstupňovaný tvar (REF)

• pak existsuje řádek r, kde první až r-tý řádek jsou nenulové, řádky r + 1 až m jsou nulové
• pro $p_i=min\{j:a_{ij} \pm 0\}$ platí p1 < p2 < ... < pr
• pozice (1,p1) ... (r,pr) nazýváme pivoty
• hodnost matice rank(A) je počet nenulových řádků REF(A)

• REF a navíc $a_{1p_1} = a_{rp_r} = 1$
• $\forall i \in \{1 ... r\}: a_{1p_i} = a_{2p_i} = a_{(i-1)p_1} = 0$