Příklad: Technika důkazu indukcí a sporem
Definice: Operace s čísly: sumy, produkty, horní a dolní celá část
Definice: Množinové operace: rovnost, inkluze, sjednocení, průnik, rozdíl, symetrická diference, potence (množina podmnožin), mohutnost (počet prvků)
Definice: Uspořádané k-tice a kartézský součin
Definice: Relace mezi množinami, relace na množině
Příklad: Příklady relací: prázdná, univerzální, diagonální
Definice: Operace s relacemi: inverze, skládání
Definice: Funkce (zobrazení) a jejich druhy: prosté (injektivní), na (surjektivní), vzájemně jednoznačné (bijektivní)
Definice: Vlastnosti relací: reflexivita, symetrie, antisymetrie, transitivita
Definice: Ekvivalence, ekvivalenční třída, rozklad množiny
Věta: Vztah mezi ekvivalencemi a rozklady
Definice: Uspořádání částečné a lineární, uspořádaná množina, ostré uspořádání
Příklady uspořádání: dělitelnost, inkluze podmnožin, lexikografické
Definice: Hasseův diagram, relace bezprostředního předchůdce
Definice: Minimální/maximální a nejmenší/největší prvek
Věta: Konečná neprázdná uspořádaná množina má minimální a maximální prvek
Definice: Řetězec a antiřetězec
Definice: parametry α a ω
Věta: O Dlouhém a Širokém
Věta: Počet funkcí mezi množinami
Věta: Počet prostých funkcí mezi množinami
Definice: Klesající mocnina
Definice: Charakteristická funkce podmnožiny
Věta: Počet všech podmnožin
Věta: Počet podmnožin sudé a liché velikosti
Věta: Počet permutací na množině
Věta: Počet uspořádaných k-tic bez opakování a k-prvkových podmnožin
Definice: Notace pro množinu všech k-prvkových podmnožin
… množina všech k-prvkových podmnožin množiny X
Definice: Kombinační číslo (binomický koeficient), Pascalův trojúhelník
Věta: Základní vlastnosti kombinačních čísel
Binomická věta
Věta: Princip inkluze a exkluze
Příklad: Problém šatnářky: počet permutací bez pevného bodu
Věta: Odhad faktoriálu:
Věta: Odhad kombinačního čísla:
Věta: Odhad prostředního kombinačního čísla:
Definice: Graf, vrchol, hrana, V(G), E(G)
Definice: Standardní grafy: úplný, prázdný, cesta, kružnice
Definice: Bipartitní graf, úplný bipartitní graf
Definice: Isomorfismus grafů
Definice: Stupeň vrcholu, k-regulární graf, skóre grafu
Věta: Vztah mezi součtem stupňů a počtem hran, princip sudosti
Věta o skóre
Definice: Podgraf, indukovaný podgraf
Definice: Cesta, kružnice, sled a tah v grafu
Definice: Souvislý graf, relace dosažitelnosti (ekvivalence), komponenty souvislosti
Věta: Dosažitelnost sledem je totéž jako dosažitelnost cestou
Definice: Matice sousednosti
Věta: Počet sledů délky k lze získat z k-té mocniny matice sousednosti
Definice: Vzdálenost v grafu (grafová metrika)
Věta: Trojúhelníková nerovnost pro vzdálenost
Definice: Grafové operace: přidání/odebrání vrcholu/hrany, dělení hrany, kontrakce hrany
Definice: Otevřený a uzavřený eulerovský tah
Věta o existenci uzavřeného eulerovského tahu
Definice: Orientovaný graf, podkladový graf, vstupní a výstupní stupeň, vyváženost vrcholu
Definice: Silná a slabá souvislost orientovaných grafů
Věta: Uzavřené eulerovské tahy v orientovaných grafech
Definice: Strom, les, list
Lemma o koncovém vrcholu
Lemma o trhání listů
Věta: Pět ekvivalentních charakteristik stromu
Definice: Kostra grafu
kostra grafu je podgraf, který obsahuje všechny vrcholy původního grafu a je to strom
Věta: Graf má kostru, právě když je souvislý.
Definice: Rovinné nakreslení grafu a jeho stěny (neformálně)
Definice: Rovinný graf, topologický graf
Příklad: a nejsou rovinné.
Definice: Stereografická projekce
Věta: Graf jde nakreslit do roviny, právě když jde nakreslit na sféru.
důkaz: stereografická projekce je bijekce mezi sférou bez severního pólu a rovinou
Příklad: Vnější stěnu lze zvolit.
Věta: Eulerova formule pro souvislé rovinné grafy (v+f=e+2)
Věta: Maximální rovinný graf je triangulace.
Věta: Maximální počet hran rovinného grafu
Věta: V rovinném grafu existuje vrchol stupně nejvýše 5.
Věta: Počet hran a vrchol nízkého stupně v rovinných grafech bez trojúhelníků
Definice: Obarvení grafu k barvami, barevnost
Příklad: Barevnost úplných grafů, cest a kružnic
Věta: Ekvivalentní tvrzení: graf má barevnost nejvýše 2, graf je bipartitní, graf neobsahuje lichou kružnici.
Věta: Barevnost ≥ klikovost
Příklad: Princip barvení indukcí: stromy jsou 2-obarvitelné, rovinné grafy 6-obarvitelné
Věta: Barevnost ≤ maximální stupeň + 1
Věta o 5 barvách
Definice: Pravděpodobnostní prostor diskrétní, konečný, klasický
Definice: Jev elementární, jev složený, pravděpodobnost jevu
Příklad: Jev se také dá popsat logickou formulí.
např.
Příklad: Bertrandův paradox s kartičkami
Definice: Podmíněná pravděpodobnost
Věta o úplné pravděpodobnosti (věta o rozboru případů)
Bayesova věta
věta: Nechť je jev s , rozklad na jevy s pro všechna . Potom .
Definice: Jevy nezávislé a po dvou nezávislé
Definice: Součin pravděpodobnostních prostorů, projekce
Definice: Náhodná veličina
Příklad: Logické formule s náhodnými veličinami dávají jevy.
např. , kde je počet jedniček v hodech mincí
Definice: Střední hodnota
Věta o linearitě střední hodnoty
Definice: Indikátor náhodného jevu
indikátor jevu náhodná veličina, která nabývá hodnoty 0, nebo 1, podle toho, zda daný jev nastal
Příklad: Použití indikátorů k výpočtu střední hodnoty
Věta: Erdősovo-Szekeresovo lemma o monotónních podposloupnostech
Příklad: Existence de Bruijnovy posloupnosti (konstrukce pomocí orientovaných eulerovských tahů)
neprobráno, nebude zkoušeno
Příklad: Převod barvení mapy na barvení grafu pomocí duality
Definice: Markovova nerovnost
Příklad: Velikost řezu v grafu: střední hodnota, existuje velký řez, pravděpodobnostní algoritmus
Příklad: Klasifikace platónských těles pomocí rovinných grafů
3 | 3 | 6 | 4 | 4 | čtyřstěn | |
3 | 4 | 12 | 8 | 6 | krychle | |
3 | 5 | 30 | 20 | 12 | dvanáctistěn | |
4 | 3 | 12 | 6 | 8 | osmistěn | |
5 | 3 | 30 | 12 | 20 | dvacetistěn |